2view Coordinates(a.k.a. eye Coordinates)screen Space

(1)

M a r c o T a r i n i ‧ C o m p u t e r G r a p h i c s ‧ 2 0 1 4 / 1 5 ‧ U n i v e r s i t à d e l l ’ I n s u b r i a

Transform

x

y

z v

⁰

v

¹

v

² world Coordinates

1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

y 2

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

² screen Space

3

“Clip”

Coordinates

1 1 -1

-1 x

x

y

z v

⁰

v

¹

v

² object Coordinates

0) transformazione di modellazione

0

1 z Object Coordinates

• Dare ad ogni oggetto il suo sistema di coordiante privato:

il suo Object Coordinates;

y

y y

y x

x x

x

z

y

x

(2)

Es: scene graph

«Spazio Mondo»

T1 T2 T3 T4

Object Coordinates

• Dare ad ogni oggetto il suo sistema di coordiante privato:

il suo Object Coordinates;

• Durante il transform, prima di tutto

portare ogni oggetto nello sist di coordinate comuni:

da Object Coordinates a World Coordiantes

– consente di riutilizzare lo stesso modello più volte nella stessa scena – ogni istanza: stesse Object Coordinates dei vertici,

ma una trasformazione (di "modellazione") diversa per arrivare a World Coordinates diverse

– Es: ruote di una macchina (4 volte l'istanza di una ruota)

alberi, case, sedie in una stanza, pedoni su una scacchiera, etc, etc, etc

(3)

Object Space (analogo in 2D)

• spazio oggetto

1 spazio oggetto (“spazio macchina”) origine

o

dello

spazio oggetto

x y

-1 2 3 -2

-3

assi

x

e y dello spazio oggetto

1 2 3

-1 -2 -3

Object Coordinates (analogo in 2D)

• coordinate oggetto

1.5 2.3 p = (1.5, 2.3)

spazio oggetto (“spazio macchina”)

coordinate di

p

in spazio oggetto

x y

vec2 x( 1.5 , 2.3 );

. . .

(4)

Object Coordinates (analogo in 2D)

• coordinate mondo

1.5 2.3

p = (1.5, 2.3)

spazio oggetto (“spazio macchina”)

coordinate di

p

in spazio oggetto

x y

spazio mondo

= (12.5, 8.1) 8.1

12.5 coordinate di

p

in spazio mondo

1 1

Object Coordinates

1.5 2.3

p = (1.5, 2.3)

spazio oggetto (“spazio macchina”)

coordinate di p in spazio oggetto

x y

spazio mondo

= (12.5, 8.1) 8.1

12.5 coordinate di p in spazio mondo

1 1

11 5.8

 







 







=

 







 







 





 





1 0 . 0

1 . 8

5 . 12

1 0 . 0

3 . 2

5 . 1

1 0 0 0

0 . 0 1 0 0

8 . 5 0 1 0

11

0

1

(5)

Transformazione di Modellazione

x

y

z v

⁰

v

¹

v

² world Coordinates

1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

y 2

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

² screen Space

3

Normalized Device Coordinates

1 1 -1

-1 x

x

y

z v

⁰

v

¹

v

0) transformazione di modellazione

0

1 Scene composite (gerarchicamente)

sist coord macchina

sist coord

ruota

(6)

Rendering di scene composite

spazio mondo (globale) spazio oggetto ruota 1 spazio oggetto automobile

Scene graph

V

M

⁰

M

¹

M

²

M

³

M

⁴

M

⁵

M

⁶

posizonamento della automobile

(rispetto al mondo) posiz. della

ruota (rispetto

all’

automobile)

(7)

Scene graph

V

M

⁰

M

¹

M

²

M

³

M

⁴

M

⁵

M

⁶

spazio mondo spazio

vista

spazio auto 1

spazio

auto 2 spazio

auto 3

spazio

ruota A spazio ruota B

spazio

ruotaC spazio ruotaD M

⁰

· M

³

Settare la matrice di model view

**/* globals (the current “state”) */**

mat4 mv; // current model-view matrix (the “state”) ...

void draw( Mesh x ) // nb: using the global mv, p, etc **/* draw scene */**

mv = V; // V = view matrix

draw( track ); // assuming track object space // is also object space

**mv = V * M0 ;**

draw( car_chassis );

mv **= V * M0 * M3;**

draw( wheel );

**mv = V * M0 * M4;**

draw( wheel );

...

come ottimizzare e razionalizzare?

(soprattutto il numero di matix molt?)

(8)

Settare la matrice di model view

• Idea: navigare l’albero della scena depth first (scene graph)

– init: model-view = view

– seguendo i link da padre a figlio:

• cumulare la matrice di modellaz. associata (molt. a DESTRA)

– tornando al padre:

• ripristinare la matrice (come?...)

Stack di matrici di model-view!

I · V M

I · V · M ⁰

I·V·M ⁰ ·M ³

(9)

Stack di matrici di model-view!

• Matrice in testa allo stack = model-view corrente

• Operazioni che servono : (es. in un API / una lib)

1. sovrascrivere identità nella matrice in testa

• x inizializzazione!

2. moltiplicare matrice-in-testa per 1 matrice data

• nb: si moltiplica a destra: M

^[top]

= M

^[top]

* M

^new

• dunque: “ultima cosa che faccio, 1ma cosa che avviene”

3. push : replicare matrice in testa in nuovo livello)

• x quando scendo di un livello!

• “salva la matrice corrente”

4. pop : scartare la matrice in testa

• x quando salgo di livello!

• “recupera l’ultima matrice salvata”

Scene graph

V

M

⁰

M

¹

M

²

M

³

M

⁴

M

⁵

M

⁶

setIdentity mult(V) push

mult(M0)

draw( car , red);

push

mult(M3)

draw( wheel );

pop push

mult(M4)

draw( wheel );

pop

… pop push

mult(M1)

drawMacchina(Green);

… pop mult(Traslaz…)

mult(Rotaz…)

mult(Scale…)

oppure molte, per es

(10)

Un trucco

M

⁰

M

¹

M

²

M

³

M

⁴

M

⁵

M

⁶

M

⁹

photocamera montata sull’automobile

posizonamento della camera (rispetto all’automobile)

spazio mondo

Un trucco

V

M

⁰

M

¹

M

²

M

³

M

⁴

M

⁵

M

⁶

M

⁹

photocamera montata sull’automobile

posizonamento della camera (rispetto all’automobile)

spazio mondo spazio

vista

= ( M

²

M

⁹

)

^-1

= M

^9-1

M

^2-1

(11)

Un trucco

la trasformaz di modellazione necessaria per piazzare un oggetto in una certa pos

è l’inversa

della trasformaz di vista necessaria per piazzare la camera in quella pos

Un altro modo ancora

per definire la matrice di vista una semplice “Trackball”:

phi theta

z -x

y

(12)

Un semplice esempio di trackball

• Interfaccia base per selezionare un punto di vista

• Due angoli (phi e theta) + distanza (ro) – (es mappati su assi X Y mouse + mousewheel)

• Utile per visualizzare un piccolo oggetto – permettere alla camera di ruotargli intorno

setIdentity

mult( translation(0,0,-ro) ) mult( rotationX (-theta) ) mult( rotationY (-phi) )

Next: trasformazione di proiezione

z

y

x v

⁰

v

¹

v

²

1 1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

y

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates

y -x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

² screen Space

3

Clip

1 1 -1

-1 x

z

y

x v

⁰

v

¹

v

0 0) transformazione di modellazione

2

(13)

Trasformazione di proiezione

• Prima o poi dovremo farlo: da 3D a 2D !

y 2

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

Clipcoordinates

1 1 -1

-1 x

Nota:

solo per i punti! (es. i vertici dei triangoli) non per i vettori (es. le normali dei triangoli) Le normali si possono “fermare” allo spazio vista (o anche solo mondo)

( cmq lo spazio in cui che saranno utilizzate, vedi lighting dopo)

Trasformazione di proiezione

• Vecchio problema:

– (in arte, architettura progettazione)

• come riportare – oggetti 3D – su un

piano 2D

(14)

Spazio “clip”

• X e Y: da -1 a +1

– indipendentemente da dimensioni / proporzioni del viewport – X = -1 bordo sx X = +1 bordo dx

– Y = -1 bordo inf Y = +1 bordo sup – origine: centro del’immagine renderizzata I – se un punto ha una coord X o Y al di fuori

di [-1, +1] => non è nel quadro

• (vedremo, vale anche per la Z)

• Oggetto (o primitiva) solo parzialmente nel viewport:

«clip» it !

– andrà spezzata in una parte da mostrare, e una no – da cui il nome dello spazio

• Modo 1:

– da 3D a 2D? facile: ignoriamo la z (per ora) – per la x e y uno zoom factor k

= 1/raggio della scena che vogliamo inquadrare – matrice corrisponente:

Trasformazione di proiezione

 







 







=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0

0

0 k

k

P _Z

(15)

Trasformazione di proiezione

• E' una proiezione ortogonale

– non c'è prospettiva – simula:

• il punto di vista all'infinito

• con un cannocchiale mooolto potente

• lunghezza focale infinita

– direzioni di vista costanti su tutta la scena

Trovare le differenze...

(16)

Trovare le differenze...

Come si svolge fisicamente il processo:

• Occhio o macchina fotografica il concetto è lo stesso:

lenti

CCD o pellicola

(2D screen buffer)

lenti

retina

(2D screen buffer)

distanza

focale distanza

focale

(17)

Nostro modello semplificato:

• pin-hole camera

distanza focale

-x y

-z image

plane

Parametri intrinseci della camera:

(quelli principali)

• dim image plane ( w , h ) (per ora: 2,2)

• distanza focale ( d ) oppure angolo Field of View ( FoV )

– (come ottenere uno dall’altro?)

– d si usa nei conti, ma FoV è intuitivo da settare, :

• FoV grande >60° (dist foc. piccola): «grandangolo»

• FoV piccolo <45° (dist foc. grande): «teleobiettivo»

distanza focale d

w

h Field of View (verticale)

(angolo)

(18)

Pin Hole camera

per semplicità, immaginiamoci il piano immagine davanti alla camera (e nn ribaltato), piuttosto che·· dietro (e ribaltato).

(cioe’ sul piano z = - d ) (in spazio vista!)

Matematicamente

y

-z

distanza focale d

image plane

centro di proiezione (origine)

x

) , , ( x y z

) , , ( x

_p

y

_p

z

_p

 







 







=

 







 







z y x k z y x

p p p

Nota:

non è lineare né affine;

non è reversibile.

non mantiene: rapporto fra distanze colineari

con k _t.c. z

_p

= − d

z d k = − /

quindi…

 







 







−

⋅

−

⋅

−

=

 







 







d z y d

z x d

z y x

p p p

/ /

e

(19)

Nostro modello semplificato:

nota: niente lenti – non modellandole,

ci siamo giocati (per ora) i "difetti" delle lenti:

• range di fuoco finito

• flares

• distorsioni radiali

Estendiamo la rappresentazione di punti e vettori in coordinate omogenee



 









 







= 1 z y x p

 







 







= 0 z y x v r

Punti: Vettori:

1 0

(20)

Rappresentazione di punti e vettori in coordinate omogenee



 









 







=

* z y x p

 







 







= 0 z y x v r

Punti: Vettori:

!=0 0

Estendiamo la notazione

• Esprimo i punti anche con la notazione

0 con ≠



 









 







= w

w wz wy wx p

 





 





w wz wy wx



 









 







1 z y x

divisione per 4ta comp

anche detta

normalizzazione affine

(21)

Estendiamo la notazione

• Per es:

 





 





10 30 10 20

 





 





1 3 1 2

 





 





1 . 0

3 . 0

1 . 0

2 . 0

 





 





2 6 2

4 sono alcune

coordinate omogene equivalenti del punto che ha le seguenti

coordinate cartesiane   





 







3 1 2

 







 







0 3 1

2 _{sono le}

coordinate omogene del vettore che ha le

seguenti

coordinate cartesiane   





 







3 1 2

…

punto

vettore queste

sono in

“forma normale”

( w = 1 )

Coordinate omogenee di punti

• Il punto P di coordinate cartesiane (x,y,z) è rappresentato in coordinate omogenee

come (xw,yw,zw ^, w), con w qualunque (ma non 0)

• Set di coordinate omogenee diversi (x, y, z, w) e (x′, y′, z′, w′) possono rappresentare lo stesso punto;

– [quando?]

• Quando w = 1 (forma canonica ) le coord cartesiane del punto coincidono con le prime tre coord omogenee.

• Con (x, y, z, w ≠ 0) si rappresentano punti , con (x, y, z, 0) si rappresentano vettori.

• Nota: tutte le matrici di trasformazione viste fin’ora funzionanto

anche con questa notazione generalizzata! Es: VERIFICA.

(22)

Proiezione prospettica

 





 





−

=

0 / 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d P

 



 





 



 





−

=

 



 





 



 





d z

z y x

/ 1

P

 







 







−

1 / /

d d z

y d z

x

divisione per 4ta comp

matrice di trasformazione per la

proiezione prospettica

In realtà.

la 3 e 4 si lasciano invariate…

i valori (originali) ci saranno utili !

In realtà non si scarta la terza dimensione:

ci servirà

y P

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

x no rm al iz za zi on e af fin e

y

z

x

clip space [ancora 3D!]

un bel CUBO!

Moltiplicazione per la matrice di

proiezione

La parte visibile casca in [-1,1] x [-1,1] x [-1,1]

quindi dette anche

"Normalized Device

Coordinates"

(23)

Proiezione Prospettica: che effetto fa

d infinito (diventa una proiezione ortogonale)

d piccolo d grande

 





 





−

=

0 / 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d P

Più distorsione prospettica.

Effetto "fish-eye"

(grandangolo)

Proporzioni più mantenute Effetto "zoom"

(eg. vista dal

satellite)

(24)

Dettaglio tecnico

• Il rasterizzatore: (comportamento fisso)

– prende vertici in clip coordinates

– produce frammenti a una data screen coordinates

• cioè le «in pixel», e.s. in [0..539] x [0..479]

– applica cioè la trasf di viewport automaticamente (e, prima, anche la div per w )

quindi:

• Il vertex processor (programmabile!)

– deve produrre clip coordiantes del vert. processato (anche non in forma normale, w !=1)

Next: trasformazione di proiezione

x

y

z v

⁰

v

¹

v

²

1 1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport