2view Coordinates(a.k.a. eye Coordinates)screen Space

(1)

da XKCD

http://xkcd.com/184/

M a r c o T a r i n i ‧ C o m p u t e r G r a p h i c s ‧ 2 0 1 0 / 1 1 ‧ U n i v e r s i t à d e l l ’ I n s u b r i a

Cambio di frame

• In realtà tutte le transf. affini lineari si possono vedere come un cambio di frame

– comprese quelle viste:

• traslazione

• scaling (uniforme o no)

• shearing

• rotazioni

Rotazioni generiche

• Una rotazione generica é definita da:

– angolo, – asse

– punto di applicazione

• come si fa?

• Input:

1) camera position C _pos 2) direzione di vista C _dir 3) vettore di alto C _up

Esercizio: transformazione di vista

yyyy ^eeee xxxx

• Output:

Matrice di Trasformazione

world frame → eye frame

sistema di riferimento della camera (eye frame)

xxxx ^eeee

----zzzz ê ê ê ê O O O O ê ê ê ê yyyy

zzzz 0000 xxxx

sistema di riferimento globale (wolrd frame)

C _up

Transform

1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

v

0

v

1

v

2

x y

z v

0

v

¹

v

2

object Coordinates

0) transformazione di modellazione

x y

z

v

0

v

1

v

² world Coordinates

y 2

-z v

0

v

¹

v

2

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

0

v

1

v

2

v

0

v

2

v

1

v

2

screen Space

3

Normalized Device Coordinates 1

1 -1 -1

x

object Coordinates

0 1

Esempio in 2D

• Procedura Disegna_pupazzo_di_neve – Disegna cerchio unitario // corpo – Trasla di (0,2)

– Disegna cerchio unitario // testa – (undo trasla)

– END

3

3 1 2 3 1

2

(2)

Esempio in 2D

• Procedura Disegna_pupazzo_di_neve – Disegna cerchio unitario // corpo – Trasla di (0,2)

– Disegna cerchio unitario // testa – (undo trasla)

– END

3 4 5 6

• Main

– Scala di (2,2)

– Disegna_pupazzo_di_neve:

• Disegna cerchio unitario

• Trasla di (0,2)

• Disegna cerchio unitario

• (undo trasla)

3 1 2 3 1

2 Scene composite

sist coord macchina

sist coord ruota

Rendering di scene composite

M matrice di modelling usata

(da settare prima del rendering di ogni pezzo)

T

_M

matr traslazione macchina R

_M

matr rotazione macchina

T

_M

R

_M

: va da frame macchina a frame mondo

T

_M

R

_M

: va da frame macchina a frame mondo

T

_Ri

matr traslazione ruota i T

_Ri

: va da frame ruota

a frame macchina! sist coord

mondo (globale) T

_M

Come viene l'algoritmo di rendering?

Stack di matrici di modelling!

T R T

T _M R _M M

T _M R _M T _R0

Transform

1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

v

0

v

1

v

2

x y

z v

0

v

¹

v

2

object Coordinates

0) transformazione di modellazione

x y

z

v

0

v

1

v

² world Coordinates

1 y -z v

0

v

¹

v

2

y x -z v

0

v

1

v

2

v

0

v

2

v

1

v

2

screen Space

3

1 -1 -1

x

object Coordinates

0

2 Trasformazione di proiezione

• Prima o poi dovremo farlo: da 3D a 2D !

y 2

-z v

1

v

2

y x v

1

v

2

v

0

v

1

1 -1

2 -z v

0

-z v

0

v

2

v

2

v

1

normalized projected coordinates 1 -1

x

(3)

Trasformazione di proiezione

• Vecchio problema:

– (in arte, architettura progettazione)

• come riportare

– su un piano (immagine 2D) – oggetti 3D

– oggetti 3D

Trasformazione di proiezione

• Modo 1:

– facile: togliamo una coordinata – cioe’ azzeriamo la z

– matrice corrisponente:



 









 







=

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

P Z

Inversa?

Trasformazione di proiezione

• E' una proiezione ortogonale

– non c'è prospettiva

– simula una situazione in cui:

• il punto di vista all'infinito

• con un binocolo mooolto potente    





 







=

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

P Z

• con un binocolo mooolto potente – direzioni di vista costanti

– Ci manca una scalatura non uniforme

• (causa aspect ratio del monitor / della finestra!)



 0 0 0 0

Trovare le differenze...

Come si svolge fisicamente il processo:

• Occhio o macchina fotografica il concetto è lo stesso:

CCD o pellicola

(2D screen buffer)

retina

(2D screen buffer)

lenti

buffer)

distanza

focale distanza

focale

Nostro modello semplificato:

• pin-hole camera

y

image

distanza focale

-x -z

image

plane

(4)

Nostro modello semplificato:

nota: nnnniente lenti iente lenti iente lenti iente lenti

– le lenti servivano a "simulare" una pin-hole camera – non modellandole,

ci siamo giocati (per ora) i "difetti" di questa simulazione:

i "difetti" di questa simulazione:

• range di fuoco finito

• flares

• distorsioni radiali

Matematicamente

y

-z image plane

x x y

d x z

x

p

=

-z

distanza focale d centro di proiezione (origine)

x

) , , ( x y z

) , , ( x

_p

y

_p

z

_p

d d z z y y d z

x

_p

= x

_p

=

_p

= / /

Nota:

non è lineare né affine;

non è reversibile.

non mantiene: rapporto fra distanze colineari (ma mantiene: colinearità)

Ritocchiamo la notazione

• Esprimo i punti anche con la notazione

0 con ≠

 





 





= w

w wz wy wx p

 

  w



 









 







w wz wy wx

 





 





1 z y x divisione per

4ta comp

anche detta normalizzazione affine

Proiezione prospettica

 





 





=

0 / 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d P

matrice di trasformazione per la proiezione prospettica:

questa operazione si fa per ultima.

La 3 e 4 componente

(originali) ci saranno utili !

 





 





=

 





 





d z

z y x

/ 1 P

 



 







 



 







1 / /

d d z

y d z

x

divisione per 4ta comp

In realtà non si scarta la terza dimensione:

ci servirà

y P

-z v

1

v

2

normalizzazione affine

y

x

P

-z v

0

x

_no^rm

alizzazione affine

z

x

coordinate proiettate e normalizzate (affine) [ancora 3D!]

Moltiplicazione per la matrice di

proiezione

La parte visibile casca in

[[[[----1,1] x [ 1,1] x [ 1,1] x [ 1,1] x [----1,1] x [ 1,1] x [ 1,1] x [ 1,1] x [----1,1] 1,1] 1,1] 1,1]

quindi dette anche

"Normalized Device Coordinates"

Proiezione prospettica: che effetto fa

(5)

Proiezione Prospettica: che effetto fa

d infinito

(diventa una proiezione ortogonale)

d piccolo d grande

 







 







=

0 / 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d P

Più distorsione prospettica.

Effetto "fish-eye"

(grandangolo)

Proporzioni più mantenute Effetto "zoom"

(eg. vista dal satellite)

Curiosità

• effetto Vertigo – detto anche

“contra-zoom” o “track & zoom” “dolly-zoom”

– aumetare (diminuire) al contempo

• la distanza del POV

• la lunghezza focale di campo

– in modo da lasciare inalterati gli oggetti ad una certa profondità d (e dintorni)

– trucco classico in cinematografia (a partire da Hitchcock)

– come trasformazione di matrice?

Considerazione

traslazione rotazione

lu ng he zz e

(isometrie)

ra pp or ti lu ng he zz e su u na li ne a

an go li

(transf. conformali)

co lin ea ril tà

VVVV VVVV VVVV

VVVV VVVV

VVVV

rotazione

scalatura uniforme scalatura non uniforme shearing

proiezione ortigonale trasf. affine generica proiezione prospettica (+ rinormalizzazione)

2view Coordinates(a.k.a. eye Coordinates)screen Space

da XKCD

http://xkcd.com/184/

Cambio di frame

• In realtà tutte le transf. affini lineari si possono vedere come un cambio di frame

– comprese quelle viste:

• traslazione

• scaling (uniforme o no)

• scaling (uniforme o no)

• shearing

• rotazioni

Rotazioni generiche

• Una rotazione generica é definita da:

– angolo, – asse

– punto di applicazione

• come si fa?

• Input:

1) camera position C pos 2) direzione di vista C dir 3) vettore di alto C up

Esercizio: transformazione di vista

yyyy eeee xxxx

• Output:

Matrice di Trasformazione

world frame → eye frame

sistema di riferimento della camera (eye frame)

xxxx eeee

----zzzz e e e e O O O O e e e e yyyy

zzzz 0000 xxxx

sistema di riferimento globale (wolrd frame)

C up

Transform

1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

v

v

v

x y

z v

v

v

0) transformazione di modellazione

x y

z

v

v

v

y 2

-z v

v

v

y x -z v

v

v

v

v

v

v

3

x

0 1

Esempio in 2D

• Procedura Disegna_pupazzo_di_neve – Disegna cerchio unitario // corpo – Trasla di (0,2)

– Disegna cerchio unitario // testa – (undo trasla)

– END

3

3

1 2 3 1

2

Esempio in 2D

• Procedura Disegna_pupazzo_di_neve – Disegna cerchio unitario // corpo – Trasla di (0,2)

– Disegna cerchio unitario // testa – (undo trasla)

– END

3 4 5 6

• Main

– Scala di (2,2)

– Disegna_pupazzo_di_neve:

• Disegna cerchio unitario

• Trasla di (0,2)

• Disegna cerchio unitario

• (undo trasla)

3

1 2 3 1

1) camera position C _pos 2) direzione di vista C _dir 3) vettore di alto C _up

yyyy ^eeee xxxx

xxxx ^eeee

----zzzz ê ê ê ê O O O O ê ê ê ê yyyy

C _up

T _M R _M M

T _M R _M T _R0