soluzioni

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Elementi di Matematica e Logica (I modulo) Esercitazione guidata - 21 dicembre 2009

Tracce di soluzione

Es. 1 . Sia f : M2(R) → R definita da f (A) = detA

a Dire se f `e iniettiva e/o surgettiva.

b) Sia A ∈ f−1(2) , `e vero che A `e invertibile?

Soluzione: a) f non è iniettiva perchè per esempio I e −I hanno entrambe determinante 1, pur essendo distinte, è invece surgettiva perchè ogni numero reale y è immagine della matrice

y 0 0 1

!

.

b) A `e invertibile perch´e ha determinante non nullo, in quanto det(A) = 2 .

Es. 2 . a) Usando l’algoritmo euclideo si calcoli il massimo comun divisore di 728 e 329 e si scriva la corrispondente identit`a di Bezout.

b) L’equazione 728x + 329y = 2 ha soluzioni intere? Soluzione: a) 728 = 329 · 2 + 70 329 = 70 · 4 + 49 70 = 49 + 21 49 = 21 · 2 + 7 21 = 7 · 3 + 0 quindi M CD(728, 329) = 7 .

b) L’equazione 728x + 329y = 2 non ha soluzioni intere perché 2 non è multiplo di 7 . Es. 3 . Calcolare (usando il teorema di Fermat) 92005 in Z41 e dire se è invertibile.

Soluzione: Poiché 41 è un numero primo, dal teorema di Fermat sappiamo che 940 = 1 , quindi 92005 = 940·50+5 =94050· 95 = 95 = 81 · 81 · 9 = (−1)(−1)9 = 9 è invertibile perché Z41 è un

campo e 9 `e non nullo.

Es. 4 . In R poniamo x ? y = 3xy .

a) Provare che l’operazione binaria ? `e associativa e ha elemento neutro. b) Dire se R `e un gruppo con l’operazione ? .

Soluzione: a) ? `e associativa perch´e (x ? y) ? z = 3(3xy)z = 9xyz = 3x(3yz) = x ? (y ? z) e se ha elemento neutro e esso deve essere tale che e ? x = x = x ? e , ora e ? x = 3ex = x se e solo se e = 1₃ .

b) Per vedere se R è un gruppo con l’operazione ? , essendo ? associativa con elemento neutro, basta vedere se ogni elemento è invertibile e ciò è falso perché 0 ? y = 0 6= 1₃ comunque si scelga y per cui 0 non ha inverso.

Es. 5 . In Z8 poniamo a ∼ b ⇐⇒ a2 = b 2

. a) Provare che ∼ `e una relazione di equivalenza.

b) Determinare quanti e quali sono gli elementi equivalenti a 3 . c) Determinare l’insieme quoziente Z8/ ∼ .

Soluzione: a) ∼ è una relazione di equivalenza perchè a2 = a2 e quindi è riflessiva, se a2 = b2 allora b2= a2 e quindi è simmetrica, se a2 = b2 = c2 allora a2= c2 e quindi è transitiva.

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b) Gli elementi equivalenti a 3 sono gli a tali che a2 = 32 = 1 e quindi la classe di 3 `e {1, 3, 5, 7} e ha 4 elementi

c) L’insieme quoziente Z8/ ∼ ha 3 elementi, la classe di 3 gia vista e quelle di 0 e di 2 , infatti

02 = 42= 0 e 22 = 62 = 4 .

Es. 6 . Provare per induzione che la somma dei quadrati dei primi n numeri dispari `e n(2n−1)(2n+1)₃ , ossia che per ogni n ∈ N∗ si ha:

n

X

j=1

(2j − 1)2= n(2n − 1)(2n + 1)

3 .

Soluzione: Se n = 1 si ha 1 = (2−1)(2+1)₃ e quindi la tesi `e verificata. Supponiamo vera la tesi per n ≥ 1 e proviamola per n + 1 .

n+1 X j=1 (2j−1)2= n X j=1 (2j−1)2+(2n+1)2 = n(2n − 1)(2n + 1) 3 +(2n+1) 2₌ (2n + 1) 3 [n(2n−1)+6n+3] = = (2n + 1) 3 (2n 2_{+ 5n + 3) =} (2n + 1) 3 (n + 1)(2n + 3). Es. 7 . Calcolare al variare di a ∈ R la caratteristica della matrice:

A =    2 2a a + 2 4 1 − a2 0 1 − a2 2 + 2a 1 a 1 2   

e discutere le soluzioni del sistema omogeneo associato ad A , calcolandole nel caso a = 1 . Soluzione: Facciamolo calcolando i minori di ordine tre. Denotiamo con Mj il minore ottenuto

cancellando la colonna j -esima. Risulta allora:

M4 = −a(1 − a2)(2 − a − 2) = −a2(1 − a2) che si annulla per a = 0 oppure per a = ±1 .

Anche M3 = −2a[2(1−a2)−2(1+a)]−a[2(2+2a)−4(1−a2)] = −a(1+a)[4(1−a)−4+4−4(1−a)] = 0

per ogni A .

Invece M1 = 2a(−2a2− 2a) = −4a2(a + 1) si annulla per a = 0 e a = −1 . Quindi il valore 1

non ci preoccupa piú, perché per a = 1 il minore M1è non nullo.

Calcoliamo quindi M2 solo nei casi a = 0 e a = −1 e si vede subito che M1`e nullo perch´e per

a = 0 le prime due colonne sono uguali, mentre per a = −1 ha una riga di zeri. Anzi nel caso a = 0 la matrice A ha le ultime due righe uguali e la prima è il doppio delle altre e quindi non ci sono neanche minori due per due non nulli e la caratteristica è 1, mentre nel caso a = −1 la seconda riga è nulla, però il minore

1 4 1 2

6= 0 e quindi in questo caso ρ(A) = 2 . Riassumendo ρ(A) = 3 per a 6= 0, −1 , ρ(A) = 2 per a = −1 mentre ρ(A) = 1 per a = 0 .

C’è però un metodo piú veloce per determinare la caratteristica: possiamo cominciare a ope-rare sulle righe togliendo alla prima riga il doppio della terza, si ottiene una matrice A0 =    0 0 a 0 1 − a2 0 1 − a2 2 + 2a 1 a 1 2  

 con pi´u zeri che per a = 0 ha una riga di zeri e le altre due

uguali e anche per a 6= 0 è più facile da trattare (si può ancora semplificare togliendo alla terza colonna la prima). La caratteristica si può anche vedere con la riduzione Gaussiana: è il numero di pivot sulla diagonale.

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Stabilita la caratteristica, il teorema di Rouchè- Capelli ci dice che il sistema omogeneo associato ha infinite alla 4 − 3 = 1 soluzioni, salvo i casi a = −1 in cui ne ha infinite alla 4 − 2 = 2 e a = 0 in cui ne ha infinite alla 4 − 1 = 3 (ricordo che un sistema omogeneo ha sempre soluzione, perchè la caratteristica delle matrici completa e incompleta è la stessa in quanto la colonna dei termini noti è nulla). Le soluzioni nel caso a = 1 possiamo ottenerle sostituendo 1 ad a nella matrice A0 ottenuta sopra, il sistema diventa allora equivalente a

     z = 0 4t = 0 x + y + z + 2t = 0 e quindi ha soluzioni {(−y, y, 00)}

Es. 8 . Dato il numero complesso z =

√ 3 2 −

i 2 .

a) Calcolare e scrivere in forma algebrica z28.

b) Scrivere un polinomio a coefficienti reali che abbia z come radice.

Soluzione: a) Anche se `e richiesta la forma algebrica, per calcolare le potenze di z conviene passare attraverso la forma trigonometrica, che `e z = cos(−π₆) + isen(−π₆) ; quindi

z28= cos 28(−π 6)+isen 28(− π 6) = cos(− 14π 3 )+isen(− 14π 3 ) = cos(− 2π 3 )+isen(−2 π 3) = − 1 2−i √ 3 2 . b) Un polinomio a coefficienti reali che abbia z come radice `e