Autovalori ed autovettori di un endomorfismo Endomorfismo = applicazione (funzione) lineare da un spazio vettoriale V in sé stesso

(1)

Autovalori ed autovettori di un endomorfismo

Endomorfismo = applicazione (funzione) lineare da un spazio vettoriale V in sé stesso 1. Data una funzione lineare, scriverne la matrice associata dei coefficienti:

f : R²  R² f  x , y = x y ,− y  A=



¹0 −1¹



2. Sottrarre alla matrice associata, λI:

A_=



^1−0 −1−¹



^^{I =}



^0 ⁰



3. Sviluppare il determinante di Aλ che dà il polinomio caratteristico:

det  A_=1−−1−

4. Trovare le radici del polinomio caratteristico per trovare gli autovalori.

{

^{−1−=0  }^{1−=0  }¹2⁼¹=−1 Autovalori di f

5. Sostituire nella matrice Aλ i valori di λ trovati per ricavare gli autovettori:

A_=



^1−0 −1−¹



^ ^{con }¹^{=1  A}^¹⁼



⁰0 −2¹



^

{

−2y=0^y=0  x libera , y =0 Autovettore di λ1 = (1,0)

A_=



^1−0 −1−¹



^ ^{con }²^{=−1  A}^²⁼



0 0^{2 1}



^

^{

2x y=0  x libera , y=−2x Autovettore di λ2 = (1, – 2)

(2)

Esempio di endomorfismo 3x3

f : R³  R³ f  x , y , z = z ,0 ,3 z

1. Scrivo la matrice dei coefficienti

A=



^{0 0 1}^{0 0 0}^{0 0 3}



2. Sottraggo λ sulla diagonale

A=



^−0⁰ ^−⁰0 3−⁰¹



^ ^{det  A}^=−−3− 

{

^^¹2⁼⁰=3 3. Sostituisco λ1 nella matrice Aλ:

A_₁=



^{0 0 1}^{0 0 0}^{0 0 3}



^

^{

^3z=0^z=0 ^ x e y libere , z=0

Quando ho variabili libere, metto una di loro a 1 e le altre libere a 0 e ripeto l'operazione per tutte le variabili libere:

Autovettori di ₁ = 1,0 ,0

0,1,0  Autospazio di dimensione 2 4. Sostituisco λ2 nella matrice Aλ:

A_₁=



⁻³⁰0 ^{−3 0}⁰0 ¹0



^

^{

^{−3x z=0}^−3y=0 ^ z=3x , y=0, x libera Autovettore di ₂ = 1,0,3  Autospazio di dimensione 1

(3)

Matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto ad una base

f 1,3=1,0 f −1,0=3,5

1. Rappresentare le relazioni rispetto alle basi canoniche in un sistema:

{

⁻^{x3y=1,0}^x=3,5

x =−3,−5 sostituisconella prima

−3,−53y=1,0  3y=1,0−−3,−5  y=



3⁴ , 5 3



2. x ed y trovati rappresentano le due colonne della matrice associata all'endomorfismo

T =



⁻³⁻⁵ ⁴³⁵3



(4)

Cambio di base per una funzione lineare

Data la funzione (espressa secondo le basi canoniche):

f : R²R³

Rappresentata dalla matrice: A=



−1 0¹⁰ ²¹



Voglio cambiare la base del dominio e del codominio:

Nuova base per dominio: (1, 1) e (– 1 , – 2)

Nuova base per codominio: (0, 0, 2) e (1, 0, 1) e (1, 1, 0)

1. Scrivo le matrici associate alle nuove basi (prendo come colonne i vettori):

B_dom=



^{1 −1}1 −2



^B^cod⁼



^{0 1 1}^{0 0 1}^{2 1 0}



2. Calcolo la matrice inversa del codominio:

det  B_cod=2

B_cod^trasposta=



^{0 0 2}^{1 0 1}^{1 1 0}



^ ^B^algebricicomplementi

=



⁻¹²⁰ ^{−2 0}¹² ¹⁰



^ ^B^inversa⁼



⁻¹⁰¹² ^{−1 0}¹²¹ ¹²⁰



3. Matrice A' che esprime la funzione con le nuove basi:

A '=B_inversa⋅A⋅B_dom NOTA BENE!

La formula di cambiamento di base vale anche se si vuole cambiare solo la base del dominio o del codominio:

Cambiamento della base del solo dominio:

A '= A⋅B_dom

Cambiamento della base del solo codominio:

A '=B_inversa⋅A

(5)

Risoluzione di sistemi di equazioni con matrice associata

Dato il sistema:

{

⁻−2y3z−4t=−11^x−2y=5^{x2y−3z=−2}

−3z4t=15

1. Scrivere la matrice completa associata al sistema, separando con una linea verticale i coefficienti dai termini noti:

A∣B=



⁻¹⁰¹⁰ ⁻²⁻²²⁰ ⁻³⁻³⁰³ ^{−4 −11}⁴⁰⁰ ⁻²¹⁵⁵



N.B = La matrice A(dei coefficienti) si ottiene dalla matrice completa considerando solo i valori alla sinistra della linea verticale

La matrice B(dei termini noti) si ottiene dalla matrice completa considerando solo i valori a destra della linea verticale.

2. Ridurre la matrice per righe (meglio in forma triangolare) per ottenere (A|B)':

A∣B '=



^{0 −2}⁰⁰^{1 −2}⁰⁰ ⁻³³⁰⁰ ⁻⁰⁰⁴^{4 −11}¹²⁵³



3. Il sistema ammette soluzione se e solo se rango(A) = rango(A|B) Numero delle incognite libere = n – ρ (A)

in cui: n → numero di colonne della matrice ρ(A) → rango della matrice A

Se il sistema ha incognite libere si scrive che ha ∞^{n – ρ(A)} soluzioni.

4. Scrivere le equazioni dalla matrice A', partendo dal fondo e risalendo, ricordandosi che i numeri alla destra della linea verticale sono i termini noti (operare col metodo per sostituzione):

4t=12  t =3

−3z=3  z=−1

−2y3z−4t=−11  −2y−3−12=−11  y=−2 x−2y=5  x =1

(6)

Risoluzione di sistemi di equazioni con parametro con matrice associata

Data la funzione: f : R³R⁴ f  x , y , z =2 k x− y , yk z , x y− z , x− y 

Stabilire per quali valori del parametro k, il vettore v=(3,3,1,0) appartiene all'immagine di f.

1. Scrivere la matrice associata completa (ridurla se possibile):

A∣v=



^{2 k −1}⁰¹¹ ⁻¹¹¹ ^{−1 1}⁰⁰^k ⁰³³



Affinché il sistema sia risolvibile bisogna avere ρ(A) = ρ(A|v)

Il rango della matrice A é 3, quindi per fare in modo che lo sia anche quello di (A|v), bisogna imporre il determinante di (A|v) = 0.

2. Calcolo del determinante della matrice completa (si trova il polinomio caratteristico):

det  A∣v =−1⋅

∣

⁻¹¹1 −1 1⁰^k ³³

∣

^−1⋅

∣

^{2 k}⁰1 −1 1⁰^k ³³

∣

⁼

= −1⋅[−k 33−1−k ]−1⋅[2 k k 3−3 k ] =

= −1⋅[−k −3−3−3k ]−1⋅[2 k²6 k −3 k ] =

= −2 k²k 6

3. Trovando le radici del polinomio caratteristico si trovano i valori di k che rendono il rango della matrice (A|v) uguale al rango della matrice (A).

k_1,2=−1±



^148

−4 = −1±7

−4 

{

^k^k²⁼⁻¹⁼²³2

(7)

Tabella di riconoscimento delle coniche

Data una conica:

a x²2 b xyc y²2 d x2 e y f =0 Si rappresenta mediante le matrici:

I₃ = det



^{a b d}^{b c}d e ^ef



^ Invariante cubico I₂ = det



^{a b}b c



⁼ ^ac−b² ^ Invariante quadratico

I₁ = Tr



^{a b}b c



⁼ ac  Invariante lineare

➢ I3 = 0 (conica degenere)

➢ I2 < 0 → (iperbole degenere) due rette reali distinte e incidenti.

(Se I1 = 0 le due rette sono ortogonali)

➢ I2 = 0 (parabola degenere)

➢ Rango(I3) = 2 → coppie di rette reali distinte o complesse coniugate senza punti comuni

➢ Rango(I3) = 1 → coppia di rette reali coincidenti

➢ I2 > 0 → (ellisse degenere) due rette immaginarie coniugate non parallele → un punto reale

➢ I3 ≠ 0 (conica non degenere)

➢ I2 < 0

➢ I1 = 0 → iperbole equilatera

➢ I1 ≠ 0 → iperbole non equilatera

➢ I2 = 0 → parabola

➢ I2 > 0

➢ I1 ∙ I3 < 0 → ellisse reale

➢ I1 ∙ I3 > 0 → ellisse immaginaria

(8)

Coniche: riduzione a forma canonica

Utilizzare i valori trovati con la tabella di riconoscimento delle coniche.

Gli autovalori λ1 e λ2 bisogna trovarli nella matrice I2.

• Se è ellisse o iperbole:

B=



^0^{0 }¹ 0^{0 0}² ⁰t



^ det  B = ₁⋅₂⋅t Imporre det(B) = det(I3) per trovare t.

Equazione: ₁x²₂y²t=0

Dividere tutto per t per ottenere l'equazione finale.

• Se è parabola

B=



^^{0 0 t}^{0 t 0}^{0 0}



^ det  B = ⋅−t² Imporre det(B) = det(I3) per trovare t.

Equazione: x²2 t y=0

(9)

Tabella di riconoscimento delle quadriche

Data una quadrica:

a₁₁x²2 a₁₂xy 2 a₁₃xz a₂₂y²2 a₂₃yza₃₃z²2 a₁₄x 2 a₂₄y2 a₃₄za₄₄=0

Si rappresenta mediante le due matrici associate:

N.B. Se il determinante di A è ZERO, la quadrica si dice degenere o riducibile

(10)

Quadriche: riduzione a forma canonica

Utilizzare i valori trovati con la tabella di riconoscimento delle quadriche.

• Se è ellissoide o iperboloide

C=



^^{0 }⁰⁰¹ ⁰⁰⁰² ^^{0 0}^{0 0}⁰³ ⁰^t



^ det C  = ₁⋅₂⋅₃⋅t Imporre det(C) = det(A) per trovare t.

Equazione: ₁x²₂ y²₃z²t =0

• Se è paraboloide

C=



^^{0 }⁰⁰¹ ⁰⁰⁰² ^{0 0}^{0 0}^{0 t}^{t 0}



^ det C  = ₁⋅₂⋅−t² Imporre det(C) = det(A) per trovare t (negativo).

Equazione: x²₂y²2 t z=0

(11)

Diagonalizzabilità di una matrice

A=



⁰¹2 −4 2³² ⁰⁰



1. Trovare gli autovalori e il polinomio caratteristico

A_=



^1−²⁰ ^3−⁻⁴² ^2−⁰⁰



^ det  A=3−⋅

∣

^1−2 2−⁰

∣

^

det  A=3−1−2−

Gli autovalori sono: `

{

^¹=3  molteplicità=1

₂=1  molteplicità=1

₃=2  molteplicità=1

➔ Se il polinomio caratteristico ha n radici distinte (ciascuna con molteplicità = 1) é diagonalizzabile (vai al punto 2).

➔ Se la somma delle molteplicità algebriche delle radici del polinomio caratteristico é minore di n, allora la matrice non é diagonalizzabile

2. Trovo gli autovettori di Aλ, sostituendo a λ nella matrice ogni autovalore

A_₁=



⁻²⁰2 −4 −1⁰² ⁰⁰



⁼



⁻²⁰0 −2 −1²⁰ ⁰⁰



^

^{

^−2x2y=0⁻^2y−z=0 ^ z =−2y , x= y , y libera A_₂=



⁰⁰2 −4 1²² ⁰⁰



^

^{

^{2x−4y z=0}^2y=0 ^ 2xz =0  z =−2x , y=0, x libera

A_₃=



⁻¹2⁰ −4 0²¹ ⁰⁰



^

{

⁻2x−4y=0^x2y=0^y=0

 x= y=0, z libera

Autovettore di λ1: (1, 1, – 2) Autovettore di λ2: (1, 0, – 2) Autovettore di λ3: (0, 0, 1)

Le incognite libere si pongono sempre a 1.

Se sono di piu', quando se ne pone una ad 1, porre le

altre a 0 e ripetere il procedimento fino all'ultima incognita

(12)

3. Matrice di cambiamento di base fatta con gli autovettori presi come colonne:

P=



^{−2 −2 1}¹¹ ⁰¹ ⁰⁰



^ det  P =−1 diverso da 0  I 3 vettori sono indipendenti 4. Calcolo della matrice inversa di P:

P^T=



^{1 1 −2}^{1 0 −2}^{0 0} ¹



^ ^P^CA^T ⁼



⁻²⁻¹⁰ ⁻¹⁰¹ ⁻¹⁰⁰



^ ^P⁻¹⁼



⁰^{1 −1 0}² ¹⁰ ⁰¹



in cui:

P^T=Trasposta di P

P_CA^T =Matrice dei complementi algebrici della trasposta P⁻¹=Matrice inversa di P

5. Diagonalizzazione con la formula P^-1AP:

P⁻¹A P=



^{1 −1 0}⁰2 0¹ ⁰1



^⋅



¹2 −4 2⁰ ²³ ⁰⁰



^⋅



−2 −2 1¹¹ ¹⁰ ⁰⁰



⁼



^{3 0 0}^{0 1 0}0 0 2



La matrice finale deve essere diagonale e contenere tutti gli autovalori, ciascuno con la sua molteplicità.

Triangolarizzazione

Input = matrice di m righe ed n colonne

Output = matrice di m righe ed n colonne triangolare superiore

1. Annullare il 1° elemento di tutte le righe a partire dalla 2^ (2,3,4...) sommando o sottraendo ad esse opportuni multipli della 1^ riga 2. Annullare il 2° elemento di tutte le righe a partire dalla 3^ (3,4,5,...)

sommando o sottraendo ad esse opportuni multipli della 2^ riga 3. Annullare il 3° elemento di tutte le righe a partire dalla 4^ (4,5,6...)

sommando o sottraendo ad esse opportuni multipli della 3^ riga 4. e così via...

(13)

Punti di intersezione tra 2 circonferenze

Date due circonferenze:

{

^^¹2^{: x}: x²²^y^y²²a^a₂¹x b^{x b}¹₂yc^yc¹₂⁼⁰=0

1. Trovo i due centri

C₁=



⁻^a2¹; −b₁

2



^C²⁼



⁻^a2²; −b₂ 2



2. Trovo il vettore di differenza C1 – C2 delle due circonferenze

C₁−C₂=



^−a¹2^^a²; −b₁b₂ 2



3. Scrivo il nuovo sistema, lasciando identica la prima equazione e scrivendo la seconda equazione come differenza delle due circonferenze:

{

^^x^a²1^−a^y²₂^axb¹^xb₁−b¹^yc₂yc¹⁼⁰₁−c₂=0  Asse radicale

N.B. I coefficienti di x ed y dell'asse radicale rappresentano il vettore ortogonale ad esso 4. Per risolvere il sistema, dalla seconda equazione ricavare y e sostituirlo nella prima

equazione. Effettuare i conti e trovare i due punti x1 ed x2.

5. Per trovare le coordinate y1 e y2, basta sostituire i valori di x trovati dalla prima equazione, nella seconda equazione.

Retta di intersezione tra le circonferenze

Retta di differenza C1 – C2

(14)

Tangenti ad una circonferenza da un punto

Data una circonferenza:

: x²y²−2 x3 y=0 ed un punto:

P₁=i , j 

1. Trovare le coordinate del centro della circonferenza

Centro=



⁻⁻²2 ; −3

2



^



^{1 ; −}³2



2. Trovare il raggio (si ottiene elevando entrambe le coordinate del centro alla seconda e sommandole. Il tutto va messo sotto radice quadrata)

Raggio =



^a⁴²^^b⁴²⁻^{c  1}⁹⁴ ⁼ ¹³⁴ ^



¹³⁴

3. Trovare la distanza del punto dal centro della circonferenza:

distanza=



^1−i²^

^

⁻³²⁻^j

^

²

Si hanno i seguenti 3 casi possibili:

Distanza < Raggio non esiste nessuna tangente (Punto interno alla circonferenza)

Distanza = Raggio esiste una sola tangente (Punto della circonferenza)

Distanza > Raggio esistono due tangenti (Punto esterno alla circonferenza)

(15)

Distanza >= Raggio

Circonferenza: x²y² = 1 Centro: 0 ;0 Raggio :1 P₀: 0 ;2

distanza :



4=2  ci sono 2 tangenti 1. Si fa il fascio di rette per P0(x0; y0)

x −x₀y− y₀=0 → x y −2 =0

2. Si imposta la distanza del fascio dal centro C(x0,y0) uguale al raggio:

∣^{a x}0b y₀c∣



a²b² =R → ∣−2 ∣



^²^²⁼¹ ^→ ^{3 }²^=²

3. Si sceglie μ a piacere (diverso da zero) e si calcola λ di conseguenza o viceversa scelgo μ=1

sostituisco e ottengo: ²=3  =±



3

4. Nell'equazione del fascio si sostituiscono i valori trovati:

=1 =



3  tangente 1 :



3 x y−2=0

=1 =−



3  tangente 2 : −



^{3 x y−2=0}

Fascio di circonferenze

₁: x²y²a₁xb₁yc₁=0 ₂: x²y²a₂xb₂yc₂=0 1. Fascio come combinazione lineare delle due circonferenze:

x²y²a₁a₂x b₁b₂y c₁c₂=0