Edatal'equazione dierenziale delprim'ordine (y 1) @u @x +(x 1) @u @y =0 p erlafunzione incognitau(x;y),neldominio =R 2

p eril

Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile

A.A.2006/07: App ello del 12/1/2007

Nome:...

N.matr.:... Ancona,12gennaio 2007

1.



Edatal'equazione dierenziale delprim'ordine

(y 1)

@u

@x

+(x 1)

@u

@y

=0

p erlafunzione incognitau(x;y),neldominio =R 2

. Dire seeun'equazione

lineareoquasi-lineare,giusticandolarisp osta. Determinarnelasoluzionenel

dominio con il datodi Cauchyu(x;y)=y 2

sulla rettadi equazione x=.

Perquale valoredi,=

0

,lasoluzioneedenitaintutto? Inquale parte

deldominionon edenita p er 6=

0

?

Suggerimento: aiutarsi conuna rappresentazione graca.

2. Determinare l'evoluzione temp orale della densita n(x;t) di una sostanza che

diondein un mezzo con co eÆciente di diusione D e velo cita di convezione

costantev,neldominiospaziale0xL,concondizionialcontornodi usso

nullo agli estremie condizione iniziale

n(x;0)=N

0



1 x

L



:

Ladensita evolve verso una soluzione stazionaria? In casoaermativo,deter-

minarla. Secambiassimolacondizione iniziale, lostatostazionario sarebb elo

stesso? Giusticarelarisp osta.

3. Determinarelasoluzione dell' equazione di Klein-Gordon

@ 2

u

@t 2

v 2

@ 2

u

@x 2

+ 2

u=0

neldominionito0xLconlecondizionialcontornou(0;t)=L,u(L;t)=

0e lacondizione iniziale

u(x;0)=L



1 x

2

L 2



@u

@t

(x;0)=0:

Farequindiungraco,qualitativomasuÆcientementepreciso,dellasoluzione

nelcasoL=v = =1.

4. Intro durreiconcettidisup ercieintegrale,direzioni caratteristicheecurveca-

ratteristichep erleequazioni quasi-linearidelprim'ordine,edimp ostarequindi