I M 2) Dopo aver determinato, al variare del parametro , autovalori e diagonalizzabilità della5 matrice œ , si studi analogo problema per la matrice œ 5 ! &#34

(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2006/07

Prova Intermedia Aprile 07

I M 1) Data la matrice  œ se ne trovino gli autovalori, reali e complessi, si

" ! !

! ! "

!  " !

â â

costruisca una matrice modale e si esegua la diagonalizzazione della matrice.

I M 2) Dopo aver determinato, al variare del parametro , autovalori e diagonalizzabilità della5 matrice œ , si studi analogo problema per la matrice œ

5 ! "

" 5 "

" ! 5

5 ! " 5

" 5 " 5

â â â â

â â

â" ! 5 5â

! ! ! 5

.

I M 3) L'applicazione lineare ‘^$ ‘^% generata dalla matrice  è tale

" "

# #

$ $

% %

Ä œ

" B C

# B C

 " B C

$ B C

â â

che œ0 "ß "ß " œ $ß 'ß  $ß * . Trovare le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo di ta- 0 "ß  "ß " œ $ß %ß  (ß &

le applicazione lineare.

I M 4) Il vettore ha coordinate — #ß "ß # nella base –œe !ß !ß " à !ß "ß " à "ß "ß " f. Tro- vare le sue coordinate nella base canonica, e trovare poi le sue coordinate nella base sup-– ponendo che #ß "ß # siano le sue coordinate nella base canonica.

I M 5) Dati i vettori —" œ "ß !ß "ß  " , —# œ "ß  "ß !ß " , —$ œ "ß 5ß $ß  & e

˜œ $ß  "ß 5ß 7 si determini, al variare dei parametri e , se il vettore risulta espri-5 7 ˜ mibile come combinazione lineare di — —", # e —$.

Giugno 1-07

I M 1) Dopo aver determinato le radici dell'equazione B  B  # œ !^$ ^# , si calcolino le radici quadrate della soluzione avente modulo massimo e argomento minimo.

I M 2) Data la matrice  œ , determinare, al variare del parametro ,5 5 " #  $

! " # #

! " #  "

!  " " %

â â

la presenza di autovalori multipli e, in tali casi, la diagonalizzabilità della matrice.

I M 3) Sia data una applicazione lineare 0 À‘^$ Ä‘^% per la quale risulti:

0 "ß  "ß " œ !ß !ß !ß ! e 0 "ß !ß " œ "ß  "ß #ß  # . Determinare opportune condizioni affinchè il Nucleo di tale applicazione lineare abbia dimensione massima.

I M 4) Si verifichi, usando la definizione, la validità di questa affermazione: "se una matrice qualsiasi è diagonalizzabile, allora anche la sua inversa risulta diagonalizzabile".

II M 1) Data la funzione 0 Bß Cß D œ $B  'BC  C  D /^# ^$ ^D se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

II M 2) Data 0 Bß C œ B  $BC  #C^# ^#, siano e i versori di @ A "ß " e Š"ßÈ$‹. Sapendo che W_@0 P_! œÈ# e che W_A0 P_! œ !, si determini P ._!

(2)

disfa, si verifichi che con essa è definibile una funzione implicita C œ C B e di questa si calcoli l'espressione del polinomio di Taylor di II grado.

II M 4) Risolvere il problema .

Max/min s.v.

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  %C Ÿ "

B  #C Ÿ !

# #

Giugno 2-07

I M 1) Dopo aver determinato i due numeri, complessi e coniugati, la cui somma ed il cui prodotto sono uguali a , si calcoli il prodotto delle loro quattro radici quadrate.#

I M 2) Dati i tre vettori —_" œ "ß !ß  "ß # ß —_# œ #ß "ß 7ß ! e —_$ œ #ß  "ß  &ß 5 , si determini, al variare dei parametri e , la dimensione del sottospazio da essi generato.7 5 I M 3) Sia data una applicazione lineare 0 À‘^% Ä‘^$ per la quale i vettori —_" œ "ß "ß "ß "

e —# œ "ß  "ß "ß  " costituiscono una base per il nucleo. Dopo aver trovato tutte le pos- sibili matrici che rappresentano tale applicazione lineare, trovare poi quelle per quali il vettore —œ "ß "ß  "ß  " ha per immagine il vettore ˜œ #ß %ß ) .

I M 4) Studiare la diagonalizzabilità della matrice  œ al variare del para-

' % #

# ) 5

# %  '

â â

metro .5

II M 1) Data la funzione 0 Bß Cß D œ BCD  BC  BD  CD se ne studi la natura dei suoi punti stazionari.

II M 2) Dato il sistema e il punto P ,

œ0 Bß Cß D œ B C D  B C D œ !log

1 Bß Cß D œ B /^{$ # $}_CD ^{# $ #}B  C  D œ " œ "ß "ß "

determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare l'equazione del vettore tangente.

II M 3) Data la composizione di funzioni:‘^# Ä1 ‘^# Ä0 ‘, > ß >" # Ä B ß B1 " # Ä C0 , calcolare in modo generale Œ`C `C mediante prodotto degli opportuni Jacobiani, ed applicare poi

`> ß`>

" #

la regola al caso B ß B_" _# œ >  > ß > † >_" _# _" _# , C œ /^{B B}^" ^#.

II M 4) Risolvere il problema Max/min .

s.v.: 3

œ 0 Bß C œ BC  B

B  C Ÿ "

#

# #

Luglio 07 I M 1) Calcolare le radici cubiche di D œ /^{log )31}.

I M 2) Data la matrice  œ , dopo aver verificato che essa non può

! 5 ! !

5  " ! ! !

! ! ! 5  "

! ! 5 !

â â

avere autovalori semplici a 5, si determini per quali valori del parametro essa ammette solo5 autovalori complessi e se risulta diagonalizzabile quando ammette l'autovalore - œ !.

(3)

I M 3) Data l'applicazione lineare ˜œ —† , con œ , dopo aver de-

"  " " #

"  " 5 #

# 7 # %

â â

terminato, al variare dei parametri e , le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo, si7 5 verifichi se esistono valori di e per i quali 7 5 —œ "ß "ß #ß  " appartiene al Nucleo.

I M 4) Data la matrice œ , si calcoli  † . Cosa si deduce da questo

"  " "

" " !

"  "  #

â â

T

risultato ? Si calcoli poi ^" e, mediante , si trovi una matrice ortogonale.

II M 1) Usando le coordinate polari si verifichi che la funzione 0 Bß C œ B  C non am- B

# #

mette limite quando Bß C Ä !ß ! .

II M 2) Data l'equazione 0 Bß C œ B  $5B C  $5C  C œ !^$ ^# ^$ , verificata nel punto "ß " , si determini il valore del parametro per il quale, mediante essa, non è possibile definire una5 funzione implicita C Ä B C ma solo una funzione implicita B Ä C B , e di quest'ultima si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto B œ ".

s.v.:

œ 0 Bß C œ C  CB

B  %C Ÿ %

$ #

# #

II M 4) Data la forma quadratica definita dalla matrice ‡ œ , si deter- 5  " " !

" 5 "

! " 5  "

â â

mini per quali valori del parametro essa risulta definita positiva e per quali risulta definita5 negativa.

Settembre 1-07

I M 1) Determinare le radici quadrate della soluzione dell'equazione D  #D œ #3  3D^# avente modulo minimo.

I M 2) Determinare, al variare dei parametri e , le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine7 5 dell'applicazione lineare generata dalla matrice .

â â

"  # $

#  " "

# 5  %

"  & 7

I M 3) Data la matrice  œ , dopo aver verificato che essa ammette un autova-

# # "

! " 7

" # 5

â â

lore fisso, a 7ß 5, determinare, al variare dei parametri e , quando questo autovalore risul-7 5 ta doppio e quando triplo.

I M 4) Date le matrici œ e œ , trovare tutti i vettori per—

& # ! % $  #

& % $ $ $ #

" ! $ " $ !

â â â â

i quali risulta  —† œ —† .

II M 1) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B  C  D œ " ed i punti che lo soddisfano 1 Bß Cß D œ B  C  D œ $

$ $ $

# # #

P_" œ "ß  "ß " , P_# œ "ß "ß  " e P_$ œ  "ß "ß " , determinare in quale di essi non è definibile una funzione implicita D Ä Bß C e poi, per una delle funzioni definibili, determinare l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.

(4)

mitandosi ai soli valori ! Ÿ Bß C Ÿ #1, tutti i punti Bß C nei quali risulta W_@0 Bß C œ È#. Quanto vale in questi stessi punti W^#_@ß@0 Bß C ?

Max/min s.v.

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ BC B  C Ÿ "

B  C  " Ÿ !

# #

II M 4) Data 0 Bß C œ B C  $BC  C^$ ^# se ne trovino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo giacenti sulla curva C œ B^#.

Settembre 2-07

I M 1) Calcolare le radici quarte del determinante della matrice  œ .

3 3 3

3 3 #3

3 #3 #3

â â

I M 2) Si consideri una Applicazione lineare 0 À‘^$ Ä ‘^$ generata da una matrice simmetri- ca. Sapendo che "ß "ß " appartiene al Nucleo di tale applicazione, si verifichi che non può ri- sultare .0 "ß  "ß " œ "ß "ß "

I M 3) Determinare, al variare dei parametri e , la dimensione dello spazio generato dai7 5 tre vettori —_" œ "ß  "ß "ß # , —_# œ  #ß #7ß  #ß 5 e —_$ œ  "ß 7ß  "ß #7 .

I M 4) Dopo avere determinato, al variare del parametro , la presenza di autovalori multipli5 per la matrice  œ , si determini, in questi casi, una matrice che realizza la

" ! ! "

! 5 ! !

! ! " !

" ! ! 5

â â

diagonalizzazione.

II M 1) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B  C  D  $BCD œ !^% ^$ ^# e dati i punti P_! œ !ß !ß ! e P_" œ "ß "ß " che la soddisfano, determinare in quale di questi sia possibile definire un'op- portuna funzione implicita, e di questa determinare, nel punto opportuno, l'equazione del piano tangente.

II M 2) Data la funzione 0 Bß Cß D œ $B  #C  D  $BC  #BD^# ^$ ^# se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativi.

II M 3) Data la matrice ‡ œ " # ed il vettore —œ Bß C , si risolva il problema:

# "

ºº ºº Max/min .

s.v.:

œ 0 Bß C œ † †

B  C œ "

—  —^T

# #

II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B /^CD  C /^DB e dato , versore di @ "ß  "ß " , sia P_! œ "ß "ß " ; calcolare P W_@0 _! e P .W^#_@ß@0 _!

Dicembre 07

I M 1) Calcolare Ë Œ^$ " " & .

# "  3  "  $3

I M 2) Si determini la matrice che definisce l'Applicazione lineare  0 À‘^$ Ä‘^$ per la quale una base del Nucleo è costituita dai vettori —_" œ "ß "ß " e —_# œ !ß "ß " e tale che l'immagine del vettore —$ œ "ß #ß  " risulta il vettore ˜œ $ß 'ß * . Si determini una base per l'Immagine.

(5)

I M 3) Data la matrice  œ si determini per essa, al variare del parametro , la5

" ! "

! 5 !

" ! "

â â

presenza di autovalori multipli.

I M 4) Data la matrice  œ si determini per quale valore del parametro essa5 5 " !

! ! #

% 5 !

â â

ammette un autovalore nullo e gli altri complessi.

II M 1) Data la composizione di funzioni:‘^# Ä1 ‘^# Ä0 ‘, > ß >_" _# Ä B ß B1 _" _# Ä C0 , calcolare in modo generale Œ`C `C mediante prodotto degli opportuni Jacobiani, ed applicare poi

`> ß`>

" #

la regola al caso B ß B_" _# œ $>  > ß > † /ˆ _" _# _" ^>^#‰, C œ B_"sen B Þ_#

Max/min s.v.

ÚÝ Ý ÛÝ ÝÜ

Ú ÛÜ

0 Bß C œ B  BC  #C C Ÿ "  B

B ! C !

#

II M 3) Sia 0 Bß C una funzione differenziabile due volte in tutto ‘^# e sia P un punto asse-_! gnato; siano poi / œ "ß ! / œ !ß " @" , # , il versore di /  /" # e il versore di A /  /" #. Sapendo che W^#_@_,_A P0 _! œ !, che W^#_{/ /}_"_, _" P0 _! œ $, e che che W_{/ /}^#_#_, _" P0 _! œ ", nell'ipotesi che P sia un punto stazionario di _! 0 Bß C , si determini la natura del punto P ._!

II M 4) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B  BC  C D  D  D  C œ !^% ^$ ^$ ^# ed i due punti che la soddisfano P_" œ !ß !ß ! e P_# œ "ß "ß " , determinare se e in quale di essi si può determinare una funzione implicita Bß C Ä D oppure, in alternativa, una funzione implicita Cß D Ä B . Si determini infine l'equazione del piano tangente di tale funzione nel punto opportuno.

Gennaio 08

I M 1) Data l'equazione B  $B  %B  # œ !^$ ^# , calcolare le radici cubiche del prodotto delle sue radici .

I M 2) Data la matrice  œ , nell'ipotesi che essa ammetta l'autovalore

" 7 7 5 " 7 5 5 "

â â

- œ ", si studi, al variare di e , la tipologia degli altri suoi autovalori (semplici o7 5 multipli, reali o complessi).

I M 3) Data la matrice  œ , si verifichi che essa ammette un solo autova-

"  " "

" " !

"  "  #

â â

lore reale mediante l'esame grafico del suo polinomio caratteristico.

I M 4) Data la matrice œ ed il vettore ˜œ , si determini:

" $  # #

# " " $

"  ( 7 5

â â â â

a) per quale valore di è massima la dimensione del Nucleo dell'applicazione lineare genera-7 ta da ;

b) se e in quanti modi, al variare di e , il vettore è esprimibile come combinazione li-7 5 ˜ neare delle colonne di .

(6)

e P_# œ  "ß  " che la soddisfano, si verifichi che in essi vale il Teorema del Dini, per il quale si può definire, in ambedue i casi, una funzione implicita C œ C B , e che l'equazione delle rette tangenti nei punti considerati risulta comunque la stessa.

II M 2) Si renda massima o minima la somma dei quadrati di tre numeri sapendo che la somma del primo con il doppio del secondo e con il triplo del terzo numero risulta uguale a ."

Max/min s.v.

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ BC C Ÿ #B  B C B  #

#

II M 4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B /^{BC D}^# ^#, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

Febbraio 1-08

I M 1) Determinare le tre radici dell'equazione D  " ^$ œ ".

I M 2) Data la matrice  œ , si determinino i suoi autovalori e quelli della

$  " "

! # !

"  " $

â â

matrice .^# œ †

I M 3) Determinare i valori dei parametri e per i quali il vettore 7 5 ˜œ !ß 5ß "ß 5ß % risulta combinazione lineare dei vettori —_" œ "ß  "ß "ß !ß # e —_# œ $ß  #ß #ß "ß 7 . I M 4) Si determini se la matrice  œ risulta diagonalizzabile.

 " $  #

" ! "

!  " "

â â

II M 1) Dati tre numeri, si renda massima o minima la somma del primo con il doppio del secondo ed il triplo del terzo sapendo che la somma dei loro quadrati risulta uguale a ."

II M 2) Si verifichi che l'equazione 0 Bß C œ BarctgC  C / œ !^B , soddisfatta da tutti i punti del tipo Bß ! , verifica, in ciascuno di essi, alle condizioni del Teorema del Dini sufficienti per definire una funzione implicita C œ C B e che questa ha, in uno qualsiasi di questi punti, la derivata prima uguale a . In quali di questi punti la derivata seconda è invece diversa da ?! ! II M 3) Determinare, per la funzione 0 Bß Cß D œ B  C  D  B  C  D^$ ^$ ^$ ^# ^# ^#, la natura dei suoi punti stazionari.

II M 4) Siano e i versori di @ A "ß # e di "ß  $ . Sapendo che 0 Bß C è una funzione differenziabile, che W_@0 P_! œ " e che W_A0 P_! œ  #, si calcoli f0 P ._!

Febbraio 2-08

I M 1) Determinare la forma trigonometrica del risultato del prodotto e del risultato della somma delle radici dell'equazione ˆB  " B  " œ !^# ‰ˆ ^# ‰ .

I M 2) Determinare la matrice sapendo che essa ammette gli autovettori  —_" œ "ß  "ß ! ,

—_# œ "ß !ß  " e —_$ œ !ß "ß " in corrispondenza agli autovalori -_" œ !, -_# œ " e -_$ œ  " .

I M 3) Determinare una base per il Nucleo e per l'Immagine dell'applicazione lineare:

0 B ß B ß B ß B" # $ % œ B  #B  #B  B à #B  B  B à B  B  $B  B" # $ % " # $ " # $ % .

I M 4) Data la matrice  œ se ne studi, al variare del parametro , la5

" "  "

 "  "  "

! ! 5

â â

molteplicità degli autovalori nonchè la diagonalizzabilità della matrice.

(7)

II M 1) Risolvere il problema Max/min . s.v.:

œ 0 Bß Cß D œ B  C  D

B  #C  %D œ (^# ^# ^#

II M 2) Data la funzione 0 Bß C œ B  BC  5 C^$ ^# ^# si analizzi, al variare del parametro , la5 natura dei suoi punti stazionari.

II M 3) Data la funzione 0 Bß C œ /^BC, siano e i versori di @ A "ß " e di "ß  " . Deter- minare se esistono punti Bß C nei quali risulta W^#_{@ @}_, 0 Bß C œ W^#_{A A}_, 0 Bß C .

II M 4) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ /^BC /^CD  /^DB œ " ed i due punti che la soddisfano P_! œ !ß !ß ! e P_" œ "ß "ß " , si verifichi in ciascuno di essi quali funzioni possono esse- re definite implicitamente e se ne calcolino le derivate prime.

Aprile 08

I M 1) Determinare il valore del parametro per il quale la matrice 7 œ am-

$ " "

# % #

" 7 "



â â

mette due autovalori complessi con parte reale e parte immaginaria uguali tra loro.

I M 2) Il vettore ha coordinate — #ß  "ß  # nella base –œe "ß "ß " à !ß "ß " à !ß !ß " f. Trovare le sue coordinate nella base • œe "ß !ß ! à "ß "ß ! à "ß "ß " f.

I M 3) Dopo aver determinato, al variare dei parametri e , le dimensioni del Nucleo e del-7 5 l'Immagine dell'applicazione lineare generata dalla matrice , si determini una

â â

" " #

! " "

5 " #

! 5 7

base per il Nucleo quando questo ha dimensione massima.

I M 4) Data la matrice  œ , si determini una matrice ortogonale che la dia-

" " ! !

! ! " "

â â

gonalizza.

s.v.:

œ 0 Bß C œ B  C

B  C Ÿ "

$ #

# #

II M 2) Data l'equazione 0 Bß C œ BsenC  CcosB œ !, e dati i due punti P_! œ !ß ! e

P_" œ ß che la soddisfano, si determini se e in quale di questi è possibile definire una

Š#1 ‹ 1

funzione implicita che abbia, nel punto considerato, la derivata prima diversa da , e se e in! quale una funzione implicita che abbia la derivata seconda diversa da .!

II M 3) Determinare, per la funzione 0 Bß Cß D œ B  C  D  #BC  D^# ^# ^# ^# , gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ C^B, se ne determini l'espressione del polinomio di Taylor di secondo grado nel punto "ß " .