Topologia della retta reale
Andrea Centomo
14 dicembre 2010
In queste pagine vengono trattati alcuni elementi di topologia della retta reale.
Nello studio dell’analisi matematica il concetto di limite è sicuramente di importanza capitale. Per giungere a definire il limite è necessario rendere rigorose espressioni come “sufficientemente vicino, abbastanza vicino, abbastanza piccolo” e via di seguito. Come vedremo è proprio la topologia che permette di raggiungere questo scopo.
1. La metrica euclidea
La funzione
d: R × R → R, (x, y)|x − y|
prende il nome di distanza o metrica euclidea e gode delle seguenti proprietà:
1. per ogni x, y ∈ R, d(x, y) ≥ 0;
2. d(x, y) = 0 se e solo se x = y;
3. per ogni x, y ∈ R, d(x, y) = d(y, x) (proprietà simmetrica);
4. per ogni x, y, z ∈ R, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (disuguaglianza triangolare).
Le prime tre proprietà sono ovvie. Per dimostrare la quarta iniziamo con il seguente.
Lemma 1. Siano u, v∈ R allora |u + v| ≤ |u| + |v |.
Dimostrazione. Per definizione di valore assoluto e per le proprietà dell’ordine si ha u≤ |u| v≤ |v | ⇒ u+ v ≤ |u| + |v |
e similmente
u≥ − |u| v≥ − |v | ⇒ u+ v ≥ − |u| − |v|.
Quindi
− |u| − |v| ≤ u + v ≤ |u| + |v|
da cui si ha la tesi.
Forti del Lemma 1 possiamo dimostrare subito la seguente.
Proposizione 2. Per ogni x, y, z∈ R, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
1
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che per ogni x, y, z ∈ R si ha
|x − y| ≤ |x − z| + |z − x|
ma ciò discende direttamente dal Lemma 1 posto u = x − z e v = z − y.
2. Topologia euclidea
Attraverso la metrica euclidea possiamo definire la palla aperta di centro x ∈ R e raggio r > 0 come l’insieme
Br(x) = {y ∈ R: d(x, y) < r}.
Il termine “palla aperta” viene sostituito in alcuni testi con il termine “intervallo aperto centrato”
in quanto
Br(x) = (x − r, x + r).
Attraverso le palle aperte possiamo definire che cosa si intende per punto interno ad un insieme.
Definizione 3. Sia X⊆ R e x ∈ X. Diremo che x è interno a X se esiste almeno una palla aperta Br(x) tale che Br(x) ⊂ X.
Esercizio 1. Verificare che tutti i punti dell’intervallo(0, 1) sono interni.
Esercizio 2. Dato l’intervallo(0, 1] verificare che 1 non è un punto interno.
Esercizio 3. Dimostrare che Q⊂ R non ha punti interni.
Definizione 4. Dato un insieme A⊆ R diremo che è aperto se tutti i suoi punti sono interni.
Non è difficile verificare che quelli che a suo tempo sono stati classificati come intervalli aperti, ossia gli intervalli del tipo (a, b), (a, + ∞) e ( − ∞, a) con a, b ∈ R, sono effettivamente aperti nel senso della definizione precedente. Per definizione si pone inoltre che ∅ sia aperto.
Definizione 5. Si chiama topologia euclidea di R l’insieme formato da tutti gli aperti di R T = {A ⊆ R: A aperto}
Per T si verificano le seguenti proprietà:
a) R e ∅ sono aperti;
b) data una famiglia finita o infinita N di insiemi aperti S
A∈NAè un aperto;
c) data una famiglia finita F di insiemi aperti T
A∈FA è un aperto.
Osserviamo che la famiglia F al punto c) deve essere per forza finita in quanto è facile vedere che esistono famiglie infinite di aperti la cui intersezione non è un aperto. Ad esempio,
\
n∈N∗
−1 n,1
n
= {0}
e si vede facilmente che {0} non è aperto.
2 Topologia della retta reale
Per formarsi un’idea più precisa della struttura degli aperti di R e per comprendere meglio la relazione che intercorre tra intervalli aperti e insiemi aperti è molto utile la seguente.
Proposizione 6. Un insieme A⊆ R è aperto se e solo se è unione finita o infinita di intervalli aperti.
Dimostrazione. Se A è aperto allora per ogni x ∈ A esiste Brx(x) ⊂ A. Quindi A= [
x∈A
Brx(x) = [
x∈A
(x − rx, x+ rx).
Il viceversa è banale.
Definizione 7. Sia B⊆ R diremo che B è chiuso se il complementare R\B è aperto.
Non è difficile verificare che quelli che a suo tempo sono stati classificati come intervalli chiusi, ossia gli intervalli del tipo [a, b], [a, + ∞) e ( − ∞, a] con a, b ∈ R, sono effettivamente chiusi nel senso della definizione precedente (verificarlo per esercizio).
Esercizio 4. Dimostrare che un qualsiasi insieme di numeri reali finito è chiuso.
Esercizio 5. Verificare che(0, 1] non è chiuso e non è aperto.
Nota 8. Gli insiemi R e ∅ sono aperti e chiusi. Si può vedere che sono gli unici che godono di questa proprietà.
3. Intorni di un punto in R
Attraverso la topologia possiamo definire il concetto di intorno.
Definizione 9. Sia x∈ R si chiama intorno di x un qualsiasi sottoinsieme Uxdi R che contenga un aperto di R contenente x.
Osserviamo subito due fatti importanti
1. un qualsiasi aperto A che contiene x è un intorno di x e ciò motiva l’utilizzo in [1] del termine “intorno sferico” per denotare Br(x) = (x − r, x + r);
2. Ux⊆ R è intorno di x ∈ R se e solo se esiste ǫ > 0 e (x − ǫ, x + ǫ) ⊂ Ux. Si verifica senza difficoltà che
i. ogni intorno Uxdi x ∈ R contiene x;
ii. se Ux⊂ V ⊆ R allora V è intorno di x;
iii. intersezioni finite di intorni di x sono ancora intorni di x.
Vale inoltre la seguente importante nota anche come proprietà di separazione.
Proposizione 10. Siano x, y∈ R con xy allora esistono almeno due intorni Ux e Uydi x e y tali che Ux∩ Uy= ∅.
Dimostrazione. Posto δ = |x − y |/2 basta prendere Ux= (x − δ, x + δ) e Uy= (y − δ, y + δ).
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4. Topologia della retta estesa
Per poter giungere ad una definizione unitaria di limite conviene estendere R includendovi i simboli + ∞ e − ∞. In altri termini consideriamo
R∗= R ∪ { − ∞, + ∞}.
In R∗, oltre agli intervalli aperti di R, si considerano aperti anche gli intervalli del tipo (a, + ∞], [ − ∞, a) [ − ∞, + ∞]
Prendendo spunto da quanto discusso in precedenza possiamo definire gli aperti in R∗ponendo ad esempio.
Definizione 11. Un insieme A⊆ R∗è aperto se e solo se è unione finita o infinita di intervalli aperti.
Si vede che questa topologia mantiene le proprietà viste in precedenza per gli aperti di R e che per la definizione di intorno si può ricorrere direttamente alla Definizione 9.
Nota 12. In diversi testi della scuola superiore accanto all’ampliamento della retta reale con i simboli + ∞ e − ∞ si considera anche l’ampliamento R ∪ {∞}. Nel nostro corso non prendiamo in considerazione questo ultimo ampliamento.
5. Punti di accumulazione e limiti
Per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale in prossimità di un punto x∈ R˜ appare piuttosto intuitivo richiedere che in ogni intorno di x cadano punti del dominio della funzione e ciò motiva la seguente.
Definizione 13. Sia E⊆ R∗, un punto x∈ R∗si dice di accumulazione per E se per ogni intorno Uxdi x in R∗ si ha Ux\{x} ∩ E∅.
Si noti che nella definizione precedente non è scritto da nessuna parte che un punto di accumula- zione deve appartenere a E. Quindi i concetti di appartenenza e di essere di accumulazione vanno tenuti ben distinti.
Definizione 14. Se x∈ E ⊆ R non è di accumulazione per E si dice che è un punto isolato.
Esercizio 6. Si consideri E= {x ∈ R: x = 1/n, n ∈ N∗}. Determinare i punti di accumulazione di E.
Esercizio 7. Determinare i punti di accumulazione di Q.
Definizione 15. (di Limite) Sia f: X ⊆ R → R una funzione reale di variabile reale e sia c ∈ R∗ un punto di accumulazione per X. Diremo che
x→climf(x) = l ∈ R∗
se per ogni intorno Uldi l in R∗ esiste un intorno Ucdi c in R∗tale che se x∈ X ∩ Uc\{c} allora f(x) ∈ Ul.
Bibliografia
[1] M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, Analisi Matematica, Edizioni McGraw-Hill, 2007.
[2] G. De Marco, Analisi 1 , Edizioni Zanichelli, 1996.
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