1. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale x = y 0 e y

➄ - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali del primo ordine

Parte II

1. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale x = y ⁰ e ^y

.

[ x = te

, y = (t

− t + 1)e

+ c]

2. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y = −y ⁰ cos y ⁰ + sin y ⁰ + y ⁰ .

[ x = − cos t + log |t| + c, y = −t cos t + sin t + t]

3. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y ⁰³ − 6y ⁰ + 5 = 0.

[ y = x + c, y = −

x + c, y =

x + c]

4. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale 2y ⁰ e ^y

− y ⁰ − 1 = 0.

[ 2

e

−

− 1 = 0]

II Tipo - Equazioni delle forme

a) x = f (y ⁰ ), b) y = f (y ⁰ ), c) f (y ⁰ ) = 0, essendo nei casi a), b) f (y ⁰ ) una funzione derivabile in un intervallo I.

a) Posto y ⁰ = t, si ha x = f (t) e quindi, differenziando, si trae dx = f ⁰ (t)dt, dt

dx = 1 f ⁰ (t) . Inoltre,

t = y ⁰ = dy dx = dy

dt dt dx = dy

dt 1 f ⁰ (t) , dy

dt = tf ⁰ (t).

Quest’ultima `e un’equazione a variabili separabili (I Tipo). Segue dy = tf ⁰ (t)dt,

y = Z

tf ⁰ (t)dt = ϕ(t) + c.

Le equazioni

x = f (t), y = ϕ(t) + c,

rappresentano l’integrale generale in forma parametrica; eliminando fra di esse il parametro t si ottiene l’integrale generale in forma cartesiana.

b) Posto y ⁰ = t, con procedimento analogo al precedente, si perviene all’integrale generale

 

 

 

 x =

Z f ⁰ (t)

t dt = ψ(t) + c y = f (t)

Eliminando t si ottiene l’integrale generale in forma cartesiana.

c) Posto y ⁰ = t, si ottiene l’equazione numerica f (t) = 0. Detta t ₁ una radice di f (t) = 0, si ha

y ⁰ = t ₁ , y = t ₁ x + c. Da quest’ultima relazione si trae t ₁ = (y − c)/x e quindi l’integrale generale

della equazione considerata si pu`o mettere sotto la forma f [(y − c)/x] = 0.