Esercitazione del 25 Novembre 2010

(1)

Esercitazione del 25 Novembre 2010

Es 1

 

     

0,0005*300

0,0005*120

0, 0005 0, 0005

Probabilità che una lampadina duri più di giorni: 300

300 1 300 1 1 0, 2231

150 120 | 150 120 1 120

0, 5488 50

Probabilità di avere 3 lampadine ch X

P X P X e

P X X P X P X

e n









       

       

 



 

    

³



⁴⁷

e durino 300 giorni 50, 0.2231

3 50 0, 2231 1 0, 2231 3

Y Bi

P Y     

 

Es 2

 

   

 

     

0,5*0,5

0,5*1,5 0,5*2

2 1 1 2

0, 5 1 0, 5 0, 7788

1, 5 2 0, 4724 0, 3679 0,1045

2 | 1, 5 1 2 | 1, 5 1 0, 5

0, 2212 X

E X

P X P X e

P X e e

P X X P X X P X

 





 

 



     

      

         



Es 3

 

   

^ ^

 

^ ^

 

0 0

0

0 0 0 0

,

1 se , 0

, 2

0 altrove

1 1 1

2

1 1 1 1

2 2 2 2

x y xy

x y

y

x y x y

X Y

x y e x y

f x y

E x y e dxdy

x y x y

e dy

e dxdy e e dy

 

 

 

         

  

 



 

  

   

 

  

    

 

   

(2)

   

^ ^

 

^ ^ ^ ^

 

^ ^ ^ ^

 

     

 

^ ^

   

0

0 0

0

2

1 2

Integrale per parti

' ' 1

1 2

.

, ?

?

1 1 1

1 1

2 2 2

6 0,

, 5

x y x

x y

x y x y

xy x y

x y x y

xy

f x x y e dy

f x y g e

f g e

x y e e dy

x y e e

f x y f x f y

x y e x e y e

x y x

f x y

  

 

 

   

    

   

  

 



 

  

     

 

    

 

   

 





   

1 2 2

2

0 0

1 1 1 1

3

2 2 2 2

2

0 0 0 0

1 1

2 2 2 2

0 0

; 0,1 ; altrove 0

0, 5; 0, 5 6 5

6 6 1 1 6 1 1

5 3 5 24 2 5 24 4

6 1 1 1 6 4 1

5 24 2* 16 5 48 10

6 6 1 6 1

5 5 2 5 2

y

x

y y

P X Y x y dxdy

x xy dy y dy y y

f x x y dy x y y x

f

 





    

     

            

 

    

   

         



 



   

     

1 1 4 2 1

3

0 0 0

1

0

1 1 1 1

2 3 2

0 0 0 0

1 1

1 4 2 2 1 2

2 3

0 0 0 0

2 3 1

5

6 1 6 3

5 2 5 4 4 5

3 5

6 6

5 5

6 6 1 1

5 4 2 4 2 5 8 6

7 20

,

y

x

y

x y

x x

E X xf x dx x x dx

E Y yf y dy

E XY xy x y dxdy x xy dxdy

x y x y y y

dy dy y y

Cov X Y E X E Y

 

 

 

         

 

    

     

            



 

 



 

 

 

^{3 3}^* ⁷

5 5 20 I due eventi non sono indipendenti

E XY  

(3)

Es 4

   

     

         

 

^{ }

 

0

2

0 0

2

' log 1

1 1

1 log 1 0

1

se x tende a una esponenziale allora

esempio:

1 se 0 0 s

t

x t

s ds

t t

t dt x

X

f t F t d

t F t

F t F t dt

s ds log F t F

e F t

F t e

t e e t t

e x

F x



  





    

 

    

  

  

 



  





 

   

^{ }

 

     

   

       

   

 

3

4

4 4

3

1,5 3

3

4

0,4 1,4

4 4

4 1

e 0

1

1, 5 1 1, 5

1 se 0 0 se 0

0, 4 1, 4 1, 4 0, 4

0, 6109

2 1 2

2 | 1

1 1

x x

x

F x e

P X P X e

t t

e x

F x

x

P X F F

e e

P X X P X e

P X X

P X P X

e





 





 



 

    



  

  

    

 

  

    

  ₄ 0, 0235

(4)

Es 5

 

   

 

   

1

1*1 2

10 3

2 2

0 10

2 2

0

,

se 0 0 altrove

2 1 2

1 1 1 0, 3935

3,1 2

1 1

10 3 3

1 1 1

16 8 2

x

X

e x

f x x

X E X

P X F e

Y

P Y x e dx

x e dx x

 

 

 



 



 



 

 

 





    

 

 

       

   



¹⁰ ² ²

0 10 10

2 2 2

0 0

10 10 10

2 2 2 2

0 0 0

10

2 2 2 3

0

1 2

8

1 4 4

8

1 4 8 0,1247

8

x

x x

x x x

x

x x

e dx

x e xe dx

x e e e dx

x e e e



 

  



 



  

 

     

 

 

 

    

 

        

   

 

 

 

     

 



Es 6

 

   

 

   

 

1 2

30

15

0

2

,

15 1 30

2, 1 15

30 1 30

1 1

1 2 15 15

1 1 1

1 30 5 5

x

D D

E D E D P T

T

T D D

P T P T

e x dx

e

 





  



 

 

 

 

   

 

     

 

    



(5)

 

2

5 10 5

10 5

5 1

10 2

1 2 5 2 E X Var X









 



 







 

 



 

   



 

 



Es 7

 

   

1

2

2 2

60

1 0 0

0 0

* 1 1

2 1

* 1 1

1 2 5000

5000 * 3 5000 * 2 10000

6000 1 6000

x

e x

F x

x e x

f x

E X

Var X

E X

P X P X e







 

 

 

 

 





   

   

 



  

 

  

   

   



 

   

 

 

   

      

    



   

    

1

00 2

1,095

5000 e

 

  

  