Programma d’esame (deﬁnitivo) Docente: Salvatore Federico Contenuti introduttivi.

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Programma d’esame (definitivo)

Docente: Salvatore Federico

Contenuti introduttivi. Introduzione alla logica e al linguaggio matematico.

Cenni di teoria degli insiemi. Introduzione ai numeri reali. Sottoinsiemi di numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di sottoinsiemi di numeri reali.

Riferimenti bibliografici:

- Libro di testo: Cap. 1, sez. 1-2-3-5-6;

- Note del corso: Cap. 1.

Generalit`a sulle funzioni reali. Concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni elementari. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate.

Funzioni composte. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni convesse e concave. Estremo superiore e inferiore di funzioni. Masisimo e minimo (locale e globale) e punti di massimo e minimo (locale e globale) di funzioni. Trasfor- mazioni geometriche: traslazioni, affinit`a, riflessioni.

- Libro di testo: Cap. 2, sez. 1-3-4-5-6-7-8-9.

Successioni e serie. Definizione di successione reale. Successioni definite per ricorrenza. Successione aritmetica e successione geometrica. Limiti di successioni. Teoremi sui limiti di successione: unicit`a del limite, esistenza del limite per successioni monotone, confronto. Algebra parziale di R^∗e concetto di forma indeterminata. Operazioni algebriche coi limiti di successione. Limiti di successioni elementari. Gerararchie di infiniti. Definizione di serie. Carattere di una serie. Teoremi sulle serie: condizione necessaria di convergenza, criterio di convergenza di Leibniz per serie a termini con segno alterno. Serie geometrica e serie armonica generalizzata.

- Libro di testo: Cap. 3, sez. 1-3-4-5; Cap. 6, sez. 1-2-3-4-5.

Funzioni reali: limiti e continuit`a. Limiti di funzioni reali. Teoremi sui limiti: unicit`a del limite, esistenza del limite per funzioni monotone, confronto.

Operazioni algebriche coi limiti. Limiti di funzioni elementari. Gerarchie di infiniti. Definizione di funzione continua. Continuit`a e operazioni algebriche.

Continuit`a e composizione. Cambio di variabile nel calcolo dei limiti. Limiti notevoli. Teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass, zeri, valori intermedi.

- Libro di testo: Cap. 3, sez.2-3-5; Cap. 4, Sez. 1-2-3.

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Calcolo differenziale. Definizione di derivata e suo significato geometrico.

Derivata destra e sinistra. Derivate di funzioni elementari. Relazione tra continuit`a e derivabilit`a. Teoremi sulle funzioni derivabili (Fermat, Rolle, Lagrange).

Algebra delle derivate. Derivata di funzione composta e inversa. Relazione tra monotonia di una funzione e segno delle sue derivate. Ottimizzazione. Teorema di de l’Hospital. Derivata seconda. Relazione tra convessit`a/concavit`a di una funzione e segno della derivata seconda. Uso delle derivate per tracciare grafici di funzioni.

- Libro di testo: Cap. 5, sez. 1-2-3-4-7-8-9-10-12.

Calcolo integrale. Cenni di teoria dell’integrazione secondo Riemann. Pro- priet`a elementari dell’integrale di Riemann. Teorema della media integrale.

Teorema fondamentale del calcolo. Metodi di integrazione per parti e per sos- tituzione. Integrali generalizzati su intervalli illimitati e su intervalli limitati (per funzioni illimitate). Integrale generalizzato della funzione potenza. Re- lazione tra integrali e serie; applicazioni alla definizione del carattere della serie armonica generalizzata. Analisi della funzione integrale.

- Libro di testo: Cap. 7, sez. 1-2-3-4-5-6-7-8-9.

Algebra lineare. Vettori e spazio Rⁿ. Operazioni coi vettori: somma di vettori, moltiplicazione di vettori per scalari, combinazioni lineari di vettori, prodotto scalare. Concetto di dipendenza e indipendenza lineare di vettori.

Norma e distanza di vettori. Matrici e spazio R^n×m. Operazioni con matrici: somma di matrici, moltiplicazioni di matrici per scalari, prodotto di matrici, trasposizione. Scrittura matriciale di sistemi lineari di n equazioni in m incognite. Matrici quadrate: matrice identit`a, matrici diagonali, determinante, definizione di matrice inversa, condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilit`a in termini di determinante, calcolo dell’inversa. Soluzione di sistemi lineari di n equazioni in n incognite tramite il calcolo di matrici inverse.

- Libro di testo: Cap. 8, sez. 1-2-3-5-7-8-9-10; Cap. 9, sez. 1-2.

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