Funzioni a valori vettoriali
Differenziabilità e regola della catena
Analisi Matematica A – Secondo modulo Corso di Laurea in Matematica
Università di Trento
Lezione 21
Sia E ⊂ R
n. Una funzione a valori vettoriali f : E ⊂ R
n→ R
msi identifica con una m-upla di funzioni a valori reali f
i: E → R:
x 7→ f(x) :=
f
1(x) f
2(x)
.. . f
m(x)
=
m
X
i=1
f
i(x) e
if
i: E → R sono le componenti di f.
Definizione
Una funzione a valori vettoriale f : E → R
mè continua in E (o
continua in un punto x
0∈ E ) se tutte le componenti f
isono
continue in E (o continue in x
0∈ E ).
Sia I ⊂ R un intervallo e r : I → R
mr(t) :=
r
1(t) r
2(t)
.. . r
m(t)
.
Se r : I → R
mè continua in I si dice che r è una curva in R
m.
Il sottoinsieme immagine: r (I) ⊂ R
msi chiama supporto
della curva (o sostegno o orbita della curva)
r : [0, 2π] → R
2è definita da r(t) :=
cos t sin t
.
Figure:Il supporto di r. Figure:Il grafico di r.
s : [0, 2π] → R
2è definita da s(t) :=
cos(10t) sin(10t)
.
Figure:Il supporto di s. Figure:Il grafico di s.
r : [0, 2π] → R
2è definita da r(t) :=
cos t
3sin t
3.
Figure:Il sostegno di r. Figure:Il grafico di r.
Se r : I → R
3possiamo disegnare solo il supporto di r.
r(t) :=
t
2/5 t cos(t
2) 2t sin(t
2)
r(t) :=
2 cos(t)(1 + cos(5t)/2) 2 sin(t)(1 + cos(5t)/2)
sin(5t)/2
Azione della funzione lineare L(x) :=
1 2
1 −0.5
·
x
1x
2L
−→
Azione della funzione affine L(x) :=
1 2
1 −0.5
·
x
1x
2+
0.4
−0.3
L
−→
Azione della funzione F(x) :=
F
1(x, y) F
1(x, y)
:=
x − y x + y
2L
−→
Definizione
Sia A aperto in R
n. f : A → R
msi dice differenziabile in x ∈ A se ogni componente f
iè differenziabile in x.
Se f
1, . . . ,f
msono differenziabili in x
f
1(x + h) = f
1(x) + h∇f
1(x), hi + o
1(khk) .. .
f
m(x + h) = f
m(x) + h∇f
m(x), hi + o
m(khk) che, scritto in forma vettoriale, diventa
f(x + h) = f(x) + J
f(x) · h + o(khk).
J
f(x), detta matrice Jacobiana di f, è la matrice m × n
J
f(x) :=
∂
1f
1(x) . . . ∂
nf
1(x)
∂
1f
2(x) . . . ∂
nf
2(x)
.. . .. .
∂
1f
m(x) . . . ∂
nf
m(x)
Si ottiene quindi la
Definizione equivalente di differenziabilità
f : A ⊂ R
n→ R
mè differenziabile in x ∈ A se la matrice Jacobiana J
f(x), è tale che, per h → 0
f(x + h) − f(x) = J
f(x) · h + o(khk).
Il differenziale di f in x è la funzione lineare d f
x: R
n→ R
m:
y 7→ d f
x(y) := J
f(x) · y.
Example (g : R → R)
g : I ⊂ R → R è differenziabile in t ∈ I se
g(t + h) = g(t) + g
′(t)h + o(h) per h → 0.
In questo caso
J
g(t) = g
′(t).
Example (f : R
2→ R)
f : R
2→ R è differenziabile in x ∈ R
2se
f (x + h) = f (x) + h∇f (x), hi + o(khk) per h → 0.
h∇f (x), hi = (∂
x1f (x), ∂
x2f (x)) ·
h
1h
2e
J
f(x) = (∂
x1f (x), ∂
x2f (x)) = (∇f (x))
T.
Example (ancora le curve)
Sia r : I ⊂ R → R
2definita da r(t) =
r
1(t) r
2(t)
. La curva r è differenziabile in t
0se, per h → 0,
r
1(t
0+ h) = r
1(t
0) + r
1′(t
0)h + o
1(h) r
2(t
0+ h) = r
2(t
0) + r
2′(t
0)h + o
2(h) che, scritto in forma vettoriale,
r(t
0+ h) = r(t
0) + r
′(t
0)h + o(h), e:
J
r(t
0) = r
′(t
0) :=
r
1′(t
0) r
2′(t
0)
.
Se r
′(t
0) 6= 0, il vettore r
′(t
0) è il vettore tangente al supporto della curva r nel punto r(t
0) e la funzione
s 7→ r(t
0) + sr
′(t
0)
è una rappresentazione parametrica della retta tangente al supporto di r nel punto r(t
0).
Vettore tangente e retta tangente
al supporto di r(t) := (cos t, sin t)
nel punto r(2π/3).
Example (F : R
2→ R
2)
Sia F : A ⊂ R
2→ R
2e F(x) :=
F
1(x) F
2(x)
. F è differenziabile in x ∈ A se
F
1(x + h) = F
1(x) + h∇F
1(x), hi + o
1(khk) per h → 0 F
2(x + h) = F
2(x) + h∇F
2(x), hi + o
2(khk) per h → 0 e, in forma vettoriale,
F(x + h) = F(x) + J
F(x) · h + o(khk) per h → 0.
In questo caso
J
F(x) =
∂
x1F
1(x) ∂
x2F
1(x)
∂
x2F
1(x) ∂
x2F
2(x)
Le coordinate polari piane P : [0, +∞) × R → R
2sono definite
r θ
7→ P(r , θ) =
P
1(r , θ) P
2(r , θ)
:=
r cos θ r sin θ
.
P è differenziabile in ogni punto di (0, +∞) × R.
La matrice Jacobiana J
Pè la matrice 2 × 2
J
P(r , θ) =
cos θ −r sin θ sin θ r cos θ
.
Figure:Dominio[0, +∞) × R
P
−→
Figure:Codominio R2
Osservazione
La restrizione P : (0, +∞) × [0, 2π) → R
2\ {0} è biunivoca.
Example (F : R
2→ R
3) F : A ⊂ R
2→ R
3x 7→ F(x) =
F
1(x) F
2(x) F
3(x)
Se F è differenziabile in x ∈ A allora J
F(x) è la matrice 3 × 2
J
F(x) =
∂
1F
1(x) ∂
2F
1(x)
∂
1F
2(x) ∂
2F
2(x)
∂
1F
3(x) ∂
2F
3(x)
R
2∋ x 7→ F(x) =
(R + r cos x
2) cos x
1(R + r cos x
2) sin x
1r sin x
2
∈ R
3.
Figure:Dominio:
[0, 2π] × [0, 2π]
F
−→
Figure:Immagine: superficie toroidale in R3
Le coordinate cilindriche C : R × R → R
3sono
θ z
7→
C
1(θ, z) C
2(θ, z) C
3(θ, z)
:=
cos θ
sin θ z
.
C è differenziabile in ogni punto di R × R e la matrice Jacobiana è la matrice 3 × 2
J
C(θ, z) =
− sin θ 0 cos θ 0
0 1
.
Figure:Dominio: R × R
C
−→
Figure:Cilindro contenuto in R3
Osservazione
La restrizione C : [0, 2π) × R → {cilindro} ⊂ R
3è biunivoca.
Sia S : [0, 2π) × (−π/2, π/2) → R
3definita da
θ φ
7→ S(θ, φ) =
S
1(θ, φ) S
2(θ, φ) S
3(θ, φ)
:=
cos θ cos φ sin θ cos φ
sin φ
.
S è differenziabile in (0, 2π) × (−π/2, π/2); la matrice Jacobiana è la matrice 3 × 2
J
S(θ, φ) =
− sin θ cos φ − cos θ sin φ cos θ cos φ − sin θ sin φ
0 cos φ
.
Figure:Dominio:
[0, 2π) × (−π/2, π/2)
−→
S
Figure:Superficie sferica di raggio 1 in R3
