Esercitazione del 4 Novembre 2010
Teoria
X, Y V.A.
, ,
, ; , ;
,
,
,
se , X e Y sono indipendenti
B A
b a
x
y
x y
P x A y B f x y dxdy
F a b P x a y b
f x y dxdy
f x f x y dy
f y f x y dx f x y f x f y
Es 1
2
1
2
0 1
1 1
2 1 2
1
0 0
1 2
2 2
0
,
2 0 0 , 0 altrove
1, 1 2
2 2
1 2
x y
x y
y x y
x y x y
x
x y
e e x y
f x y
P x y e e dxdy
e e dy e e dy
e e
f x e e dy e e e
0
2
0 0
2 3
0
2 2 1
3
x
y
x y
y y
P x y e e dxdy
e e dy
Es 2
Triangolo con vertici in (0,0); (0,1) e (2,0)
1 1
2 1
2 1 0 0
1 1 1
2
x
x
f
xx dy y x
20
1 1
E X
x2x dxDomanda: abbiamo la f e abbiamo le marginali, trovare un’altra funzione di densità con le stesse marginali.
Si risolve facendo il prodotto. Se f(x,y) non è f(x) * f(y) allora le marginali sono dipendenti.
Es 3
1
11 1 , ,
n
X
P X n p p
p
E X p Var X p
p p N m n
N Palline, n estratte senza reimmissione, m bianche, N-m nere X = n° palline bianche estratte
*
* 1
1
m N m i n i P X i
N n E X n m
N
Var X N m np p N
Probabilità di vincere con 89, 90 al lotto
2 88
2 3
0, 0025 90
5 p
Possibilità di vincere nelle 10 estrazioni, sapendo che si è perso nelle prime 2
10 2 10 2
10
2
1| 0 1 0 | 0
1 0
0
P X X P X X
P X P X
Es 4
Probabilità di trovare la linea libera dopo quanti tentativi in media sapendo che p = 0,05 è libera?
0, 05
1 20
0, 05 X Ge E X
So che nei primi tentativi non ho avuto successo. Calcoliamo la n
0, 05 1 0, 95 1
2 0, 95 0, 5
14
n
n
p
n
Es 5
,
1 per 0
0 1 U
f x x
a
F a a a
a
10 punti entro 1 cm dal bersaglio 5 punti tra 1 e 3 cm
3 punti tra 3 e 5 cm X = n° punti = {0,3,5,10}
0,10
1 0 1
10 1
10 0 10
3 1 2
5 1 3
10 10 10
5 3 2
3 3 5
10 10 10 0 1
2
1 1 1 1 13
0 3 5 10
2 5 5 10 5
D U E X
P X P D
P X P X
P X P D
P X E X
Es 6
V.a. Continue normali
,
21 1
X N
x F x P Z X
P Z x P Z x P Z x
x x
Es. voto universitario media 24, deviazione standard 4, dati distribuiti secondo normale. P voto > 27
