Dimostrare che la compattificazione di Alexandroff di X ` e uno spazio connesso.

(1)

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 10

12 Dicembre 2013

1. Sia X uno spazio di Hausdorff, connesso e localmente compatto, ma non compatto.

Dimostrare che la compattificazione di Alexandroff di X ` e uno spazio connesso.

2. Provare che per uno spazio topologico X a base numerabile le seguenti propriet` a sono equivalenti:

(a) X ` e compatto;

(b) ogni successione decrescente {F _n } _n∈N di chiusi non vuoti di X ha intersezione non vuota.

3. Siano X e Y due spazi topologici di Hausdorff e localmente compatti; siano e X e e Y le compattificazioni di Alexandroff di X e di Y , rispettivamente. ` E vero che e X ∼ = e Y implica X ∼ = Y ?

4. Si doti N della topologia euclidea e sia e N = N ∪ {∞} la sua compattificazione di Alexandroff. Mostrare che una successione f : N → X in uno spazio topologico X converge a x ∈ X se e soltanto se l’estensione ˜ f : e N → X di f definita ponendo f (∞) := x ` ˜ e continua.

5. Per ogni a, b ∈ R con a < b e ogni y 0 ∈ R si definisca

U _{a, b, y}

₀

:= (x, y) ∈ R ² | a < x < b, y = y ₀ .

Sia poi B := U _{a, b, y}

₀

la famiglia dei sottoinsiemi di R ² della forma descritta e sia X := [0, 1] × [0, 1].

(a) Verificare che B ` e la base di una topologia τ su R ² . (b) Stabilire se (R ² , τ ) ` e connesso per archi.

(c) Stabilire se X ` e un sottoinsieme compatto di (R ² , τ ).

(d) Stabilire se X ` e un sottoinsieme localmente compatto di (R ² , τ ).

(e) Stabilire se X ` e un sottoinsieme localmente connesso di (R ² , τ ).

6. Descrivere la compattificazione di Alexandroff di (−2, −1) ∪ (0, 1) euclideo.

7. Si consideri la famiglia di sottoinsiemi di N data da B := {2n, 2n + 1} | n ∈ N . (a) Verificare che B ` e la base di una topologia σ su N.

(b) Dire se (N, σ) `e compatto, sequenzialmente compatto, numerabilmente compatto.

8. Dimostrare che uno spazio metrico totalmente limitato ` e separabile.

9. Sia X uno spazio topologico e sia X ^∗ lo spazio compatto ottenuto da X con l’aggiunta

di un punto. Provare che se X ^∗ ` e metrizzabile allora X ` e separabile.

Dimostrare che la compattificazione di Alexandroff di X ` e uno spazio connesso.

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 10

12 Dicembre 2013

1. Sia X uno spazio di Hausdorff, connesso e localmente compatto, ma non compatto.

Dimostrare che la compattificazione di Alexandroff di X ` e uno spazio connesso.

2. Provare che per uno spazio topologico X a base numerabile le seguenti propriet` a sono equivalenti:

(a) X ` e compatto;

(b) ogni successione decrescente {F n } n∈N di chiusi non vuoti di X ha intersezione non vuota.

3. Siano X e Y due spazi topologici di Hausdorff e localmente compatti; siano e X e e Y le compattificazioni di Alexandroff di X e di Y , rispettivamente. ` E vero che e X ∼ = e Y implica X ∼ = Y ?

4. Si doti N della topologia euclidea e sia e N = N ∪ {∞} la sua compattificazione di Alexandroff. Mostrare che una successione f : N → X in uno spazio topologico X converge a x ∈ X se e soltanto se l’estensione ˜ f : e N → X di f definita ponendo f (∞) := x ` ˜ e continua.

5. Per ogni a, b ∈ R con a < b e ogni y 0 ∈ R si definisca

U a, b, y

:= (x, y) ∈ R 2 | a < x < b, y = y 0 .

Sia poi B := U a, b, y

la famiglia dei sottoinsiemi di R 2 della forma descritta e sia X := [0, 1] × [0, 1].

(a) Verificare che B ` e la base di una topologia τ su R 2 . (b) Stabilire se (R 2 , τ ) ` e connesso per archi.

(c) Stabilire se X ` e un sottoinsieme compatto di (R 2 , τ ).

(d) Stabilire se X ` e un sottoinsieme localmente compatto di (R 2 , τ ).

(e) Stabilire se X ` e un sottoinsieme localmente connesso di (R 2 , τ ).

6. Descrivere la compattificazione di Alexandroff di (−2, −1) ∪ (0, 1) euclideo.

7. Si consideri la famiglia di sottoinsiemi di N data da B := {2n, 2n + 1} | n ∈ N . (a) Verificare che B ` e la base di una topologia σ su N.

(b) Dire se (N, σ) `e compatto, sequenzialmente compatto, numerabilmente compatto.

8. Dimostrare che uno spazio metrico totalmente limitato ` e separabile.

9. Sia X uno spazio topologico e sia X ∗ lo spazio compatto ottenuto da X con l’aggiunta

di un punto. Provare che se X ∗ ` e metrizzabile allora X ` e separabile.

(b) ogni successione decrescente {F _n } _n∈N di chiusi non vuoti di X ha intersezione non vuota.

U _{a, b, y}

:= (x, y) ∈ R ² | a < x < b, y = y ₀ .

Sia poi B := U _{a, b, y}

la famiglia dei sottoinsiemi di R ² della forma descritta e sia X := [0, 1] × [0, 1].

(a) Verificare che B ` e la base di una topologia τ su R ² . (b) Stabilire se (R ² , τ ) ` e connesso per archi.

(c) Stabilire se X ` e un sottoinsieme compatto di (R ² , τ ).

(d) Stabilire se X ` e un sottoinsieme localmente compatto di (R ² , τ ).

(e) Stabilire se X ` e un sottoinsieme localmente connesso di (R ² , τ ).

7. Si consideri la famiglia di sottoinsiemi di N data da B := {2n, 2n + 1} | n ∈ N . (a) Verificare che B ` e la base di una topologia σ su N.

9. Sia X uno spazio topologico e sia X ^∗ lo spazio compatto ottenuto da X con l’aggiunta

di un punto. Provare che se X ^∗ ` e metrizzabile allora X ` e separabile.