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Il numero e x ` e un numero trascendente, cio` e per ogni polinomio Q(t) = q 0 + q 1 t + q 2 t 2 + · · · + q d t d a coefficienti interi (in Z) risulta

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Il numero e x ` e un numero trascendente, cio` e per ogni polinomio Q(t) = q 0 + q 1 t + q 2 t 2 + · · · + q d t d a coefficienti interi (in Z) risulta

Q(e x ) = q 0 + q 1 e x + q 2 e 2x + · · · + q d e dx 6= 0.

per x razionale non nullo.

Dimostrazione per assurdo. ` E sufficiente prendere 0 < x < 1 e razionale.

Supponiamo che esista un polinomio Q(t) = q 0 + q 1 t + q 2 t 2 + · · · + q d t d a coefficienti interi (in Z) tale che, calcolato in e x , si abbia

q 0 + q 1 e x + q 2 e 2x + · · · + q d e dx = 0, Possiamo supporre, senza perdere di generalit` a, che q 0 > 0.

Prendiamo un generico polinomio P (t; x) con coefficienti reali di grado m.

Possiamo allora determinare un polinomio f , anch’esso di grado m, tale che sia verificata l’identit` a

I(t; x) = Z t

0

e x(t−u) f (u) du = e xt P (0; x) − P (t; x),

prendendo f (t) = x P (t; x) − P 0 (t; x), che dipende pure da x. Se fissiamo il polinomio f (t), possiamo determinare il polinomio P (t; x) derivando succes- sivamente l’eguaglianza precedente

f (t)

x =: f (0) (t)

x = P (t; x) − 1

x P 0 (t; x) f (1) (t)

x 2 = 1

x P 0 (t; x) − 1

x 2 P 00 (t; x) .. .

f (m−1) (t)

x m = P (m−1) (t; x)

x m−1 − P (m) (t; x) x m f (m) (t)

x m+1 = P (m) (t; x) x m e sommando otteniamo

m

X

j=0

f (j) (t)

x j+1 = P (t; x).

1

(2)

Quindi introducendo il numero J come

J = q 0 I(0; x) + q 1 I(1; x) + q 2 I(2; x) + · · · + q d I(d; x) = abbiamo che

J = P (0; x) (q 0 + q 1 e x + q 2 e 2x + · · · + q d e dx )

−(q 0 P (0; x) + q 1 P (1) + q 2 P (2; x) + · · · + q d P (d; x))

= −

m

X

j=0 d

X

k=0

q k f (j) (k) x j+1

Denotando con ¯ f il polinomio ottenuto da f prendendo come coefficienti il valore assoluto dei corrispondenti coefficienti di f :

f (u) = a 0 +a 1 u+a 2 u 2 +· · ·+a m u m , f (u) = |a ¯ 0 |+|a 1 | u+|a 2 | u 2 +· · ·+|a m | u m , abbiamo che |f (u)| ≤ ¯ f (u) ≤ ¯ f (t) per 0 ≤ u ≤ t; quindi abbiamo la ovvia maggiorazione

|I(t; x)| ≤ Z t

0

e x(t−u) |f (u)| du ≤ ¯ f (t)e xt Z t

0

du = e xt t ¯ f (t) Sinteticamente

|I(t; x)| ≤ e xt t ¯ f (t) (1)

Scegliamo ora come polinomio f il seguente

f (t) = t p−1 (t − 1) p (t − 2) p · · · (t − d) p . (3) Osserviamo che tale polinomio ` e a coefficienti interi e si pu` o scrivere

f (t) = a t p−1 + b p t p + · · · + b m t m , m = (d + 1)p − 1

con a = (−1) dp (d!) p ; quindi tutte le derivate di ordine j < p − 1 sono nulle per t = 0 e

f p−1 (0) = a (p − 1)! = (−1) dp (d!) p (p − 1)!,

e quelle successive a p − 1, sempre calcolate per t = 0, sono divisibili per p!

osservando che

f j (0) = b j j!, j ≥ p.

2

(3)

Infine, per ogni k = 1, 2, . . . , d possiamo scrivere

f (t) = b k,p (t − k) p + b k,p+1 (t − k) p+1 + · · · + b k,m (t − k) m ,

e quindi tutte le derivate di ordine j < p, calcolate in k, sono nulle e quelle successive, calcolate in k, sono divisibili per p!.

Possiamo allora scrivere che, per x = 1 n ,

J = n p  − q 0 (−1) dp (d!) p (p − 1)! + z p! = n p (p − 1)! [−q 0 (−1) dp (d!) p + z p]

con z un intero. Mostriamo che, scegliendo opportunamente p, il numero intero

−q 0 (−1) dp (d!) p + z p 6= 0 :

`

e sufficiente prendere, come p, un primo tale che p > q 0 e q > d. Allora abbiamo che

|J| ≥ n p (p − 1)! . (4)

D’altra parte abbiamo che (I(0) = 0)

|J| ≤ |q 1 | |I(1; x)| + |q 2 | |I(2; x)| + |q 3 | |I(3; x)| + · · · + |q d | |I(d; x)|

e dalla (3) abbiamo che

f (t) = t ¯ p−1 (t + 1) p (t + 2) p · · · (t + d) p . Quindi, per k = 1, 2, . . . , d, si ha

f (k) ≤ ¯ ¯ f (d) = 1

d (d(d + 1)(d + 2) · · · (d + d)) p e per la (1) abbiamo

|I(k; x)| ≤ e xk k ¯ f (k) ≤ e xk d ¯ f (d) da cui

|J| ≤ (|q 1 | e x + |q 2 | e 2x + |q 3 | e 3x + · · · + |q d | e dx |) d(d + 1)(d + 2) · · · (d + d)  p

Ora il termine |q 1 | e x +|q 2 | e 2x +|q 3 | e 3x +· · ·+|q d | e dx ` e sicuramente maggiore di 1 e quindi si pu` o maggiorare con se stesso elevato alla p e quindi esiste una costante C ( 1 ) tale che

|J| ≤ C p ;

1

C = (|q

1

| e

x

+ |q

2

| e

2x

+ |q

3

| e

3x

+ · · · + |q

d

| e

dx

) d(d + 1)(d + 2) · · · (d + d)

3

(4)

questa maggiorazione vale per ogni x > 0.

Quindi avremo

n p (p − 1)! ≤ |J | ≤ C p

e questo ` e un assurdo per p sufficientemente grande! Infatti n p (p − 1)! ≤ C p ⇒ 1 ≤ C

n

( C n ) p−1 (p − 1)!

ma per p → ∞ il secondo termine va a zero in quanto la serie

X

p=0

y p p! = e y

`

e convergente.

Concludiamo osservando che dal fatto di avere e

n1

trascendente discende che ogni e

mn

` e trascendente. Infine se e x ` e trascendente segue che anche e −x

`

e trascendente.

Abbiamo che

β 1 e α

1

+ β 2 e α

2

+ β 3 e α

3

+ · · · + β n e α

n

6= 0 for any α i ∈ Q and any β i ∈ Q not all zero.

Infatti possiamo supporre

α i = m i m che implica

β 1 (e 1/m ) m

1

+ β 2 (e 1/m ) m

2

+ β 3 (e 1/m ) m

3

+ · · · + β n (e 1/m ) m

n

6= 0 per la trascendenza di e 1/m .

4

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