1view Coordinates(a.k.a. eye Coordinates)

(1)

M a r c o T a r i n i ‧ C o m p u t e r G r a p h i c s ‧ 2 0 1 4 / 1 5 ‧ U n i v e r s i t à d e l l ’ I n s u b r i a

Transform

z

y

x v

⁰

v

¹

v

²

world Coordinates

• Strategia:

1) "transformazione di vista":

portare la scena davanti alla camera

• e non viceversa ;-)

1 y

x

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

Bene...

ora la geometria e' espressa in un sistema di coordianate in cui:

• lo zero è il centro di proiezione (l'obiettivo della camera)

• la camera guarda verso -z

• y è verso l'alto, e x è verso destra (rispetto alla macchina fotogr) -necessario sapere i parametri estrinseci della

"virtual camera"

- posizione - orientamento

Transform

(Tizio) (Caio) visto da Tizio visto da Caio

• dipende dalla posiz della "camera” (macchina fotografica) – detta anche:

– pos del viewer

– eye position

– PoV (Point of View)

(2)

1 1 -1

-1

Transform

z

y

x v

⁰

v

¹

v

²

world Coordinates

1 • Strategia:

1) "transformazione di vista":

portare la scena davanti alla camera 2) "transformazione di proiezione":

proietta la geometria sul piano di proiezione

y 2

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y -x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

normalized projected coordinates x

- necessario sapere i parametri intrinseci della "camera virtuale"

- in particolare, la lunghezza focale

- questa trasformazione è la resposnabile della distorsione prospettica - "le cose più lontane appaiono più piccole"

Transform

z

y

x v

⁰

v

¹

v

²

world Coordinates

1 1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

y 2

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y -x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

²

screen Space

3 normalized projected coordinates 1

1 -1

-1 x

z

y

x v

⁰

v

¹

v

² object Coordinates

0 0) transformazione di modellazione

(3)

z Object Coordinates

• Dare ad ogni oggetto il suo sistema di coordiante privato:

il suo Object Coordinates;

y

y y

y x

x x

x

z

y

x

Transform

z

y

x v

⁰

v

¹

v

²

world Coordinates

1 1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

y 2

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y -x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

²

screen Space

3 “Clip”

coordinates 1

1 -1

-1 x

z

y

x v

⁰

v

¹

v

0 0) transformazione di modellazione

(4)

Transform

x

y

z v

⁰

v

¹

v

²

world Coordinates

T _v matrice di modellazione T _m matrice di vista

T _p matrice di proiezione T _vp matrice di viewport

y

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

²

screen Space

T ^vp

“Clip”

Coordinates 1

1 -1

-1 x

x

y

z v

⁰

v

¹

v

T ^v

T ^m T ^p

“Model-View matrix”

T _mv matrice di modellazione-vista

= T _v *T _m

T _p matrice di proiezione T _vp matrice di viewport

y

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

²

screen Space

T ^vp

“Clip”

Coordinates 1

1 -1

-1 x

x

y

z v

⁰

v

¹

v

T ^p

T ^mv

(5)

“Model-View-Projection matrix”

T _mvp matrice di

modellazione-vista-proiezione

= T _p * T _v *T _m T _vp matrice di viewport

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

²

screen Space

T ^vp

“CLIP”

Coordinates 1

1 -1

-1 x

x

y

z v

⁰

v

¹

v

T ^p T ^mvp

Next: trasformazione di vista

x

y

z v

⁰

v

¹

v

²

world Coordinates

1) transformazione di vista 2) transformazione di proiezione 3) transformazione di viewport

y

-z v

⁰

v

¹

v

²

view Coordinates (a.k.a. eye Coordinates)

y x -z v

⁰

v

¹

v

²

v

⁰

v

²

v

¹

v

⁰

v

¹

v

²

screen Space

3 “CLIP”

Coordinates 1

1 -1

-1 x

x

y

z v

⁰

v

¹

v

0) transformazione di modellazione

2 0

1

(6)

Input:

1) camera position: p _pov 2) target position: p _target 3) vettore di alto: v _up

Esempio tipico di

costruzione transformazione di vista

y

z 0 x

sistema di riferimento globale (world frame)

v _up

nb: punti e vettori espressi in spazio mondo!

p _target

p _pov

un esempio di descrizione completa dei parametri estrinseci della camera

Input:

1) camera position: p _pov 2) target position: p _target 3) vettore di alto: v _up

Esempio tipico di

costruzione transformazione di vista

sistema di riferimento della camera

(eye frame)

y ^e x ^e

-z ^e o ^e y

z 0 x

sistema di riferimento globale (world frame)

Output:

Matrice di Trasformazione world frame → ^{eye frame}

v _up

(7)

Input:

1) camera position: p _pov 2) target position: p _target 3) vettore di alto: v _up

Esempio tipico di

costruzione transformazione di vista

y ^e x ^e

-z ^e o ^e y

z 0 x

v _up

vec3 oe;

vec3 xe, ye, ze;

ze = p_target - p_pov;

ze = -ze;

ze = normlize( ze );

xe = cross( vup , ze );

xe = normalize( xe );

ye = cross(ze, xa);

y ê x ê z ê o ê

0 0 0 1

matrice che va da spazio vista a spazio mondo.

E’ l’inversa di quella che voelevo!

Ergo, va invertita!

Esempio tipico di

costruzione transformazione di vista

vec3 oe;

vec3 xe, ye, ze;

ze = p_target - p_pov;

ze = -ze;

ze = normlize( ze );

xe = cross( vup , ze );

xe = normalize( xe );

ye = cross(ze, xa);

y ê x ê z ê o ê

0 0 0 1

matrice che va da spazio vista a spazio mondo.

E’ l’inversa di quella che voelevo!

Ergo, va invertita!

Origine e assi del sistema vista espressi nelle coord del sistema mondo

Inverto z_e, per come e’

definito lo spazio vista (z verso osservatore)

“completamento di base”

nb: quando si fallisce? le due normalizz possono essere div by 0?

quando?

normalizzaz non necessaria (perché?)

(8)

Esempio tipico di

costruzione transformazione di vista

mat4 view_matrix( vec3 p_target, vec3 p_pov, vec3 v_up ) {

vec3 xe, ye, ze; // gli assi del sist. di rif. vista ze = p_target - p_pov;

ze = -ze;

ze = normlize( ze );

xe = cross( vup, ze );

xe = normalize( xe );

ye = cross( ze, xa );

mat4 m; // l’inversa della mat di vista

m[0] = vec4( xe, 0 ); // setta la 1ma colonna di m m[1] = vec4( ye, 0 );

m[2] = vec4( ze, 0 );

m[3] = vec4( p_pov, 1 );

return invese(m); // inversione generica? (spreco!) }

Inversione di una rotazione (ripetiamoci)

R ⁰

00 11

rotazione 4x4 generica

(asse passante per origine)

R ⁼ ^v ⁰ ^v ¹ ^v ²

R rotazione 3x3,

cioè ortonormale a det 1, cioè v

⁰

v

¹

v

²

:

- unit sized

- ortogonali a due a due

-1

dove:

= R ⁰

00 11

T

(9)

Inversione di una rotazione (ripetiamoci)

R ^v ^v ^v ^v _v ⁰ ⁰ ¹ ¹

v 2 ² =

proof (traccia):

* R =

T * v ⁰ v ¹ v ² I

R ⁰

00 11

rotazione 4x4 generica

-1

= R ⁰

00 11

T

Inversione di una traslazione (ripetiamoci)

I ^t

00 11

I

00 11

matrice 4x4 di traslazione

-1

= -t

(10)

Rototraslazione (isometria)

(tutte e sole le trasformazioni rigide)

R ^t

00 11

= I ^t

00 11

R ⁰

00 11

*

roto-traslazione (4x4)

( o isometria ) traslazione rotazione

Inversione di

una roto-traslazione

R ^t

00 11

= I ^t

00 11

*

-1 ( ^-1 ⁼

= =

nb: (A B)

^-1

= B

^-1

A

^-1