2001/02 Prova Intermedia Maggio 02 1) Sia data la matrice

(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2001/02

Prova Intermedia Maggio 02

1) Sia data la matrice . Si determini:

1 1

1

1 1 1

 œ 7

5 ! 



â â

a) per quali valori di e essa ammette l'autovalore 7 5 - œ ! come autovalore doppio e se risulta, in tale caso, diagonalizzabile;

b) per quali valori di e essa ammette gli autovalori 7 5 -" œ1 e -# œ 1 , determinando in tale caso una matrice che la diagonalizza.

Si verifichi infine che per nessun valore di e lo spettro di può essere ,1,2 .7 5  e! f

2) Date le matrici 1 1 e 1 2 1 , si considerino le due ap-

1 1 1 1

1

œ œ

5 5

  5

 ! 5

!

â â

ºº ºº

plicazioni lineari : 1 ‘² Ä‘⁴, 1 — œ˜œ —† e : 0 ‘⁴ Ä ‘², 0 ˜ œ ˜† . Si determinino i valori del parametro in modo tale che la matrice che rappresenta l'applicazione5 composta 0 1 — ammetta l'autovalore - œ1.

3) Data l'applicazione lineare , , con , sapen-

1 1

1

1 1 2

‘³ Ä‘³ 0 — œ —† œ

!

! 5 



â â

do che la dimensione del Nucleo di tale applicazione è pari ad 1, si determini la matrice ortogonale che diagonalizza .

4) Data la matrice  œ , con unità immaginaria, determinarne lo spettro e veri-3 3 ! 3

! 3 !

3 ! 3

â â

ficare che i corrispondenti autovettori possono comunque essere tutti reali.

5) Dato il sistema lineare , determinarne esistenza e numerosi- 1

1 ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

B  #B  B œ

#B  B  #B œ

%B  %B  B  7B œ 5 B  #B  B  5B œ 7

" # %

" $ %

" # $ %

tà delle soluzioni al variare dei parametri e .7 5 Giugno 1-02

1) Risolvere il problema .

Max/min 3 s.v. :

Ú

ÛÜ œ

0 ß œ C  B

B  C Ÿ # C B

B C ^#

# #

#

2) Determinare se la funzione 0 Bß Cß D œ B  Cˆ ^# ^#‰/^D^#ammette punti di massimo o minimo.

3) Data la funzione , trovare il valore del parametro

0 ß œ 5

B C

B  C ß Á !ß !

5 ß œ !ß !

Ú ÛÜ

B C B C

B C

3

2 2

per il quale la funzione risulta continua in !ß ! , determinando poi se in tale punto essa risulta differenziabile.

(2)

4) Dato il sistema , e dati i due punti 1,1,1 e œ0 ß œ B /  D /  C / œ /1

1 ßB Cß D œ B D  D C  C B œ œ

B Cß D

D C B

$ $ $ 1

2 œ 1,1,1 che lo soddisfano, trovare in quale dei due è possibile definire, mediante tale sistema, una funzione implicita F : ‘Ä‘², B Ä Cß D . Si calcoli poi la matrice Jaco- biana di tale funzione nel punto considerato.

5) Date le matrici e , trovare la matrice che risulta si

1 1 1 1

1 1 1

œ œ 

! !

! ! !

â â â â

â â â â -

mile ad mediante . Determinare inoltre gli autovalori di e .   

6) Data l'applicazione lineare : , con ,

1

0 Ä 0 œ † ß œ 1

# ! 5

! 5  #

# $ 5 !

‘⁴ ‘³ —  — 

â â

determinare i valori del parametro per i quali il Nucleo dell'applicazione lineare ha dimen-5 sione pari a due, nonchè, in tali casi, una base per il Nucleo.

7) Data la matrice , si verifichi che non esistono valori di per i quali gli 1 2 3

2 4

3 4 5

‡ œ 5 5

â â

autovalori di hanno tutti lo stesso segno. Si consiglia di usare i criteri atti a stabilire il se-‡ gno di una forma quadratica.

Giugno 2-02

1) Dato il sistema , e considerato il ge-

Ú 1 ÛÜ

0 Bß Cß Dß A œ B C D A œ

1 Bß Cß Dß A œ B  C  D  A œ !

2 Bß Cß Dß A œ B C D  B C A  B D A  C D A œ !

# # # #

nerico punto P₊ œ +ß  " "ß ß  + , con + Á !, che lo soddisfa, determinare per quali va- Œ + +

lori di è possibile definire una funzione implicita : + J ‘Ä‘³. Di questa si calcolino le derivate.

2) Risolvere i problemi: Max/min Max/min e .

s.v. : , s.v. : ,

œ 0 ß œ B C œ 0 ß œ B  C

B  C œ 5 5 − B C œ 5 5 −

B C B C

‘ ‘^‡

3) Data la funzione 0 B Cß œ B  C  B C  C^% ^% ^# ^# ^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

4) Sia una funzione differenziabile in . Se e 3 ,

0 ß ? œ " ß " @ œ "ß

# # # #

È È

B C —_! È

sapendo che W_?0 —_! œÈ2 e che W_@0 —_! œ1 , calcolare f0 —_! .

5) Data , determinare la matrice ortogonale che diagonalizza .

1 1

1 1 1 1

1 1

œ 

! !

â â

6) Data e dato il vettore 1 1 , determinare per quali

1 1 1

œ ˜œ ß 5ß  5ß

! !

â â

valori del parametro il sistema lineare 5  —† œ˜ ammette soluzioni.

(3)

7) Siano _" œe 1 1ß ß ! à !ß ß1 1 à 1ß !ß1 e f _# œe 1ß !ß ! à 1 1ß ß ! à !ß ß1 1 due basi dif

‘^$. Sapendo che il vettore —−‘^$ ha coordinate αß ß1 " rispetto a e coordinate _" α "ß ß1 rispetto a , determinare , e ._# α " —

Luglio 02

1) Determinare la matrice , quadrata di ordine 2, che ammette l'autovettore 1 1 in corri- ß spondenza dell'autovalore -" œ1 e l'autovettore 1 2 per ß -# œ2 . Si consiglia di usare la diagonalizzabilità della matrice .

2) Data la matrice , determinare il valore del parametro in modo tale

2 1 1

6 1 5

3 1

 œ 5



 5

â â

che la matrice ammetta due autovalori complessi, aventi parte reale e parte immaginaria uguali tra loro.

3) Determinare, al variare del parametro , le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine dell'ap-5 plicazione lineare : rappresentata dalla matrice . Studiare

1 1

2

1 1

2

0 Ä œ

!

! 5

 5

5  !

‘^$ ‘^% 

â â

poi opportune condizioni sui parametri e affinchè il vettore 7 5 ˜œ 1ß #ß ß 71 appartenga all'immagine di .0

4) Dato il sistema sen sen e considerato il punto

œ0 ß œ B C  D  C1 B  D œ ! 1 ß œ B C  C D  B D œ

B Cß D B Cß D

P_! œ 1 1 1 , si studi il problema della definizione, mediante questi, di una opportuna fun-ß ß zione implicita, calcolandone poi le derivate.

5) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. : 1

œ 0 ß œ B C  D

B  C  D Ÿ B Cß D

# # #

6) Data 0 B Cß Dß œ D /^{# CB}^#, se ne determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto P_! œ 1 1ß ß ! .

7) Data 0 B Cß œ C B  Bk k , dopo aver stabilito se la funzione risulta differenziabile in !ß ! , se ne calcoli, in questo stesso punto, la derivata nella direzione espressa dal vettore 1 1 .ß

Settembre 1-02

1) Data la matrice , dopo aver verificato che essa ammette un certo auto-

3 1 1

2 4 2

1

 œ

7 5

â â

valore reale , qualunque siano i parametri e , determinare il valore di tali parametri in- 7 5 modo che la matrice ammetta due autovalori complessi uguali a -„ .-3

2) Data la matrice , dopo aver verificato che essa ammette un certo au-

2 6 3

1 1 1

1

 œ

 7 !

â â

tovalore reale , qualunque sia il parametro , determinare il valore di tale parametro in- 7 modo che la matrice ammetta un autovalore doppio, e si studi se risulta, in tal caso, diagonalizzabile.

3) Determinare, al variare dei parametri e , se il vettore 7 5 ˜œ  ß ß 51 1 può essere espresso come una combinazione lineare dei vettori —_" œ 1 1ß ß ! ß —_# œ  ß !ß 1 1 ß

—_$ œ 1 1ß ß 7 e —_% œ  ß ß 1 1 2 .

(4)

s.v. : 1

œ 0 ß œ B D  C

B  C  D œ B Cß D

# # #

5) Dati il sistema ed il punto P 1 1 ,

œ0 Bß Cß Dß A œ B C  D A  B C D œ !1

1 Bß Cß Dß A œ /_{B C D}^# ^# /_{C D A}^# ^# /_{B C A} œ _! œ !ß ß ß ! si studi il problema della definizione, mediante questi, di una opportuna funzione implicita, calcolandone poi le derivate.

6) Data 0 B Cß Dß œ B C  C D^# ^$ ^#, e dato P_! œ 1ß  ß !1 , siano il versore di 1@ ß !ß1 e A il versore di 1 1ß ß ! . Calcolare W_@0 P e _! W^#_@ßA0 P ._!

7) Data 0 B Cß Dß œ B  C  D  7BC  5CD^# ^# ^# , determinare sui parametri e opportune7 5 condizioni sufficienti a garantire che la funzione ammette un punto di minimo.

Settembre 2-02

1) Data , determinare per quali valori del parametro la matrice am-

1 1

 œ 5

! 

5

 !

â â

mette un autovalore doppio, e verificare se, in tali casi, la matrice risulta diagonalizzabile, tro- vando una matrice che la diagonalizza.

2) Determinare, al variare di e , se il vettore 7 5 ˜œ 2 1 3ß ß ß 7 può essere espresso come una combinazione lineare dei tre vettori —" œ 1ß  ß ß 1 3 1 ß —# œ  ß !ß  ß 1 2 1 e

—_$ œ 2 1ß ß 5ß4 .

3) Data la forma quadratica generata dalla matrice , si determini per

1 1

1

â â

5 

 !

 ! 5

quali valori del parametro la forma risulta definita.5

4) Data 0 B Cß œ B  C^$ ^$, sia il versore di 1 1 . Determinare tutti i punti P nei quali ri-@ ß _!

sulta P 3 e P .

W_@0 _! œ W^#_@ß@0 _! œ !

# È

5) Dati il sistema ed il punto P 1 1 , si verifi-

œ0 ß œ B C D œ ! 1

1 ßB Cß D œ B  C  D  B C œ œ ß ß !

B Cß D ^# ^# ^# ^!

chi che con essi è possibile determinare una funzione implicita B Ä Cß D , e di questa si trovi l'espressione della retta tangente nel punto B œ Þ1

6) Data 0 B Cß Dß œ B  C  D  $BC  $CD^$ ^$ ^$ , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativi.

Max/min

s.v. : 2

Ú

ÛÜ œ

0 ß œ B  C B  C  B Ÿ ! B  C Ÿ "

B C

# #

Dicembre 02

1) Data la matrice ed il vettore , deter

1 1 1 1

2 1 1

2 2 1

1 2

œ ˜œ



! 

 7 5

!

â â â â

minarne esistenza

e numerosità delle soluzioni del sistema lineare  —† œ˜ al variare dei parametri e .7 5

(5)

2) Data la matrice , determinare una matrice ortogonale che la diagona- 1

1 1 1

 œ

! ! !

â â

lizza.

3) Data la matrice , determinare il valore del parametro per il quale la

2 1 1

6 1 2

3 1

 œ 7



 7

â â

matrice ammette un autovalore doppio non irrazionale, e si verifichi se in tal caso la matrice risulta diagonalizzabile.

4) Si determini, se ne esistono, i valori del parametro per i quali la forma quadratica genera-5 ta dalla matrice non simmetrica risulta definita o semidefinita.

1 3

1 2 1

2 1 1 1

 œ

!

! 5 

5 

â â

5) Data 0 B Cß œ B  C  B C  C^$ 2 ^$ ^# , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativi.

s.v. :

œ 0 ß œ $B  #B C

B Ÿ C Ÿ B B C

#

7) Dati il sistema 1 ed il punto P 1 1 1 ,

2 2 1

œ0 ß œ B  C  D  B  C œ

1 ßB Cß D œ B  C  D  C  D œ  œ ß ß

B Cß D

# # #

3 3 3 !

si verifichi che con essi è possibile determinare una funzione implicita B Ä Cß D , e di questa si trovi l'espressione della retta tangente nel punto B œ Þ1

Gennaio 0$

1) Data la matrice , determinare se esistono valori del parametro per i 1 1 1

1 2 1 1 1

 œ 5

5

â â

quali la matrice ha per autovalore un elemento della diagonale principale, e vedere poi se tale autovalore può essere multiplo.

2) Data l'applicazione lineare , con , se ne

1 1 2

2 1 1 1

1 1 2 4

˜œ —† œ

 !

 

â â

determini la dimensione del Nucleo e dell'Immagine, nonchè una base per ciascuno di essi.

3) La matrice œ + + ha gli autovalori - œ1 e - œ2 , ai quali corrispondono

+ +

ºº ^""_#" ^"#_##ºº ^" ^#

gli autovettori —" œ 1 1 e ß —# œ 1 2 . Si determini .ß 

4) Data 0 Bß Cß D œ B /  C /^{# C} ^{# D} ed il punto T œ_! 1ß !ß ! , determinare f0 T_! , nonchè i differenziali primo e secondo della funzione, e l'espressione del Polinomio di Taylor di II^

grado sempre nel punto .T_!

5) Dati il sistema 1 ed il punto 1 1 1 , de-

œ0 ß œ B C  C D  B D  B A œ1

1 ßB Cß D œ B /  C /  D / œ T œ ß ß ß !

B Cß D ^C ^D ^A ^!

terminare, tra tutte le possibili funzioni implicite definite dal sistema, quella le cui variabili dipendenti danno luogo al minore con il determinante massimo, e di questa funzione calcolare le derivate in .T_!

s.v. : 2

œ 0 ß œ B  C D

B  C  D œ B Cß D ^#

# # #

(6)

7) Data 0 B Cß Dß œ B  C  D  B  D^$ ² ^$ 3 3 , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativi.

Febbraio 1-0$

1) Data la matrice , determinati i valori del parametro per i quali la ma-

1 1

1

 œ 5

5

! 5 !

5 "

â â

trice ammette un autovalore doppio, si determini, in tali casi, se la matrice risulta diagonalizzabile nonchè l'eventuale matrice che realizza la diagonalizzazione.

2) Determinare per quale valore del parametro il vettore 5 —œ $ß !ß $ ha coordinate

e f

"ß  "ß # nella base –œ –_" œ 5ß !ß # à–_# œ !ß #ß " à–_$ œ "ß "ß 5 e determinare poi le coordinate di nella base — •œe•" œ #ß !ß $ à•# œ !ß "ß ! à•$ œ "ß !ß # f.

3) Data si determinino, al variare del parametro , le dimen- 1

1 1

 œ 5

$ 5 "

"   #  5 # " "

â â

sioni del Nucleo e dell'Immagine dell'applicazione lineare 0 À‘^% Ä‘ ˜^$ß œ —† . Per quale valore di il vettore 5 —! œ "ß "ß "ß " ha per immagine ˜! œ $ß  $ß # ?

4) Data 0 B Cß Dß œ B C  C D  #B  #C  D^# ^# ^# ^# ^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo.

5) Risolvere il problema: Max/min . s.v. :

œ 0 ß œ B  C

B  C Ÿ "

B C ^#

# #

6) Data l'equazione B  C œ B  C^# ^$ ^$ ^#, determinare i punti nei quali non sono soddisfatte le ipotesi del Teorema del Dini sufficienti a garantire l'esistenza di una funzione implicita C œ C B oppure B œ B C . Trovare altri punti nel cui intorno sia invece definibile una tale funzione implicita, e di questa calcolare la derivata.

7) Data la forma quadratica — ‡ —† † , con ‡œ , determinare per quali valori 5 " !

" 5 #

! # 5

T

â â

del parametro tale forma quadratica risulta definita positiva e per quali definita negativa.5 Febbraio 2-0$

1) Data la matrice , determinare per quali valori di e essa ammette

1 1

1

 œ 7 5

"

" # 7

" 5

â â

l'autovalore - œ ! come autovalore doppio e si veda se in tal caso la matrice risulta diagonalizzabile.

2) Sapendo che la matrice e la matrice hanno il vettore come loro autovettore (non ne-  — cessariamente per lo stesso autovalore), si verifichi che anche    † e † hanno come au-— tovettore e si trovi il suo corrispondente autovalore.

3) Data la matrice  œ , determinare i valori dei parametri e per i7 5

" " # $ %

" # $ % &

" " # 7 5

â â

quali la dimensione del Nucleo dell'applicazione lineare ˜œ  —† è maggiore di quella del- l'immagine, e di quest'ultima determinare una base.

4) Data 0 B Cß Dß œ B C  B D  #B  D^# ^# ^# ^# ^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo.

(7)

5) Data 0 Bß C œ / , sia @ œ @ ß @ œ "ß $ . Sapendo che 0 œ ",

# #

BC È

" # W@ —!

verificare che W^#_{@ @}0 —! œ @  @ Þ" #

6) Risolvere il problema

Max/min s.v. : ÚÝ Ý ÛÝ

ÝÜ œ

0 ß œ B  C  "BC

% C  %  B Ÿ !

#  B  C Ÿ !

Þ B C

#

7) Dato il sistema ed il punto P , verificare che

Ú ÛÜ

0 Bß Cß Dß A œ B C D œ "

0 Bß Cß Dß A œ C D A œ "

0 Bß Cß Dß A œ B D A œ "

œ "ß "ß "ß "

"

#

$

!

con esso si garantisce l'esistenza di una funzione implicita B Ä Cß Dß A , e di questa si calcoli il vettore tangente nel punto B œ ".

Aprile 0$

1) Dati i tre vettori –_" œ "ß !ß  " à–_# œ  "ß "ß ! à–_$ œ !ß  "ß 5 , determinare per quale valore di essi non costituiscono una base di 5 – ‘^$. Determinare poi il valore di per5 il quale il vettore —_" œ "ß !ß ! in base canonica ha coordinate #ß "ß " nella base e quali– sono, in questo caso, le coordinate di —# œ !ß "ß ! nella base .–

2) Data la matrice , determinare per quali valori di e essa ammette 1

1

 œ 7 5

5 "

# % #

7  "

â â

l'autovalore - œ # e due autovalori complessi con parte reale e parte immaginaria uguali tra loro.

3) Dato il sistema , determinarne, al variare dei parametri e , Ú 1

ÝÝ ÛÝ ÝÜ

B  #B  B œ

#B  B  $B œ #

$B  %B  (B œ 7 B  (B  'B œ 5

7 5

" # $

esistenza e forma delle soluzioni.

4) Verificare se nel punto !ß ! o nel punto "ß " si può definire una funzione implicita C œ C B mediante l'equazione 0 Bß C œ B /^{$ BC} C œ !^$ . Se esiste, calcolarne la derivata.

Max/min s.v. : ÚÝ Ý ÛÝ ÝÜ

Ú ÛÜ

0 ß œ B C C  B Ÿ "

B ! C !

B C

#

6) Risolvere il problema Max/min s.v. :

œ 0 ß œ B C

%B  *C œ "B C Þ

# #

7) Verificare se la funzione 0 B Cß œ BÈB  C^# ^# risulta differenziabile nel punto !ß ! .