œ "ß  "ß #ß 5  &#34

(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2005/06

Prova Intermedia Aprile 06

I M 1) Determinare le radici quadrate delle radici dell'equazione B  B  B  " œ ! Þ^% ^$ I M 2) Data la matrice  œ , si determini una matrice ortogonale che la dia-

" " ! !

! ! " "

â â

gonalizza.

I M 3) Dati i vettori —" œ "ß  "ß #ß 5  " , —# œ "ß !ß "ß 5 , —$ œ "ß #ß  "ß 7 e

˜œ "ß "ß !ß 5  " si determini se e con quale combinazione il vettore risulta esprimibile˜ come combinazione lineare di — —", # e —$.

I M 4) Data la matrice  œ , si determini una base ortogonale per il Nu-

# " # "

7 ! "  "

" 5 "  "

â â

cleo dell'applicazione lineare generata da , sapendo che il Nucleo e l'Immagine hanno uguale dimensioneÞ

I M 5) Data la matrice  œ , si determini se la matrice risulta diagonaliz-

# $ 5

# ! #

 "  # "

â â

zabile quando ammette l'autovalore - œ  ". Giugno 1-06

I M 1) Sapendo che il numero complesso ha una radice cubica di modulo pari a e di argo-D # mento pari a 1 , calcolare e le altre due radici cubiche di tale numero.

$ D

I M 2) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , deter-

" # " "

# ' $ $

" 5  " 7 5

â â

minare, al variare di e , le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo di tale applicazione li-7 5 neare, nonchè una base ortogonale per il Nucleo nel caso in cui la sua dimensione risulta massima.

I M 3) Siano œe "ß "ß ! ß "ß !ß " ß "ß "ß " f e œ e "ß  "ß ! ß !ß "ß  " ß "ß !ß " fdue basi di ‘^$. Determinare tutti i vettori aventi le stesse coordinate nelle due basi, ed— esprimere poi tale problema mediante la teoria degli autovalori e degli autovettori.

I M 4) Data la matrice  œ , trovare la relazione che deve intercor- B  " B B

C C  " C D D D  "

â â

rere tra Bß C D e affinchè la matrice ammetta un autovalore triplo.

II M 1) Risolvere il problema:

Max/min s.v. : Ú ÛÜ

0 Bß C œ B C B  "  C œ "

%

# # Þ

II M 2) Risolvere il problema: Max/min s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C

B  " Ÿ C Ÿ B  "_# ^# ^# Þ

(2)

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B  C  D œ " e il punto P , determi- 1 Bß Cß D œ BC  #CD  BD œ #^# ^# ^# œ #ß "ß #

nare quale funzione implicita definibile nell'intorno del punto ammette derivate ambedue maggiori di ."

II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ /^Bsen B  C , se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di secondo grado, e si calcolino W_@0 !ß ! e W^#_{@ @}0 !ß ! , dove è il verso-@ re del vettore "ß  " Þ

Giugno 2-06

I M 1) Una radice quarta del numero complesso ha argomento pari a D mentre ogni radice '

1

cubica di ha modulo pari a 2 . Trovare nonchè il prodotto di tutte le sue radici quarte.D È D I M 2) Si consideri l'applicazione lineare 0 œ † generata da œ .

" " $

! " "

" " 7

 " 7 5

â â

—  — 

Sapendo che 0 "ß  "ß " œ $ß !ß #ß  $ , si trovi una base per il codominio (immagine) di tale applicazione lineare.

I M 3) Data la matrice  œ , se ne studi, al variare di , la molteplicità alge-5

" ! ! 5

" " ! !

! ! " "

5 ! ! "

â â

brica degli autovalori, stabilendo anche, nei vari casi, se la matrice risulta diagonalizzabile.

I M 4) Date le matrici œ " !  " e œ , si determinino gli

"  " !

" "

! "

" !

ºº ºº

â â

autovalori della matrice  † e della matrice  † , stabilendo quali di queste siano invertibili e quali diagonalizzabili.

II M 1) Data 0 Bß C œ B  $BC  C  B^# ^# ^$, siano e i versori di @ A "ß " e "ß  " Þ Sapen- do che W_@0 P_! œÈ# e che W^#_{@ A}0 P_! œ #, si determini P ._!

II M 2) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. :

0 Bß C œ B  C  "

B  " Ÿ C Ÿ #B  "

# #

#

II M 3) Data 0 Bß C œ B  C  B C^$ ^# ^#, se ne determini i valori massimo e minimo nel trian- golo avente per vertici i tre punti di sella della funzione.

II M 4) Dall'equazione B /^BC^# œ C  /^BC, soddisfatta per Bß C œ "ß ! , si definisca una funzione implicita C œ C B di cui si calcolino derivata prima e seconda nel punto B œ ".

Luglio 06

I M 1) Si calcolino le radici cubiche del numero D œ /^{" 3}¹ .

I M 2) Data la matrice  œ si determini per quali valori del parametro essa5 5 ! "

! # !

% ! 5

â â

risulta diagonalizzabile.

(3)

I M 3) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , sa-

"  " 7  #

7 7 " 5

!  % $  &

â â

pendo che il vettore  %ß %ß #ß  # appartiene al Nucleo, si determini una base ortogonale per l'immagine di tale applicazione lineare.

I M 4) Dato il sistema lineare , determinarne esistenza e numerosità del- Ú

ÛÜ

B  #C  D œ "

#B  C  $D œ 7

$B  C  5 D œ # le soluzioni al variare dei parametri e .7 5

II M 1) Data 0 Bß C œ B^#8 #8 BC  C^#8, con 8 − ß 8  " , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C  B C

$B  C  'B œ !

$ # #

# #

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B  BC  C  5C œ !^# 2 ^# , soddisfatta nel punto !ß ! , verificare che essa definisce una funzione implicita C œ C B che ha in B œ ! un punto stazionario, di cui si determini la natura calcolando C ! Þ^ww

II M 4) Data 0 À‘Ä‘^$ß > Ä >ß > ß >ˆ ^# ^$‰, si determini l'equazione della retta tangente a tale curva nel punto > œ ".

Settembre 1-06

I M 1) Data la matrice  œ 5 " , dopo aver verificato che la matrice non può mai avere

" 5 ºº ºº

autovalori multipli, si determinino i valori del parametro per i quali tra i due autovalori e5 -_"

-_# della matrice, -_" -_#, sussiste la relazione -_" œ #8  " -_#ß 8 −.

I M 2) Dato il sistema lineare determinarne, al variare dei parametri ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

B  #B  B œ "

#B  #B  B œ ! 7 B  $B œ 7 B  %B  5B œ $

" # $

# $

" # $

7 5 e , esistenza e numerosità delle soluzioni.

I M 3) Trovare le coordinate del vettore nella base —  œe "ß !ß ! ß "ß "ß ! ß "ß "ß " f sapendo che ha coordinate #ß "ß  " nella base œe "ß "ß " ß "ß  "ß " ß "ß !ß  " f.

I M 4) Data la matrice  œ , se ne studi, al variare di , la presenza di auto-5

" ! 5 !

! ! ! "

5 ! ! !

! " ! "

â â

valori multipli.

II M 1) Determinare per quali valori del parametro la forma quadratica definita mediante la5 matrice  œ risulta definita e quando semidefinita.

5 ! !

! 5 "

! " "

â â

II M 2) Data la funzione 0 Bß C œ /^{B C}^# ^#, si verifichi che tutte le sue derivate direzionali W^#_{@ @}0 !ß ! assumono lo stesso valore.

s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C

B  C  B  C œ !^# ^#

s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C

#B Ÿ C Ÿ B  "

# #

#

(4)

Settembre 2-06

I M 1) Dopo aver determinato le radici dell'equazione B  B  B  " œ !^& ^$ ^# , se ne calcoli il loro prodotto.

I M 2) Trovare la matrice sapendo che essa ammette i tre autovettori  —_" œ !ß "ß ! ,

—# œ "ß !ß " e —$ œ "ß !ß  " in corrispondenza, rispettivamente, degli autovalori -_" œ !, -_# œ " e -_$ œ  ". Si consiglia di utilizzare la diagonalizzabilità della matrice nonchè di esaminare le proprietà della base formata con i tre autovettori.

I M 3) Data l'applicazione lineare ‘^% Ä‘^$, 0 B ß B ß B ß B" # $ % œ C ß C ß C" # $ con:

Ú ÛÜ

C œ B  B  #B  #B C œ #B  #B  B  B C œ B  (B  7 B  5 B

7 5

" " # $ %

# " # $ %

$ " # $ %

, si determinino i valori di e per i quali la dimensione del Nucleo di tale applicazione lineare risulta massima e si verifichi se, in tale caso, il vettore

"ß "ß " appartiene all'Immagine.

I M 4) Data la matrice  œ , si verifichi che essa ammette un autovalore fis-

# ' $

" " "

 " 7 #

â â

so, a 7, e si determini il valore di per il quale i due restanti autovalori sono uno doppio7 dell'altro.

II M 1) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  Cˆ ^# ^#‰/^BC.

II M 2) Risolvere il problema .

Max/min s.v.

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  C B  C  #C Ÿ ! C  " Ÿ !

#

# #

II M 3) Siano dati il sistema log ed il punto che lo

œ0 Bß Cß D œ B C  D /  C  D œ  "

1 Bß Cß D œ B  C  D œ #

B

# # #

soddisfa P_! œ !ß "ß " , si stabilisca quale funzione implicita si possa definire in modo che essa abbia, nel punto opportuno, uguali componenti per il vettore tangente.

II M 4) Data la composizione di funzioni differenziabili “Ä—Ä˜ ‘ß ^$ Ä‘^# Ä‘^$, sa-

pendo che ` e che ` ` , si calcoli ` .

` œ ` œ ` `

" $

# #

$ "

â â

â â Œ

˜ — ˜ ˜

— “ — “

T

Dicembre 06

I M 1) Dopo aver determinato le radici dell'equazione B  B  # œ !^$ ^# , si mettano queste in forma trigonometrica e mediante questa si calcoli il loro prodotto.

I M 2) Data la matrice  œ si determini il valore di per il quale la matrice5

# ! "

# " #

"  " 5

â â

non risulta invertibile e si determini se, per questo valore, essa risulti o no diagonalizzabile.

I M 3) Sia data un'applicazione lineare ‘^$ Ä‘^#, per la quale risulta che 0 "ß "ß " œ "ß ! e 0 "ß "ß ! œ !ß " . Si determinino le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo di tale applicazione lineare.

I M 4) Partendo dal vettore "ß !ß " si costruisca una matrice ortogonale.

(5)

II M 1) Determinare i valori di e che rendono minimo o massimo il determinanteB C ºB  " $  Cº

C  " B  # sotto la condizione B  C Ÿ "^# ^# .

II M 2) Data l'equazione B  B œ C  C^$ ^% ed i punti !ß ! e "ß " che la soddisfano, si determini in quale di essi è possibile definire una funzione implicita C œ C B la cui derivata seconda sia, nel punto opportuno, diversa da .!

II M 3) Siano e i versori di ? @ "ß " e #ß " e sia 0 Bß C differenziabile in !ß ! . Sapendo che W_?0 !ß ! œÈ# e che W_@0 !ß ! œ È&, calcolare W_A0 !ß ! dove è il versore diA

"ß  " .

II M 4) Analizzare la natura del punto stazionario della funzione 0 Bß C œ B /  B C^C ^# . Gennaio 07

I M 1) Dopo aver calcolato le radici terze del numero D œ È$  3 se ne calcoli il loro prodotto.

I M 2) Data la matrice  œ si determinino le molteplicità algebrica e geometri- 5 " "

" 5 "

" " 5

â â

ca dei suoi autovalori, al variare del parametro .5

I M 3) Date le matrici œ " # e œ 5 " si determini il valore del parametro 5

# " " 5

ºº ºº ºº ºº

per il quale la matrice prodotto  † ammette un autovalore doppio.

I M 4) Verificare se, al variare dei parametri e , il vettore 7 5 ˜œ !ß &ß 5 risulta combinazione lineare dei vettori —_" œ "ß #ß 5 e —_# œ #ß  "ß 7 .

II M 1) Determinare il massimo ed il minimo assoluto per la funzione 0 Bß C œ #B  $C^# ^# nella regione del primo quadrante definita dalle condizioni .

Ú ÛÜ

! Ÿ B Ÿ #

! Ÿ C Ÿ # B C Ÿ #

II M 2) Data 0 Bß C œ /^{B C}^# ^# se ne determinino le espressioni del polinomio di Mac Laurin di II grado in forma analitica ed in forma vettoriale-matriciale.

II M 3) Dati il sistema œ0 Bß Cß D œ B C D  BCD œ ! ed i punti che lo soddisfano 1 Bß Cß D œ BC  CD  #BD œ !

# # #

P_! œ !ß !ß ! e P_" œ "ß "ß " , si determini in quale dei due si può definire una funzione implicita B È Cß D e di questa si determini l'equazione della retta tangente nel punto conside- rato.

II M 4) Determinare massimi e minimi per la funzione 0 Bß C œ B  C  BC  #B  C^# ^# nel quadrato .c d c d!ß " ‚ !ß "

Febbraio 1-07

I M 1) Data la matrice  œ se ne calcolino gli autovalori e i relativi autovet-

" ! !

! ! "

!  " !

â â

tori.

I M 2) Determinare se il vettore ˜ œ "ß "ß  " è esprimibile come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß "ß " , —# œ "ß "ß # , —$ œ "ß #ß " e, in caso di risposta affermativa, si determinino i coefficienti di tale combinazione lineare.

(6)

I M 3) Data la matrice œ , sapendo che essa ammette l'autovalore -œ ", si

" # "

# " !

" ! 5

â â

determini se i suoi autovalori hanno tutti lo stesso segno.

I M 4) Data l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice  œ si de-

" # #

# " "

 " " 7

" 5  "

â â

terminino, al variare dei parametri e , le dimensioni dell'immagine e del nucleo di tale ap-7 5 plicazione.

s.v. :

œ 0 Bß C œ B  BC

B  " ^# Ÿ C Ÿ B  "

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B  C  D  BC  CD  B^# ^# ^# , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

II M 3) Data 0 Bß C œ B /  C /^C ^B, si determini la direzione nella quale la derivata direzio-@ nale W_@0 !ß ! risulta massima. E' risolvibile l'analogo problema per W_@0 "ß " ?

II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B  C  #BC  B  C œ !^$ ^$ ed i punti che la soddisfano P_! œ !ß ! e P_" œ "ß " , si determini in quale dei due è definibile una funzione implicita C œ C B , della quale si determini poi l'espressione del polinomio di Taylor di II grado.

Febbraio 2-07

I M 1) Calcolare le radici quadrate del numero D œ "  #3  " .

$  3 "  3

I M 2) Determinare la matrice sapendo che ammette l'autovettore  "ß # in corrispondenza dell'autovalore - œ # e l'autovettore "ß " in corrispondenza dell'autovalore - œ !.

I M 3) Determinare l'inversa della matrice  œ , sapendo che tale inversa ha de-

" ! 5

" " !

# " "

â â

terminante pari a  ".

#

I M 4) Data la matrice  œ , si determini il valore del parametro per5

# $ "

 $  % !

! 5  "

â â

il quale la matrice ammette un autovalore triplo.

II M 1) Data 0 Bß C œ B C ed i vettori •œ "ß # e –œ #ß " , dette rispettivamente e @ A le direzioni di e di , sapendo che • – W_@0 B ß C_! _! œÈ& e che W_A0 B ß C_! _! œ È&, determinare le coordinate del punto B ß C! ! .

s.v. :

œ 0 Bß C œ C È# BC

B  %C Ÿ %

#

# #

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ $BCD  B  C  D œ !³ ³ ^# e i punti P_! œ !ß !ß ! e P_" œ "ß "ß " che la soddisfano, si verifichi se e quali funzioni implicite sono definibili, de- terminando anche l'equazione del piano tangente nel punto opportuno.

II M 4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B /  D^{# C}^# ^%, si verifichi se d^#0 !ß !ß ! è una forma definita, semidefinita o indefinita.

Marzo 07

(7)

I M 1) Calcolare le radici terze del numero 3 #  3.

"  3  $  3

I M 2) Data la matrice  œ determinare i valori del parametro per i quali5

5 5 5

5 5 "

5 " "

â â

essa ammette l'autovalore - œ ! e studiare, in tali casi, le molteplicità algebrica e geometrica dei suoi autovalori.

I M 3) Date le due applicazioni lineari 0 — e 1 — À ‘^$ Ä‘^$ generate dalle matrici

œ œ ß

! ! ! " " "

! ! " " " "

! " " " " "

â â â â

â â e â â si determinino le matrici che esprimono le due applicazioni composte 0 1 — e 1 0 — e di queste applicazioni composte si determinino le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo.

I M 4) Dato il sistema lineare determinarne, al variare dei

ÚÝ Ý ÛÝ ÝÜ

B  B  B  B œ #

#B  B œ "

B  B  #B  7 B œ 7

$B  B  $B  7 B œ 5

" # $ %

" $

" # $ %

parametri e , esistenza e numerosità delle soluzioni.7 5

II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  #B C  C^% ^% ^{# #} ^# se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

s.v. :

œ 0 Bß Cß D œ #B  )C  ")D B  %C  *D œ "^# ^# ^#

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B C D  #BCD  D œ !^{$ #} ^$ ed il punto Pœ "ß "ß " che la soddisfa, determinare quali funzioni implicite siano con essa definibili e si determini poi l'equazione del piano tangente, nel punto opportuno, al grafico di tali funzioni.

II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ BC  B  C, siano e i versori di @ A "ß " e "ß  " . Si determini in quale punto B ß C_! _! risulta W_@0 B ß C_! _! œÈ# e W_A0 B ß C_! _! œ È# e si calcoli infine W^#_{@ A}0 B ß C! ! .

œ &#34;ß  &#34;ß #ß 5  &#34

œ "ß  "ß #ß 5  &#34