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Equazioni differenziali lineari

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Academic year: 2021

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(1)

Equazioni differenziali lineari

Un’equazione del tipo

y (x) = f (x, y(x))

` e un’equazione differenziale del primo ordine e pu` o es- sere risolta numericamente con una formula di ricor- renza. Il metodo pi` u semplice consiste nel sostituire la dervata con il rapporto incrementale

(y(x + h) − y(x))/h = f(x, y(x)) da cui

y(x + h) = y(x) + h · f(x, y(x))

In questo metodo (di Eulero) si sono trascurati termini O(h 2 ) Per molte applicazioni questa precisione non ` e sufficiente

Metodo di Heun La soluzione data da Eulero ` e altrettanto buona quanto

y(x + h) = y(x) + h · f(x + h, y(x + h))

solo che non conosco y(x + h) . Posso allora calcolare y(x + h) in approssimazione lineare con la formula di Eulero y(x + h) = y(x) + h · f(x, y(x)) e poi sostituire dentro l’equazione precedente. Trovo

y(x + h) = y(x) + h · f(x + h, y(x) + h · f(x, y(x)))

che d` a il metodo di Heun. Espandendo in potenze di h

si vede che l’errore ` e O(h 3 ).

(2)

Metodi di Runge-Kutta

Possono avere precisioni diverse: i pi` u comuni sono esatti fino al secondo e quarto ordine. Metodo al 2 o ordine

k 1 = h · f(x, y(x))

y(x + h) = y(x) + h · f(x + h/2, y(x) + k 1 /2) Sviluppando in serie di Taylor

y n+1 − y n = h · dy n

dx + h 2 2

d 2 y n

dx 2 + O(h 3 )

= h · f n + h 2 2

 df n

dx + y n df n

dy



+ O(h 3 )

= h · f n + h 2 2

 df n

dx + f n df n

dy



+ O(h 3 ) h · f n (x + h

2 , y n + k 1

2 ) = h ·



f n + h 2

df n

dx + k 1

2 df n

dy



= h · f n + h 2 2

 df n

dx + f n df n

dy



Si pu` o procedere con ordini superiori al secondo. Per il

(3)

quarto ordine la formula ` e

k 1 = h · f(x n , y n ) k 2 = h · f(x n + h

2 , y n + k 1

2 ) k 3 = h · f(x n + h

2 , y n + k 2

2 ) k 4 = h · f(x n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n + k 1

6 + k 2

3 + k 3

3 + k 4

6

Mi limito a dimostrare questa formula quando f nono dipende da y

k 1 = h · f(x n ) k 2 = k 3 = h · f(x n + h

2 ) k 4 = h · f(x n + h) y n+1 = y n + 1

6 · (k 1 + 4 · k 2 + k 4 ) = h

6 ·



f n + 4 ·



f n + h

2 f n + h 2

8 · f n ′′ + h 3

48 f n ′′′ + O h 4 



+ h 6 ·



6f n + hf n + h 2

2 · f n ′′ + h 3

6 f n ′′′ + O h 4 



= hf n + h 2

2 f n + h 3

6 f n ′′ + h 4

24 f n ′′′ + O(h 5 )

= hy n + h 2

2 y n ′′ + h 3

6 y n ′′′ + h 4

24 y n ′′′′ + O(h 5 )

Questo metodo ` e un buon compromesso tra il numero

di valutazioni della funzione e l’ampiezza di h.

(4)

Equazioni di ordine superiore al primo

Esempio: circuito elettrico L¨ q + R ˙ q + q

C = A cos(ωt) definisco il vettore

~ z =

 z 1

z 2



=

 q q ˙



Derivando ~ z ottengo

 q ˙

¨ q

 =

q ˙

A

L cos(ωt) − R L q − ˙ LC 1 q

che, riscritto per le componenti di ~ z, diventa

d dt

 z 1

z 2

 =

z 2 A

L cos(ωt) − R L z 2 − LC 1 z 1

Un’ equazione scalare di ordine N si pu` o ricondurre ad

un’equazione vettoriale del primo ordine. In questo caso

z 1 contiene la carica e z 2 la corrente

(5)

Metodo di Numerov

Si applica a equazioni del tipo

y ′′ (x) + a(x)y(x) = b(x) con a(x) > 0

Scrivendo

y(x + h) = y(x) + hy (x) + h 2

2 y ′′ (x) + h 3

6 y ′′′ (x) + h 4

24 y ′′′′ (x) + O(h 5 ) y(x + h) = y(x) − hy (x) + h 2

2 y ′′ (x) − h 3

6 y ′′′ (x) + h 4

24 y ′′′′ (x) + O(h 5 )

Sommando ottengo

y(x + h) + y(x − h) = 2y(x) + h 2 y ′′ (x) + 12 h

4

y ′′′′ (x) + O(h 6 ) y ′′ (x) = y(x+h)+y(x−h)−2y(x)

h

2

12 h

2

y ′′′′ (x) + O(h 4 )

(6)

Chiamo y n = y(x), y n+1 = y(x + h), y n−1 = y(x − h) e l’equazione precedente diventa

y n ′′ = b n − a n y n = y n+1 + y n−1 − 2y n

h 2 − h 2

12 y ′′′′ (x) + O(h 4 ) Derivando l’equazione differenziale due volte trovo un’altra espressione per la derivata quarta

y n ′′′′ = b ′′ n − (a n y n ) ′′ = (b n+1 + b n−1 − 2b n )

h 2

a n+1 y n+1 + a n−1 y n−1 − 2a n y n

h 2 + O(h 4 )

Raccolgo i termini che moltiplicano y n , y n+1 , y n−1 e ot- tengo

h 2 (b n+1 + b n−1 + 10b n ) = 1 + h 2 a 2 n+1 12

!

y n+1 +



1 + h 2 a 2 n−1 12



y n−1 − 2 1 − 5h 2 a 2 n+1 12

!

y n

(7)

Esercizi

la verit` a sul pendolo

L’equazione del pendolo

y ′′ + sin(y) = 0 viene approssimata di solito con

y ′′ + y = 0

e si dice che l’approssimazione sia corretta per le piccole oscillazioni. Un test potrebbe essere misurare il periodo delle oscillazioni per le due equazioni con condizioni ini- ziali

y(0) = y 0 y (0) = 0 al variare di y 0

Giochi di guerra

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¨ x(t) = −k ˙x(t) y(t) = −k ˙y(t) − g ¨

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