Teoremi sui limiti

Teoremi sui limiti

Quando non espressamente detto, intendiamo che:

f : dom(f ) ⊆ R → R

x0∈ R `e punto di accumulazione per dom(f ).

Teorema di unicit`a del limite. Supponiamo che f ammetta limite ` (finito o infinito) per x → x₀. Allora f non ha altri limiti per x → x0.

La dimostrazione `e svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa `e riportata a pag.

93-94 del libro di testo.

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Teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista

x →xlim0f (x ) = ` ∈ R. Se ` > 0,allora esiste un intorno I (x0) del punto x0, tale che f (x ) > 0 per ogni x ∈ I (x0) \ {x0}.

x₀ y

x

`

I(x₀)

La dimostrazione `e svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa `e riportata a pag.

94-95 del libro di testo.

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Corollario al teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista lim

x →x0f (x ) = ` ∈ R e che esista un intorno I (x0) del punto x<sub>0</sub>, tale che f (x ) ≥ 0 per ogni x ∈ I (x<sub>0</sub>) \ {x<sub>0</sub>}.Allora ` ≥ 0.

x₀ y

x

`

I(x₀)

La dimostrazione `e svolta a lezione. (Si veda pag. 95 del libro di testo)

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Limiti di funzioni monotone

Teorema. Sia f una funzione definita e monotona in un intorno sinistro I⁻(x₀) del punto x₀ ∈ R, escluso al pi`u il punto x0 stesso.

Alloraesiste finito o infinito lim

x →x₀⁻

f (x ) e precisamente si ha:

Se f `e crescente in I⁻(x₀) ⇒ lim

x →x₀⁻

f (x ) = sup

x ∈I⁻(x0)

f (x ) Se f `e decrescente in I⁻(x₀) ⇒ lim

x →x₀⁻

f (x ) = inf

x ∈I⁻(x0)f (x )

I⁻

(

)

x₀ x

I⁻

(

)

y y

`

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Limiti di funzioni monotone

Teorema. Sia f una funzione definita e monotona in un intorno destro I⁺(x₀) del punto x₀ ∈ R, escluso al pi`u il punto x0 stesso.

Alloraesiste finito o infinito lim

x →x₀⁺

f (x ) e precisamente si ha:

Se f `e decrescente in I⁺(x₀) ⇒ lim

x →x₀⁺

f (x ) = sup

x ∈I⁺(x0)

f (x ) Se f `e crescente in I⁺(x0) ⇒ lim

x →x₀⁺

f (x ) = inf

x ∈I⁺(x0)f (x )

y y

`

x0 x

x0 x

I⁺

(

)

(

)

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Un limite notevole

x →+∞lim

 1 +1

x

x

= e

Si dimostra grazie al teorema del limite di funzioni monotone.

Si riesce a provare che f (x ) =

 1 +1

x

x

`

e monotona crescente in (0, +∞), e che il sup del suo insieme immagine `e sup_{x >0}f (x ) = e.

Per il teorema del limite di funzioni monotone si ha

x →+∞lim f (x ) = sup

x >0

f (x ) = e

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4

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Operazioni con i simboli +∞ e −∞

Ricordiamo che R = {−∞} ∪ R ∪ {∞} `e detta retta reale estesa.

Definiamo le operazioni su R.

Immaginiamo che gli operandi di queste operazioni siano i risultati del calcolo di certi limiti.

Somma

x + (+∞) = +∞ x + (−∞) = −∞ ∀x ∈ R (+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞

Prodotto

x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞ ∀x ∈ R⁺ x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞ ∀x ∈ R⁻

(+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞

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Divisione x

+∞ = x

−∞ = 0, ∀x ∈ R +∞

x = +∞, −∞

x = −∞ ∀x ∈ R⁺ +∞

x = −∞, −∞

x = +∞ ∀x ∈ R⁻ x

0 = ∞ ∀x ∈ R \ {0}

Nonsono definite le seguenti operazioni:

(+∞) + (−∞), (±∞) · 0, ±∞

±∞, 0

0

∞⁰, 0⁰, 1^∞

Sono detteforme indeterminate perch´e il risultato non `e sempre lo stesso. Esse devono essere indagate e risolte caso per caso, con opportune regole. Ad esempio, (+∞) + (−∞) potrebbe dare come risultato ` ∈ R, oppure +∞, oppure −∞, a seconda di cosa rappresentano i vari “infiniti”.

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Esempi di forme indeterminate

f (x ) = x³ x³ x³ x³

g (x ) = x² x³ x⁴ x⁵

x →0limf (x )

x →0limg (x ) = 0 0

0 0

0 0

0 0 f (x )

g (x ) = x 1 1

x

1 x²

x →0lim f (x )

g (x ) = lim

x →0x = 0 lim

x →01 = 1 lim

x →0

1

x =6 ∃ lim

x →0

1

x² = +∞

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Algebra dei limiti

Teorema. Se lim

x →x0

f (x ) = `₁ ∈ R e lim

x →x0

g (x ) = `<sub>2</sub>∈ R,allora, quando l’espressione a secondo membro `e definita (non si hanno forme indeterminate), si ha

x →xlim0

(f (x ) + g (x )) = lim

x →x0

f (x ) + lim

x →x0

g (x ) = `1+ `2 x →xlim0

(f (x ) − g (x )) = lim

x →x0

f (x ) − lim

x →x0

g (x ) = `<sub>1</sub>− `₂

x →xlim0

(f (x ) · g (x )) = ( lim

x →x0

f (x )) · ( lim

x →x0

g (x )) = `1· `₂

x →xlim0

f (x ) g (x ) =

x →xlim0

f (x )

x →xlim0

g (x ) = `1

`₂ (g (x ) 6= 0, ∀x ∈ I (x0) \ {x0}) Es.

x →+∞lim



log(x ) +1 x



= lim

x →+∞log(x ) + lim

x →+∞

1

x = +∞ + 0 = +∞

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Limiti delle funzioni elementari

Ricordando i grafici delle funzioni elementari abbiamo:

x →−∞lim c = c lim

x →+∞c = c (c costante)

x →−∞lim x = −∞ lim

x →+∞x = +∞

x →−∞lim x² = +∞ lim

x →+∞x² = +∞

x →−∞lim x³ = −∞ lim

x →+∞x³ = +∞

x →−∞lim xⁿ =

 −∞ se n `e disp.

+∞ se n `e pari. lim

x →+∞xⁿ= +∞

lim

x →0⁺x^α =

 0 se α > 0

+∞ se α < 0 lim

x →+∞x^α =

 +∞ se α > 0 0 se α < 0

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Limiti delle funzioni elementari

x →0lim⁺log(x ) = −∞ lim

x →+∞log(x ) = +∞

x →−∞lim e^x = 0 lim

x →+∞e^x = +∞

x →−∞lim sin(x ) =6 ∃ lim

x →+∞sin(x ) =6 ∃

x →−∞lim cos(x ) =6 ∃ lim

x →+∞cos(x ) =6 ∃

x →−∞lim tan(x ) =6 ∃ lim

x →+∞tan(x ) =6 ∃

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Riferimenti bibliografici

Canuto-Tabacco:

Sez. 4.1.1 (teoremi), 4.1.3 (operazioni in R, algebra dei limiti e forme indeterminate)

Sez. 3.3.4 (per il limite delle funzioni monotone)

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