i) Si stabilisca quali, tra gli insiemi A, B, C, sono aperti

Esame di Analisi matematica I :esercizi Dr. Franco Obersnel

A.a. 2004-2005, sessione invernale, I appello

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

Si risolvano gli esercizi :1
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ESERCIZIO N. 1. Si considerino gli insiemi

A = [−1, 3[; B ={x ∈ IQ : |x − 2| ≥ 1}; C ={x ∈ IR : |x − 3| < 1}.

i) Si stabilisca quali, tra gli insiemi A, B, C, sono aperti.

ii) Si stabilisca quali, tra gli insiemi A, B, C, sono chiusi.

iii) Si stabilisca quali, tra gli insiemi A, B, C, sono limitati.

iv) Si determini l’insieme dei punti di accumulazione di B∩ C.

v) Si determini l’insieme dei punti di accumulazione di A∩ B.

vi) Si determini l’insieme dei punti interni di A∪ B.

vii) Si determinino inf(A∩ C) e sup(A ∩ C), specificando se sono minimo e/o massimo.

i) Si determini il dominio D di f .

ii) Si risolvano in D le equazioni f (x) =−1 e f(x) = 1.

iii) Si stabilisca, motivando la risposta, se esiste lim

x→1⁻f (x).

iv) Si verifichi che la funzione f ristretta all’intervallo [−1, cos(¹_π)] `e monotona, specificando il tipo di mono- tonia.

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ESERCIZIO N. 3. Si calcoli, usando i limiti notevoli,

xlim→0(1 + log(1 + x))^2x−11 .

RISULTATO

SVOLGIMENTO

(i) Si determinino:

• il dominio di f:

• lim

x→−∞f (x) = • lim

x→−2⁻f (x) = • lim

x→−2⁺f (x) =

• lim

x→2⁻f (x) = • lim

x→2⁺f (x) = • lim

x→+∞f (x) =

• f^(x) :

• i segni di f^:

• la crescenza, la decrescenza, gli estremi relativi e assoluti di f:

(ii) Si determini, al variare di α∈ IR, il numero delle soluzioni x ∈ domf dell’equazione f(x) = α.

COGNOME e NOME N. Matricola

ESERCIZIO N. 5. Si determini una funzione f : IR→ IR tale che f^(x) = 2x

x²+ 1. RISULTATO

SVOLGIMENTO

(i) Si stabilisca, motivando la risposta, se esiste e se `e finito o infinito il limite lim

x→+∞f (x).

(ii) Si calcoli f^(x) :

(iii) Si studino la crescenza, la decrescenza, gli estremi relativi e assoluti di f :

(iv) Si calcoli f^(x) :