Esercizio 1 Scegliere opportunamente gli esponenti (positivi, negativi o nulli) delle grandezze fondamentali (L, T, M, Q), in modo da rendere vere le seguenti equazioni dimensionali: [E] = [F] L T M Q [V] = [F] L T M Q [V] = [H] L T M Q [V] = L T M Q [B]

Esercizio 1

Scegliere opportunamente gli esponenti (positivi,

negativi o nulli) delle grandezze fondamentali (L, T, M, Q), in modo da rendere vere le seguenti

equazioni dimensionali:

[E] = [F] L T M Q [V] = [F] L T M Q [V] = [H] L T M Q [V] = L T M Q [B] = [E] L T M Q [ L] = [B] L T M Q [Z] = L T M Q

[ 

] = [B] L T M Q [ 

] = [F]

L T M Q [ 

] = [B] L T M Q [RC] = L T M Q [  ] = L T M Q

Significato dei simboli: F: forza, E: campo elettrico; V:

potenziale elettrico; H: energia; B: campo

magnetico; L : coefficiente di autoinduzione; Z:

impedenza; 

: permeabilita` magnetica del vuoto;



: costante dielettrica del vuoto; 

: flusso del

campo magnetico; R: resistenza; C: capacita`;  :

angolo in radianti.

• Soluzione dell’esercizio 1

• Per determinare le dimensioni di una grandezza si parte da una formula in cui compaia la grandezza stessa, ad esempio per il campo E:

• O per il potenziale V:

• Ovviamente il segno di integrale non ha alcuna influenza sulle dimensioni fisiche, per cui lo si e`

trascurato nella prima formula

• Per l’impedenza Z, ricordiamo che ha le stesse dimensioni della resistenza R.

• Dalla definizione,



q F E 

q s H

d q F

V

q s FS q d

s F d E V

 































 

 

  1

 ^





B  d a 

[E] = [F] L

T

M

Q

[V] = [F] L

T

M

Q

[V] = [H] L

T

M

Q

[V] = L

T

M

Q

[B] = [E] L

T

M

Q

[L] = [B] L

T

M

Q

[Z] = L

T

M

Q

[ 

] = [B] L

T

M

Q

[ 

] = [F]

L

T

M

Q

[ 

] = [B] L

T

M

Q

[RC] = L

T

M

Q

[  ] = L

T

M

Q

Esercizio 2

Un circuito e` formato da due condensatori C1 e C2, una resistenza R, un generatore E e un deviatore A.

Inizialmente C₁ e C₂ sono scarichi e il deviatore viene posto nella posizione seguente, in modo da escludere C2.

R

C₁ C₂

E A

C₁ C₂

R E

A

Si attende abbastanza a lungo per raggiungere lo stato stazionario (stato 1). Trovare: (a) l’energia erogata dal generatore; (b) l’energia dissipata nella resistenza; (c) l’energia immagazzinata nel condensatore.

Successivamente il deviatore viene messo nella posizione seguente, in modo da escludere il generatore

Si attende abbastanza a lungo per raggiungere il nuovo stato stazionario (stato 2). Scelto il verso di percorrenza

antiorario nella maglia, determinare (d) il valore assoluto e il segno del potenziale ai capi di ciascun condensatore.

Trovare: (e) l’energia elettrostatica totale dello stato 2;

confrontare tale energia con quella dello stato 1 e dire (f) perche’ i due valori non sono uguali.

• Soluzione dell’esercizio 2

• Scriviamo innanzitutto l’equazione del circuito nella disposizione iniziale:

• Ricordando la relazione tra carica e corrente,

perveniamo alla seguente equazione differenziale:

• Che si risolve ricordando la trattazione del circuito RC e tenendo conto della condizione iniziale che la carica nel condensatore (e la corrente nel circuito) e` inizialmente nulla:

• ove  = RC1 e` la costante del circuito e e` la carica nello stato stazionario.

C Ri V Q

V

E 



 

1

R E RC

Q dt

dQ  

1

 





 t

t

e Q

e EC

t Q













 1

1 )

(



e

R t E

i ( ) 

Q

La potenza erogata dal generatore e` data da

Se la corrente erogata fosse costante, l’energia erogata sarebbe semplicemente il prodotto della potenza per il tempo dell’erogazione. Nel nostro caso essa non e`

costante, e quindi l’energia fornita varia da istante a istante.

Per ottenere l’energia totale erogata, bisognera` sommare nel tempo l’energia erogata istantaneamente, ovvero

integrare la potenza nel tempo:

Ove t=0 corrisponde all’istante in cui si chiude il circuito e si e` posto t=infinito per semplicita` di calcolo dell’integrale, significando con cio` un tempo abbastanza lungo affinche’ si raggiunga lo stato stazionario.

L’energia dissipata nella resistenza e`, analogamente, l’integrale della potenza relativa:

L’energia immagazzinata nel condensatore si puo` trovare ricordando la formula:

L’energia del generatore va quindi per meta` dissipata nella resistenza e per meta` accumulata nel condensatore.

1 2 0

2

0

C E dt

R e Eidt E

H

t t

t

G















1 2 0

2 2 2

0 2

2

1 E C dt

R e R E Rdt

i H

t t

t

R





 







1 2 1

2

2 1 2

1 E C

C H

 Q



EI

P



• Dopo aver escluso il generatore e aver raggiunto il

nuovo stato stazionario, possiamo trovare le cariche sui condensatori ricorrendo a due principi: il principio delle maglie di Kirchhoff e il pricipio della conservazione della carica. Il primo stabilisce che la somma delle ddp lungo la maglia e` nulla. Tenendo presente che in questo stato stazionario la corrente e` nulla e quindi la ddp ai capi della resistenza e` nulla, si ottiene:

• Da qui si deduce che la ddp su un condensatore e`

uguale e contraria a quella sull’altro.

• L’altro principio ci permette di affermare che la carica presente inizialmente sul condensatore 1 ( ) si ridistribuira` sui due condensatori:

• Le due equazioni scritte ci permettono di trovare le due cariche incognite:

0

2 2 1

2 1

1

   

C q C

V q V

1 2

1

q EC

q  

2 1

2 2

1 2 2 2

2 1

1 2

1 2 1 1

C C

Q C C

C E C q

C C

Q C C

C E C q

 

 

 

 





Q

• L’energia elettrostatica finale si trova sommando l’energia dei due condensatori:

• Che confrontata con l’energia elettrostatica

accumulata inizialmente nel condensatore 1 (vedi espressione ricavata in precedenza) ci permette di dire che c’e` stata una diminuzione di energia.

• La differenza e` stata dissipata nella resistenza nel passaggio dallo stato 1 allo stato 2.

2 1

2

2 2 2 1

2 1

2 1 2

1 2

1

C C

Q C

q C

H

q

 





Esercizio 3

Tre cariche Q

=+e, Q

=+2e, Q

=-3e sono fissate rispettivamente nei punti (1cm,0,0), (0,1cm,0),

(0,0,1cm) di un sistema cartesiano ortogonale Oxyz.

Trovare (a) il modulo del campo elettrico E

nell’origine O; (b) i coseni direttori del vettore E e (c) gli angoli (espressi in gradi) che esso forma con

ciascun asse. Trovare (d) l’energia elettrostatica necessaria per costituire questa disposizione di cariche e (e) si discuta il segno dell’energia trovata per stabilire se bisogna spendere lavoro sul sistema o si riceve lavoro dal sistema.

y z

x

Q₂ Q₃

Q₁

• Soluzione dell’esercizio 3

• Il campo elettrico totale e` la somma dei campi dovuti alle tre cariche:

• Dove le distanze ‘d’ delle cariche dall’origine sono tutte uguali e i versori sono proporzionali ai versori di base

• Il modulo del campo totale e` quindi:

• I coseni direttori si riferiscono agli angoli che il vettore campo forma con gli assi coordinati (non sono quindi da confondere con le coordinate angolari del vettore)

• E gli angoli sono

2 3 3

1 2 2

2 1 2 1

1 1 3

2

1(0) (0) (0) ˆ ˆ ˆ

) 0

( d

d k Q d d

k Q d d

k Q E

E E

E_tot         





d ke

d k k e d j

k e d i

k e E_tot

3 ˆ 2 ˆ

ˆ

ˆ ) ) ( 3 ) (

( ˆ ) 2 ) (

( ˆ ) ) (

0 (

2

2 2

2









 



 



 

 

m V d

E_tot ke ₄ ⁵

19 9

2

14 5 . 38 10

10

10 6 . 1 10 99 . 9 8

4 1 )

0

(



 





 





 

802 . 0 14

3 cos

535 . 0 14

2 cos

267 . 0 14

1 cos































E E

E E

E E

z y x







31 1 3 23

3 2 12

2 1 31

23

12

d

Q k Q

d Q k Q

d Q k Q

U U

U

U

     

o o o

7 . 36

3 . 122

5 . 105













Come si puo` trovare usando una calcolatrice tascabile.

L’energia elettrostatica e` la somma delle energie relative alle tre coppie di particelle:

Ove le distanze tra le particelle di ogni coppia sono tutte uguali a D:

Il segno del’energia e` negativo, cio` significa che si riceve lavoro dal sistema.

   

    _{ }

J D

k e

D e k e

D e k e

D e k e

U_tot

25

2 19 2 9

2

10 14 . 1

10 7 41 . 1

10 6 . 10 1 99 . 8 3

6 2

3 3

2 2













 

 











 



 

 