COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2002/03
Prova Intermedia Maggio 0$
1) Data la matrice œ , determinare, al variare del parametro , i suoi auto-5
" # !
# $ !
$ " 5
valori e la loro molteplicità, stabilendo poi se esistono valori di per i quali la matrice data ri-5 sulta diagonalizzabile.
2) Determinare la matrice ortogonale che diagonalizza œ .
! " " "
" ! " "
" " ! "
" " " !
3) Dati i vettori —" œ #ß "ß " , —# œ 'ß "ß ( e —$ œ $ß "ß # , dopo aver verificato che costituiscono una base per ‘$, si trovino le coordinate in tale base del vettore
˜ œ "ß !ß " . Cosa significa il risultato trovato ?
4) Determinare, al variare dei parametri e , le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo del-7 5 l'applicazione lineare ‘& Ä‘ , 0 — œ —† , con œ .
" ! " ! "
! " ! " 5
" " " 5 7
3
5) Dato D œ # #3, sia l'unica radice cubica di situata nel quarto quadrante del pianoA D complesso. Calcolare /A.
Giugno 1-03
1) Data la matrice œ , si verifichi che essa, al variare del parametro , non può5
" 5 "
5 # #
! ! "
avere autovalori complessi. Determinare poi il valore di per il quale ammette autovalori5 multipli stabilendo se, in tal caso, risulta diagonalizzabile.
2) Data la matrice œ , si determini una matrice ortogonale che
! ! ! "
! ! " !
! " ! !
" ! ! !
la diagonalizza.
3) Data l'applicazione lineare ‘% Ä‘ , 0 — œ —† , con œ , e sa-
" " ! #
# " " "
" % 5 &
3
pendo che per tale applicazione lineare risultano uguali le dimensioni del Nucleo e dell'imma- gine, si determini il valore del parametro . In tale caso, dato 5 ˜œ #ß 7ß " , si studi l'esisten- za di soluzioni per il sistema lineare —† œ˜.
4) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
0 Bß C œ B C
#B " Ÿ C Ÿ B
# #
#
5) Dato il sistema , e considerati i due
1 Bß Cß Dß A œ B C D A œ 1
punti P" œ1 1 1ß ß ß " e P# œ1 1ß ß ß "1 , determinare in quale caso risulta possibile, con tale sistema, definire una funzione implicita 2 À‘# Ä‘#, Cß A Ä Bß D , e di questa determinare la matrice Jacobiana nel punto opportuno.
6) Data la funzione , trovare il valore del
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß !
5 Bß C œ !ß !
# %
2 2
parametro per il quale la funzione risulta continua in 5 !ß ! , determinando poi, mediante la definizione, se in tale punto essa ammette le derivate parziali.
7) Data 0 Bß C œ / B C , determinare le direzioni per le quali @ #@ß@0 !ß ! œ #Þ
# #
W Giugno 2-03
1) Date le matrici œ e œ , determinare i loro autovalori non
! ! 3 3 ! !
! ! ! ! ! !
3 ! ! ! ! 3
-
chè quelli delle matrici † e † . Quale relazione sussiste tra gli spettri di queste quattro matrici ? Quali di queste matrici hanno comunque autovettori reali ?
2) Data l'applicazione lineare ‘% Ä‘ , 0 — œ —† , con œ , si de-
" # " "
" # " 5
# % 7 #
3
terminino, al variare di e , le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine di . Quanto vale poi7 5 0 la caratteristica di se 0 "ß !ß "ß ! œ !ß !ß % ?
3) Data la forma quadratica d#0 œ dB # dC # dD # #5 B C #7 C Dd d d d , determina- re, al variare di e , quando tale forma risulta definita, semidefinita, indefinita.7 5
4) Data la funzione , dopo aver verificato che essa è
0 Bß C œ
B
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
$
2 2
continua in !ß ! , si determini poi, mediante la definizione, se in tale punto essa risulta anche differenziabile.
5) L'equazione 0 Bß C œ B senC CcosB œ ! è verificata sia nel punto P! œ !ß ! che nei punti P5 œ 5 à 5 . Esaminare in questi punti la validità del Teorema del Dini e cal-
1#
1 1
colare, quando possibile, le derivate prima e seconda della funzione implicita risultante.
6) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
0 Bß C œ B C B C #B #C œ !# #
7) Risolvere il problema .
Max/min
s.v. : 0
0 Bß C œ B C B #C $ Ÿ
B C Ÿ !
# #
Luglio 0$
1) Data la matrice œ , determinare, al variare del parametro , la presenza7
$ " "
# % #
" & 7
di autovalori multipli. Per quale valore di la matrice ammette l'autovalore nullo ? Stabilire7 se la matrice risulta, in questo caso, diagonalizzabile.
2) Determinare una matrice ortogonale che diagonalizza œ .
" ! ! "
! " " !
! " " !
" ! ! "
3) Si consideri l'applicazione lineare 0 À‘$ Ä‘%, 0 — œ —† , esprimibile come:
0 B ß B ß B " # $ œ B #B B ß 7 B B B ß B $B 7 B ß #B $B $B" # $ " # $ " # $ " # $. Si determini il valore di per il quale risulta massima la dimensione del Nucleo di tale appli-7 cazione lineare, determinando anche, in questo caso, una base per il Nucleo ed una base per l'immagine.
4) Data 0 Bß Cß D œ B C D BCD # # # , si determini la natura dei suoi punti stazionari.
5) Si considerino le due equazioni:
a) log0 Bß C œ +B ,C +B ,C " œ ! b) log1 Bß C œ +B ,C +B ,C " œ ! Þ
Dopo aver trovato tutti i punti che le soddisfano (suggerimento: porre +B ,C œ >), si veda in quali, tra tali punti, è applicabile il Teorema del Dini per garantire l'esistenza di una funzione B Ä C B , della quale si calcolino poi le derivate prima e seconda.
Erano prevedibili i risultati trovati ?
6) Un triangolo rettangolo ha i cateti lunghi e B #C, mentre l'ipotenusa è lunga . Verificare"
che può essere resa massima la misura del perimetro del triangolo. Può invece essere resa minima ?
7) Data 0 Bß C œ B C BC # # , si verifichi che la funzione è convessa in tutto ‘#. Conside- rata poi la curva di livello 0 Bß C œ " , si calcoli il vettore tangente a tale curva in !ß " , e si verifichi che tale vettore tangente è perpendicolare a f0 !ß " .
Settembre 1-03
1) Data la forma quadratica generata dalla matrice ‡ œ , determinare, al variare
" ! 5
! # 5
5 5 #
del parametro , quando la forma quadratica risulta definita, semidefinita, indefinita.5
2) Data œ , determinare se esistono valori di per i quali la matrice am-5 5 ! " !
! ! ! "
" ! ! !
! " ! 5
mette un autovalore con molteplicità algebrica superiore a .#
3) Dati i vettori —" œ "ß "ß # , —# œ #ß "ß " e —$ œ !ß $ß 7 determinare, al variare dei parametri e , se il vettore 7 5 ˜œ #ß #ß 5 risulta con loro linearmente dipendente.
4) L'equazione 0 Bß C œ B C B C œ ! % % $ $ è soddisfatta se C œ B. Determinare in quali tra questi punti non è applicabile il Teorema del Dini. Studiare poi il problema dell'esistenza della funzione implicita e della sua derivata nei punti P " œ "ß ! e P# œ !ß " . 5) Data la funzione 0 Bß C œ B C # #, si verifichi che W#@ß@0 P è costante, qualunque sia!
P e qualunque sia .! @
sella ed infiniti punti di minimo.
7) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
0 Bß C œ B $B C B C œ "
$ #
Settembre 2-0$
1) Data la matrice œ , determinare se esistono valori del parametro per i5
" " !
" " 5
! " "
quali la matrice ammette autovalori multipli. Stabilire poi se, in tali casi, la matrice risulti dia- gonalizzabile.
2) Dati i vettori —" œ "ß "ß # , —# œ "ß #ß " e —$ œ #ß "ß " , si verifichi che costituiscono una base per ‘$, e si trovino le coordinate in tale base del vettore ˜œ "ß #ß $ .
3) Data l'applicazione lineare ‘$ Ä ‘%, 0 — œ —† , con œ , determi-
" " "
! " "
7 ! %
! 5 #
nare, al variare dei parametri e , le dimensioni del nucleo e dell'immagine di tale applica-7 5 zione. Nel caso in cui la dimensione dell'immagine risulta minima, si determini una base per essa.
4) Si verifichi che la funzione 0 Bß C œ B $B $ #log#C ammette infiniti punti di massimo, infiniti punti di minimo ed un unico punto di sella.
5) Verificare se la funzione risulta differenziabile nel
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
$ $
2 2
punto . !ß !
6) Dato il sistema , e i due punti P e
0 Bß Cß D œ B / C / BCD œ !
1 Bß Cß D œ B B C C BCD œ ! œ !ß !ß !
BC CB
$ $ !
P" œ 1 1ß ß !, determinare in quale caso risulta possibile, con tale sistema, definire una fun- zione implicita 2 À‘Ä‘#, e di questa calcolare le derivate nel punto opportuno.
7) Risolvere il problema .
Max/min
s.v. : 0
0 Bß C œ B C B C #C Ÿ C B Ÿ !
#
# #
#
Dicembre 0$
1) Data la matrice , se ne studino gli autovalori al variare del parametro α
α α α
α α α
α α α
œ
e si determini una matrice ortogonale che la diagonalizza.
2) Sapendo che il vettore ha coordinate — nella base , determi-
˜
˜
˜
"ß "ß "
œ "ß #ß "
œ #ß "ß "
œ "ß "ß "
"
#
$
nare le sue coordinate nella base
™
™
™
"
#
$
œ "ß "ß # œ "ß #ß "
œ #ß "ß ' Þ
3) Data la matrice œ , determinare, al variare dei parametri e7
" " # # $
" " # # $
" 7 # 5 $
5, le dimensioni di nucleo ed immagine dell'applicazione lineare 0 À‘& Ä‘$, 0 — œ —† con essa generata, e si determini, quando la dimensione dell'immagine risulta minima, se il vettore ˜ œ "ß $ß " appartiene o no all'immagine.
4) Determinare se mediante l'equazione 0 Bß Cß D œ B / CD C /BD œ ! si può definire una funzione implicita in un intorno del punto P! œ !ß !ß ! oppure del punto P" œ "ß "ß " , e per tale funzione determinare l'equazione del piano tangente nel punto opportuno.
5) Data 0 Bß C œ / BC, siano e i versori di @ A "ß " e di "ß ". Dopo aver verificato che W@0 Bß C œ ! a Bß C , , si trovino i punti Bß C per i quali risulta WA0 Bß C œ #. In questi stessi punti verificare la costanza di W#@@0 Bß C e di W#AA0 Bß C .
6) Risolvere il problema: Max/min . Cosa sarebbe successo se il vin- s.v. :
0 Bß C œ B C B %C œ "
# #
# #
colo fosse stato invece della forma B %C Ÿ "# # .
7) Data 0 Bß C œ B / C / C B, determinarne l'espressione dei differenziali totali I, II e III, e con questi scrivere l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di III grado della funzione.
Gennaio 0%
1) Data la matrice œ , si verifichi se tale matrice risulta diagonalizzabile me-
" # "
# " #
$ $ $
diante una matrice ortogonale.
2) Dato il sistema lineare , determinare, al variare dei para-
B B œ "
B B œ "
B B 7 B B œ !
#B #B # B 5 B œ 2
" $
# %
" # $ %
" # $ %
metri , e , esistenza e numerosità delle sue soluzioni.7 5 2
3) Data la matrice ‡ œ , si determini, al variare di , quando la forma quadratica5
" ! "
! 5 "
" " %
— ‡ —† † ‡œ
! " " "
" " ! "
" ! 5 "
" " " %
T risulta definita, semidefinita e indefinita. Sia poi la matrice
Hessiana orlata in un punto stazionario di una funzione di tre variabili in un problema di mas- simi e/o minimi con un vincolo di uguaglianza. Determinare, al variare di , se tale punto sta-5 zionario può risultare di massimo o di minimo.
4) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
0 Bß C œ B %C
%B C Ÿ %
# #
# #
5) Data l'equazione 0 Bß C œ B cosC CcosB œ !, determinare l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado della funzione C œ C B definita implicitamente da tale equazione in un intorno di P! œ !ß ! .
6) Verificare se la funzione risulta differenziabile
0 Bß C œ
B C BC
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
2 2
nel punto !ß ! .
7) Si verifichi che la funzione 0 Bß C œ %B C $B C %BC $ # # $ presenta un solo punto stazio- nario, e che questo risulta un punto di sella.
Febbraio 1-0%
1) Data la matrice ‡ œ , determinare, al variare di , la molteplicità5
" ! ! "
! 5 5 !
! 5 5 !
" ! ! "
algebrica dei suoi autovalori, nonchè il segno di questi, determinando così i casi in cui la forma quadratica generata da risulta definita, semidefinita o indefinita.‡
2) Determinare, al variare di , e , le dimensioni del nucleo e dell'immagine dell'applica-7 5 2
zione lineare 0 À Ä , 0 B ß B ß B ß B œ .
B B B B
B B 7 B B B 5 B B B
#B B #B 2 B
‘% ‘& " # $ %
" $
# %
" # $ %
" # $ %
" # $ %
3) Data la matrice œ , determinare sotto quali condizioni per e la matrice7 5
# ! "
# " #
" 7 5
ammette due autovalori immaginari puri la cui parte immaginaria è un numero dispari.
4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B # log" #B C D CD D # # , determinarne l'esi- stenza di eventuali punti di massimo e/o di minimo.
5) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
0 Bß C œ / / / / œ "
B C
#B #C
6) Data 0 Bß C œ B C # , siano e i versori di @ A "ß " e di "ß " . Sapendo che
W@0 ! œ & # WA0 ! œ $ # !
# #
P e che P , si determini P .
7) Data l'equazione 0 Bß C œ / BC /BC œ % e dato P! œlog#ß !, studiare, in un intorno di tale punto, l'esistenza di una funzione implicita, di cui si calcolino poi le derivate prima e seconda, nonchè l'espressione del polinomio approssimante di II grado.
Febbraio 2-0%
1) Data la matrice œ 5 # , determinare i valori di per i quali la matrice ammette due5
# 5
autovalori uno doppio dell'altro. Quale relazione sussiste tra i corrispondenti autovettori ? Quali sono gli autovalori della matrice # œ † ?
2) Determinare, al variare del parametro , le dimensioni del Nucleo e dell'immagine dell'ap-5 plicazione lineare 0 À Ä , 0 B ß B ß B ß B œ .
5 B B 5 B 5 B 5 B 5 B B 5 B
‘% ‘% " # $ %
# %
" $
# %
" $
3) Si verifichi che la matrice œ non può ammettere, per 5 Á !, autovalori
7 5 !
5 7 5
! 5 7
multipli.
4) Dopo aver verificato che la funzione risulta diffe-
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
# #
2 2
renziabile nel punto !ß ! , si verifichi che in tale punto anche le funzioni derivate parziali pri- me risultano continue.
5) Si verifichi che la funzione 0 Bß Cß D œ B C D #B 5C D " # # # non ammette, per nessun valore del parametro , punti di massimo o di minimo relativo.5
6) Risolvere, nella maniera più rapida, il problema: .
Max/min s.v. :
0 Bß C œ B C BC B Ÿ !
C ! C Ÿ " B
# #
7) Dato il sistema , ed il punto P , deter-
0 Bß Cß D œ B C C D BCD œ !
1 Bß Cß D œ /BD$ # / œ !C# # ! œ "ß !ß "
minare quale funzione implicita risulta possibile definire e di questa calcolare il vettore tan- gente nel punto opportuno.
Aprile 0%
1) Date le matrici œ " # e œ # $ , determinare il valore del parametro per il5
# " 5 !
quale le due matrici hanno lo stesso spettro. Quale relazione sussiste poi tra i corrispondenti autovettori ?
2) Data la matrice œ , si trovi quel valore del parametro per il quale la5
" " "
" 5 !
" ! #
forma quadratica generata da risulta semidefinita, e si trovi poi, per questo , una matrice 5 ortogonale che diagonalizza .
3) Determinare per quali valori del parametro il vettore 5 ˜œ $ß #ß "ß 5 risulta esprimibile come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß #ß "ß # ß —# œ "ß "ß !ß # ß —$ œ #ß #ß "ß " e—% œ #ß "ß !ß $ , determinando anche i coefficienti di tale combinazione lineare.
4) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
0 Bß C œ B C B C B C œ !
# #
5) Determinare massimi e minimi relativi per la funzione 0 Bß Cß D œ B C D # #† /B. 6) Data 0 Bß C œ B C B C $ $, siano e i versori di @ A "ß " e "ß ". Calcolare W@0 "ß " ,
WA W#
0 "ß " e @ßA0 "ß " .
7) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B † / CD C † /BD, siano P" œ "ß "ß ! e P# œ !ß !ß " due punti che la soddisfano. Determinare in quale dei due punti sono soddisfatte le ipotesi del Teorema del Dini, stabilire quale tipo di funzione implicita può essere definita, calcolare l'e- quazione del piano tangente a tale funzione nel punto opportuno.
