Matematica Discreta
Lezione del giorno 25 novembre 2011
Ricerca di una formula chiusa per una successione ricorsiva.
Supponiamo di avere una successione definita in modo ricorsivo: come già notato nella lezione precedente, sarebbe utile trovare una formula (detta formula chiusa ) che esprima il termine generico an della successione in funzione di n e non in funzione dei termini precedenti (naturalmente tale formula dovrebbe soddisfare anche le condizioni iniziali, cioè i valori iniziali dei primi termini che sono in genere già fissati): una formula di questo tipo permetterebbe di valutare an direttamente, senza prima calcolare tutti i termini che lo precedono.
La formula che lega ogni termine della successione ad alcuni termini che lo precedono è detta relazione ricorsiva.
Nel caso di relazioni ricorsive troppo generiche, è difficile trovare una formula chiusa per la successione ricorsiva, quindi esamineremo solo i casi più semplici di relazioni ricorsive.
Una relazione ricorsiva è detta relazione ricorsiva omogenea di grado k se è del tipo seguente:
an = c1an-1 + c2an-2 + …. +ckan-k
dove c1, c2, …, ck sono dei numeri reali (detti coefficienti della relazione).
Come si vede, in tale tipo di relazione ricorsiva il termine generico an della successione dipende da i k termini che lo precedono (che sono an-1, an-2, ….., an-k).
Esempio: in un esempio della lezione precedente, si è studiata la successione ricorsiva costruita mediante la seguente relazione ricorsiva
an=5an-1-6an-2
Questa è appunto una relazione ricorsiva omogenea di grado 2 (con coefficienti c1=5, c2= -6): il termine generico an della successione dipende da i 2 termini che lo precedono (che sono an-1, an-2).
Anche la successione di Fibonacci è definita da una relazione ricorsiva omogenea di grado 2, poiché la relazione è la seguente:
Fn = Fn-1+Fn-2
(i coefficienti sono dunque c1=1, c2=1).
Per semplicità ci limiteremo a cercare una formula chiusa solo per le successioni ricorsive definite mediante una relazione ricorsiva omogenea di grado 1 o 2 .
Relazioni ricorsive omogenee di grado 1.
Supponiamo che una successione ricorsiva sia definita da una relazione ricorsiva omogenea di grado 1 della forma: an = can-1 per n 1 (dove c è un coefficiente reale) e con valore iniziale a1=b (dove b è un numero reale).
Si ha allora:
a1= b , a2= ba1=bc , a3= ba2= bc2 ,…. e così via.
Dimostriamo (con il principio d’induzione) che si ha:
an = b cn-1 per ogni numero naturale n (*)
(quindi la formula chiusa cercata è in questo caso proprio an = b cn-1 che permette di calcolare il termine generico an della successione solo in funzione di n).
Per dimostrare la (*) basta notare che essa è vera per n=1 (perché a1=b=bc0=bc1-1); inoltre se è vera per n=k (quindi se per ipotesi ak = bck-1 ), allora è vera anche per n=k+1 (quindi la tesi è ak+1 = bck) perché (applicando la relazione ricorsiva) si ha ak+1=cak=cbck-1=bck (tesi).
Esempio: se una successione ricorsiva è definita dalla relazione ricorsiva omogenea di grado 1:
an = 5an-1 per n 1 con valore iniziale a1=3 si ha allora:
an = 35n-1 per ogni numero naturale n (formula chiusa).
Per esempio per calcolare il termine a10 basta calcolare a10=359 (senza bisogno di calcolare i termini precedenti da a1 fino ad a9).
Relazioni ricorsive omogenee di grado 2.
Supponiamo che una successione ricorsiva sia definita da una relazione ricorsiva omogenea di grado 2 della forma: an = c1an-1 + c2an-2 per n 2 (dove c1, c2 sono coefficienti reali) e con valori iniziale fissati a1, a2.
La relazione ricorsiva data può essere anche scritta nel modo seguente:
an - c1an-1 - c2an-2 = 0 e dunque anche nel modo seguente:
an + ban-1 + can-2 = 0 (dove si è posto b= -b1, c= -c1).
Teorema . La successione an= rn è una soluzione non nulla della relazione ricorsiva an + b an-1 + c an-2 = 0 per ogni numero naturale n>2
se e solo se il numero r è una soluzione dell’equazione di 20 grado x2 + bx + c = 0.
Dimostrazione. Se an = rn per ogni n>2 è una soluzione della relazione ricorsiva data, sostituendo si ha :
rn + brn-1 +crn-2 = 0 per ogni numero naturale n>2.
essendo r0 per ipotesi, si può dividere per rn-2 e si ottiene:
r2 + br+ c = 0
quindi r è una soluzione dell’equazione x2 + bx +c = 0.
Viceversa se r è una soluzione dell’equazione x2 + bx +c = 0, per ogni numero naturale n >2 moltiplicando per rn-2 l’uguaglianza r2 + br+ c = 0 si ha rn + brn-1 +crn-2 = 0,quindi an = rn è una soluzione della relazione ricorsiva data per ogni numero naturale n>2.
L’equazione x2 + bx +c = 0 si chiama equazione caratteristica della relazione ricorsiva an + ban-1 + can-2 = 0
Le soluzioni dell’equazione caratteristica permettono di trovare una formula chiusa per la successione ricorsiva, come ora vedremo distinguendo due casi: l’equazione ha due soluzioni distinte oppure ne ha due coincidenti.
Caso 1: Se l’equazione caratteristica x2 + bx +c = 0 ha due soluzioni distinte non nulle r1 e r2, dimostriamo che, fissati a piacere 2 numeri reali c1, c2, la successione
an = c1r1n+c2r2n
è ancora una soluzione della relazione ricorsiva data, per ogni numero naturale n>2.
Infatti per il Teorema precedente si ha che r1n , r2n sono entrambe soluzioni della relazione ricorsiva an + ban-1 + can-2 = 0 per ogni numero naturale n>2
dunque:
r1n + br1n-1 +cr1n-2 =0 r2n + br2n-1 +cr2n-2 =0 per ogni numero naturale n>2 E allora si ha :
c1r1+n+c2 r2n +b( c1r1n-1+c2r2n-1) +c ( c1r1n-2+c2 r2n-2) =
c1(r1n + br1n-1 +cr1n-2 ) + c2 ( r2n + br2n-1 +cr2n-2) = 0 per ogni numero naturale n>2
il che dimostra che in effetti la successione an = c1r1n+c2r2n
è ancora una soluzione della relazione ricorsiva data, per ogni numero naturale n>2.
Quello che è più interessante (ma di cui omettiamo la dimostrazione) è che tutte le soluzioni della relazione ricorsiva data sono della forma trovata sopra: an = c1r1n+c2r2n .
Quindi per trovare in questo Caso 1 una formula chiusa per la successione ricorsiva si può operare in questo modo:
- si scrive l’equazione caratteristica e si cercano le soluzioni distinte non nulle r1 e r2
- si scrive il termine generico an della successione con la formula chiusa an = c1r1n+c2r2n
(quindi come funzione di n) con 2 numeri reali c1, c2 che possono a priori essere scelti a piacere, ma che in effetti devono essere scelti imponendo che rendano valida la formula chiusa anche per i valori iniziali a1, a2 (che sono fissati)
Esempio.
Nel caso della successione di Fibonacci così definita: F1 = 1, F2 = 1 (valori iniziali) e con relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 per ogni numero naturale n>2 (quindi Fn – Fn-1 – Fn-2 = 0 per ogni n>2), l’equazione caratteristica è x2-x-1 =0 che ha come soluzioni
r1 =
2 5 1
e r2 =
2 5 1
.
Poiché esse sono distinte e non nulle, la formula chiusa per il calcolo del generico termine della successione di Fibonacci sarà:
Fn = c1r1n+c2 r2n con i numeri reali c1 e c2 che si possono a priori scegliere a piacere.
Ma in effetti dobbiamo imporre che tali numeri rendano valida la formula chiusa anche per i valori iniziali F1=1, F2=1 (che sono fissati).
Sostituendo tali valori nella formula chiusa si ottiene il seguente sistema nelle incognite c1,c2: 1= F1= c1r11+c2r21 = c1(
2 5 1 )+c2(
2 5 1 ) 1= F2= c1r12+c2r22 = c1(
2 5 1 )2+c2(
2 5 1 )2 le cui soluzioni si trovano con facili calcoli e sono:
c1 = 1 5 c
2 = - 1 5
Sostituendo si ottiene alla fine la seguente formula chiusa per il generico numero di Fibonacci:
Fn = 1 5
[(
12 5)
n–(
12 5)
n]
.Caso 2: Supponiamo che l’equazione caratteristica x2 + bx +c = 0 abbia due soluzioni coincidenti non nulle r1= r2=r (quindi come è noto dall’algebra elementare x2 + bx +c=(x-r)2=x2 –2rx + r2 dunque c= r2 e b= -2r). Dimostriamo che, fissati a piacere 2 numeri reali c1, c2, la successione:
an = (c1+c2n)rn
è ancora una soluzione della relazione ricorsiva data, per ogni numero naturale n>2.
Infatti per il Teorema precedente si ha che rn è soluzione della relazione ricorsiva:
an + ban-1 + can-2 = 0 per ogni numero naturale n>2 dunque:
rn + brn-1 +crn-2 =0 per ogni numero naturale n>2 E allora si ha :
(c1+c2n)rn +b(c1+c2(n-1))rn-1+c(c1+c2(n-2))rn-2=
=c1(rn + brn-1 +crn-2)+c2n(rn + brn-1 +crn-2)-bc2rn-1-2cc2rn-2=
= -bc2rn-1-2cc2rn-2=(2r)c2rn-1-2r2c2rn-2=0 il che dimostra che in effetti la successione:
an = (c1+c2n)rn
è ancora una soluzione della relazione ricorsiva data, per ogni numero naturale n>2.
Ma anche in questo caso quello che è più interessante (ma di cui omettiamo la dimostrazione) è che tutte le soluzioni della relazione ricorsiva data sono della forma trovata sopra:
an = (c1+c2n)rn .
Quindi per trovare in questo Caso 2 una formula chiusa per la successione ricorsiva si può operare in questo modo:
- si scrive l’equazione caratteristica e si cercano le soluzioni coincidenti non nulle r1=r2=r
- si scrive il termine generico an della successione con la formula chiusa an = (c1+c2n)rn (quindi come funzione di n) con 2 numeri reali c1, c2 che possono a priori essere scelti a piacere, ma che in effetti devono essere scelti imponendo che rendano valida la formula chiusa anche per i valori iniziali a1, a2 (che sono fissati)
Esempio. Nel caso della successione ricorsiva definita da: a1=0, a2=1 (valori iniziali), e con relazione ricorsiva an=4an-1-4an-2 per ogni numero naturale n>2 (quindi an-4an-1+4an-2=0 per ogni n>2), l’equazione caratteristica è:
x2-4x+4 = 0
che ha 2 soluzioni coincidenti r1=r2=2.
La formula chiusa per il calcolo del generico termine della successione sarà:
an = (c1+c2n)rn =(c1+c2n)2n
con i numeri reali c1 e c2 che si possono a priori scegliere a piacere.
Ma in effetti dobbiamo imporre che tali numeri rendano valida la formula chiusa anche per i valori iniziali a1=0, a2=1 (che sono fissati).
Sostituendo tali valori nella formula chiusa si ottiene il seguente sistema nelle incognite c1,c2: 0=a1=(c1+c2)2 1=a2=(c1+c22)22
le cui soluzioni si trovano con facili calcoli e sono:
c1 = -1/4 c2 = 1/4
Sostituendo si ottiene alla fine la seguente formula chiusa per il generico elemento an: an = (-1/4+1/4n)2n
Sostituendo 4 con 22 si ottiene più sinteticamente:
an = (-1+n)2n-2
