Regola del Libanese:

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Definizioni Generali Analisi Matematica I Natali Mattia

1

Matematica



Regola del Libanese:

€

ax

²

+ bx + c = 0

 Se

€

a + b + c = 0



€

x₁ = 1 e

€

x₂ = c /a.

 Se

€

a + c = b



€

x₁ = −1 e

€

x₂ = −c /a.



Tabella degli asintotici

(per x0):

 sin(x) ~ x  sinh(x) -‐ x ~ (x³)/6

 e^x -‐ 1 ~ x  ln(1 + x) ~ x

 loga(1 + x) ~ x/ln(a)  a^x -‐ 1 ~ x·∙ln(a)

 (1 + x)^k ~ 1 + kx 

 1-‐cos(x) ~ (x²)/2  tanh(x) ~ x

 sinh(x) ~ x  Arcsin(x) ~ x

 cosh(x) -‐ 1 ~ (x²)/2  Arctan(x) ~ x

 x-‐sin(x) ~ (x³)/6  tan(x) ~ x

 Infiniti e Infinitesimi:

 Parte principale di un infinitesimo: è utile per definire il comportamento della funzione in un determinato punto.

 Esempio:

€

lim

x →1

x

³

−1 x

²

+1 = lim

x →1

(x −1)(x

²

+ x +1) x

²

+1

• Infinitesimo campione: (x-‐1). È il responsabile “che fa tendere a 0” il limite.

• Parte principale:

€

(x −1)(1

²

+1+1) 1

²

+1 → 3

2 (x −1)

 Inserisci 1 al posto di x e lascia l’infinitesimo campione con x.

• Per determinare il grado di infinitesimo guardo l’esponente dell’infinitesimo campione (in questo caso è di 1° grado).

 Successioni:

 Definite per ricorrenza: una funzione si definisce tale quando un generico termine della successione può essere calcolato dal valore del termine precedente.

 Algoritmo di Erone: è una successione definita per ricorrenza per determinare il valore di

€

2

.



€

a₀ = 2

€

a

_{n +1}

= a

_n

2 + 1

a

_n^,

€

n ∈ Ν

.

 Svolgendo l’equazione

€

l = f (l) si ottiene che il limite della successione è proprio

€

2

.

 Serie di Fibonacci: è definita nel seguente modo:



€

F₀ = 1,

€

F₁ = 1,

€

F_{n +2}= F_{n +1}+ Fn,

€

n ∈ Ν

.

• Dal rapporto fra due termini consecutivi

€

a

_n

= F

_{n +1}

F

_n si ricava la Sezione Aurea che equivale a

€

φ = 1+ 5

2 = 1,618033988

. (Dimostrazione pag 128).