Equazioni differenziali - 3

Equazioni differenziali - 3

Antonino Polimeno

Universit` a degli Studi di Padova

Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 1

Equazione differenziale (lineare alle derivate parziali del secondo ordine:

n

X

i ,j

a

(x) ∂

y

∂x

∂x

+

n

X

i

b

(x) dy

d x

+ c(x)y = ˆ Ly = f (x) a

, b

, c, f sono funzioni R

→ R; y `e in generale una funzione R

→ C.

I

L ` ˆ e un operatore lineare

I

omogenea se f = 0

I

le soluzioni dell’equazione omogenea sono uno spazio vettoriale,

I

se y

` e una soluzione generale dell’equazione omogenea e ¯ y ` e

una soluzione particolare dell’equazione non omogenea,

y = ¯ y + y

Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 2

Una forma quadratica q =Pn

i ,j =1mijhihj= h^trmh `e una funzione polinomiale di secondo grado Rⁿ→ R

definita positiva o negativa se q > 0 o q < 0 per ogni h 6= 0 (autovalori di m tutti positivi o negativi)

semidefinita positiva o negativa se q ≥ 0 o q ≤ 0 per ogni h 6= 0 (autovalori di m non negativi o non positivi) indefinita in ogni altro caso

Consideriamo un punto generico x0, e valutiamo nel punto la forma quadratica

q =

n

X

i ,j

aij(x0)hihj

I L `ˆeellitticoin x0 se q `e definita (positiva o negativa)

I L `ˆeiperbolicoin x0se q `e indefinita

I L `ˆeparabolicoin x0 se q `e semidefinita

Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 3

I

L’equazione di Laplace ` e ellittica in R

∇

y = 4y = 0 infatti q = P

i =1

h

` e sempre positiva se h 6= 0

I

L’equazione di D’Alembert (delle onde) ` e iperbolica in R

 ∂

∂t

− c

∇



y = y = 0

infatti q = h

− c

P

i =1

h

` e positiva o negativa.

I

L’equazione di diffusione ` e parabolica in R

 ∂

∂t − D∇

 y = 0

infatti q = −D P

i =1

h

` e non negativa o non positiva in R

.

Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 4

I

L’equazione di Schr¨ odinger dipendente dal tempo per una funzione d’onda in n coordinate ` e parabolica in R

i ~ ∂

∂t − ~

2

n

X

i =1

1 m

∂

∂x

+ V

!

ψ(x, t) = 0

infatti q = −

P

h²_i

mi

` e non negativa o non positiva in R

.

I

Ma l’equazione di Schr¨ odinger indipendente dal tempo ` e ellittica in R

− ~

2

n

X

i =1

1 m

∂

∂x

+ V

!

ψ(x) = E ψ(x)

infatti q = −

P

h²_i

mi

` e sempre negativa se h 6= 0.

Condizioni al contorno - 1

A ogni tipo di equazione (ellittica, parabolica, iperbolica) corrispondono tipi naturali di condizioni al contorno.

I Dato un processo chimico o fisico descritto da un’equazione

differenziale alle derivate parziali nelle n variabili (reali) indipendenti x, si definir`a una regione dello spazio D ⊂ Rⁿ detta dominio di definizione dell’equazione.

I Al dominio D possiamo associare una frontiera F

I Per la definizione di una soluzione univocamente definita `e

necessario stabilire delle condizioni aggiuntive in D, dette condizioni al contorno

Equazioni ellittiche - Condizioni al contorno - 2

Consideriamo le condizioni al contorno per una generica equazione ellittica (per esempio l’equazione di Laplace) in R

ˆ Ly = f

Sia D dominio in R

, con una frontiera F . Parliamo di condizioni (o problema) di

Dirichlet

se ˆ Ly = f per x ∈ D e y = y

se x ∈ F

se ˆ Ly = f per x ∈ D e ∂y

∂ν = y

se x ∈ F , dove ∂y

∂ν ` e la derivata normale a F di y in x

Robin

se ˆ Ly = f per x ∈ D e y + α ∂y

∂ν = y

se x ∈ F , con α > 0

Le condizioni si dicono miste se per esempio in una parte di F

valgono le condizioni di Dirichlet, in un’altra quelle di Neumann.

Equazioni paraboliche - Condizioni al contorno - 3

Consideriamo le condizioni al contorno per una generica equazione parabolica (per esempio l’equazione di diffusione o l’equazione di Schr¨odinger dipendente dal tempo) in Rⁿ⁺¹. In generale possiamo restringere l’analisi al caso in cui una coordinata sia trattata a parte (il tempo) e le altre (coordinate spaziali) siano descritte da un operatore ellittico in Rⁿ

∂y

∂t − ˆLy = f

Sia D dominio in Rⁿ, con una frontiera F . Parliamo di condizioni (o problema) di

Cauchy-Dirichlet se ∂y

∂t − ˆLy = f per x ∈ D, t > 0 e y (t, x) = y0(t, x ) se x ∈ F , t > 0 e y (0, x) = y1(x ) se x ∈ D

Cauchy-Neumann se ∂y

∂t − ˆLy = f per x ∈ D, t > 0 e

∂y (t, x)

∂ν = y0(t, x ) se x ∈ F , t > 0 e y (0, x) = y1(x) se x ∈ D

Equazioni paraboliche - Condizioni al contorno - 4

L’equazione di Schr¨ odinger dipendente dal tempo che descriva la funzione d’onda di un elettrone confinato a muoversi in un regione sferica D di raggio L in R

e inizialmente localizzato al centro della sfera, ha per esempio condizioni di Cauchy-Dirichlet

i ~ ∂ψ

∂t = Hψ ˆ x ∈ D, t > 0 ψ(t, x) = 0 r = L, t > 0 ψ(0, x) = δ(r ) t = 0 dove r = p

x

+ y

+ z

.

Equazioni iperboliche - Condizioni al contorno - 5

Anche in questo caso possiamo restringere l’analisi al caso in cui una coordinata sia trattata a parte (il tempo) e le altre (coordinate spaziali) siano descritte da un operatore ellittico in Rⁿ

∂²y

∂t² − ˆLy = f

Sia D dominio in Rⁿ, con una frontiera F . Parliamo di condizioni (o problema) di

Cauchy-Dirichlet se ∂²y

∂t² − ˆLy = f per x ∈ D, t > 0 e y (t, x) = y₀(t, x ) se x ∈ F , t > 0 e y (0, x) = y1(x), ∂y

∂t|t=0= y2(x) se x ∈ D

Cauchy-Neumann se ∂y

∂t − ˆLy = f per x ∈ D, t > 0 e

∂y (t, x)

∂ν = y0(t, x ) se x ∈ F , t > 0 e y (0, x) = y1(x),

∂y

∂t|t=0= y₂(x) se x ∈ D

Condizioni al contorno - 6

I

per le equazioni lineari con condizioni al contorno lineari vale il principio di sovrapposizione : la soluzione di un problema avente dati (cio` e l’insieme di condizioni al contorno) non nulli si ottiene sommando le soluzioni di pi´ u problemi, ciascuno avente un solo dato non nullo

I

Un problema ben posto ` e un problema tale che a un piccolo errore nei dati (al contorno e iniziali) corrisponde un piccolo errore nella soluzione; in termini pi` u precisi

1. per ogni scelta dei dati la soluzione esiste 2. la soluzione `e unica

3. la soluzione dipende con continuit`a dai dati, cio`e a una piccola variazione dei dati corrisponde una piccola variazione della soluzione