POLIGONI, SUPERFICI, AREE, TEOREMI DI EUCLIDE E PITAGORA
Marco Monaci
1Liceo Scientifico G. Marconi (2B)
La geometria euclidea
:Iniziamo la nostra trattazione parlando brevemente della geometria euclidea. Con geometria euclidea in-dichiamo un impianto matematico costituito da cinque principi fondamentali (postulati o assiomi ) non strati e da una serie di proposizioni successive dimo-strate per via logica partendo proprio da questi cinque principi fondamentali. Condizione essenziale è che le proposizioni dimostrate, ovvero i teoremi, non siano in contraddizione con i postulati fondamentali. In altri termini, i postulati fondamentali sono le nostre regole
del giocosu cui poi possiamo costruire una partita. Af-finché la partita sia valida è necessario che rispetti le regole del gioco.
La geometria euclidea è stata introdotta e sviluppata dal matematico Euclide, che descrive questo impianto nella sua opera Elementi.
1.1 I 5 postulati fondamentali
Prima di tutto cerchiamo di capire cosa è un postulato. Un postulato o un assioma è una proposizione che, per quanto non dimostrata, si considera vera. Di solito gli assiomi sono banalmente veri, ovvero non necessitano di una dimostrazione in quanto sono evidentemente veri. Un esempio di postulato è:
∀x −→ x = x
Ovvero qualunque cosa è uguale a sé stessa. Questo è ovviamente vero, in quanto 5=5, i cani sono cani e un protone è un protone.
La geometria euclidea parte da 5 postulati fondamen-tali, chiamati per l’appunto postulati di Euclide. Li elenchiamo brevemente:
1. Tra due punti distinti di un piano passa una e una sola retta;
2. Un segmento può essere prolungato indefinitamen-te;
3. Dato un punto e una lunghezza si può descrivere una circonferenza;
4. Tutti gli angoli retti sono congruenti;
5. Se una retta taglia altre due rette e forma dalla stes-sa parte angoli interni la cui somma delle ampiezze è minore di due angoli retti, allora le due rette si incontreranno dalla parte di tali angoli.
Si può subito notare una grossa differenza fra i primi quattro postulati e il quinto postulato: infatti i primi so-no banali ed evidenti, e possiamo essere tutti d’accordo sulla loro veridicità anche dopo due negroni sbagliati ; il quinto non è assolutamente evidente e non banale, tan-t’è che per descriverlo servono molte più parole rispetto agli altri quattro.
Sembra infatti che lo stesso Euclide non fosse convinto della totale assiomaticità del quinto postulato: questo è in parte suffragato dal fatto che egli stesso, nei suoi
Elementi, lo utilizzi molto poco, cercando di dimostrare tutto usando solo i primi quattro postulati.
Il quinto postulato può essere espresso anche nella seguente maniera:
Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data.
Nel corso dei secoli matematici e geometri hanno cato di dimostrare il quinto postulato di Euclide, cer-cando di capire se fosse dipendente o indipendente da-gli altri 4. Solo nell’Ottocento si è dimostrato che ef-fettivamente è indipendente, e quindi non può essere dimostrato a partire dagli altri quattro postulati.
La geometria costruita solo sui primi quattro postula-ti (quindi non considerando il quinto) viene chiamata
geometria assoluta.
Le geometrie che invece negano uno o più postulati sono dette geometrie non euclidee. Per esempio nella geometria iperbolica il quinto postulato non è vero, in quanto è possibile tracciare più rette parallele ad una
retta data e passanti da un punto esterno ad essa; nella geometria ellittica è il contrario, in quanto non è
pos-sibile tracciare una retta parallela ad una retta data e passante per un punto esterno ad essa.
Figura 1:Esempi di geometrie euclidee e non euclidee. Nel primo pannello in alto è riportata la visualizzazione grafica del quinto postulato di Euclide nel caso della geometria eucli-dea (piana). Effettivamente per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela. Nel pannello intermedio è riportato l’esempio della geometria iperboli-ca, dove il quinto postulato non è più valido in quanto si possono disegnare più rette parallele; infine nel pannello in basso è riportato il caso della geometria ellittica, dove il quinto postulato non è più valido in quanto non si possono disegnare rette parallele. Infatti in questo caso abbiamo disegnato una retta tratteggiata (che incontra ad un certo punto la retta sottostante) per sottolineare il fatto che non esistono rette parallele.
Poligoni
:Prima di iniziare la trattazione più puntuale, una piccola nota sulle notazioni che utilizzeremo di seguito:
• Con le lettere maiuscole (A, B, C...) indichiamo i vertici e i punti;
• Con le lettere greche minuscole (α, β, γ...) indichiamo gli angoli;
• Col le lettere greche maiuscole (Γ , ∆, Π...) indichiamo i piani e le aree.
Inoltre per visualizzare al meglio i risultati fon-damentali, i teoremi saranno riquadrati in grigio e scritti in grassetto. Le dimostrazioni invece saranno semplicemente riquadrate.
TEOREMA:
Questo è un bellissimo e difficilissimo teorema...
DIMOSTRAZIONE:
... E questa è la sua bellissima dimostrazione.
Nota generale sulle dimostrazioni. Se ci viene richiesto di verificare una condizione allora è necessario una dimostrazione logica; se invece ci viene richiesto di falsificare una condizione allora basta mostrare un controesempio.
Immaginiamo di avere questa proposizione: Tutti i rettangoli sono quadrati. E’ chiaramente falsa, infatti basta prendere un rettangolo di base 5 e altezza 7 (controesempio) e vedere che non è un quadrato (infatti ha lati diversi).
Di solito è più facile trovare un controesempio che cer-care di dimostrare una proposizione con una dimostra-zione logica deduttiva. Certo è che se la proposidimostra-zione è
vera, non troveremo mai un controesempio!
2.1 I poligoni inscritti
Definiamo un poligono inscritto in una circonferenza come un poligono i cui vertici appartengono tutti alla stessa identica circonferenza.
Non tutti i poligoni sono inscrivibili in una circonfe-renza. Infatti affinché questo sia verificato, i vertici del poligono devono essere tutti equidistanti da un deter-minato punto, che è il centro della circonferenza. Ci possono essere poligoni che non possiedono questo pun-to equidistante dai vertici (non è unico) e di conseguenza non è possibile inscriverlo in una circonferenza.
TEOREMA: Condizione necessaria e sufficiente af-finché un poligono sia inscrivibile in una circonfe-renza è che gli assi dei suoi lati si incontrino tut-ti in un unico punto. Tale punto è il centro della circonferenza.
2.2 I poligoni circoscritti
Un poligono è circoscritto ad una circonferenza quando
tuttii suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Anche in questo caso non tutti i poligoni sono circo-scrivibili ad una circonferenza. La condizione affinché questo avvenga è che i lati siano tutti equidistanti ad un punto unico, che è il centro della circonferenza. Anche qui ci possono essere poligoni che non rispettano questa condizione (per esempio presentano un lato molto più "lontano" rispetto agli altri) e quindi non possono essere circoscrivibili.
TEOREMA: Condizione necessaria e sufficiente af-finché un poligono sia circoscrivibile ad una circon-ferenza è che le bisettrici di tutti i suoi angoli si in-contrino in un unico punto. Tale punto è il centro della circonferenza.
2.3 I triangoli e i punti notevoli
Sappiamo che per tre punti passa una e una sola cir-conferenza: ciò significa che un triangolo è sempre
inscrivibile in una circonferenza. Un discorso analogo
può essere effettuato se vogliamo circoscrivere un trian-golo ad una circonferenza. In definitiva possiamo dire che:
Un triangolo è sempre inscrivibile e sempre circoscrivibile in una circonferenza.
Possiamo quindi passare ad elencare brevemente quattro punti fondamentali di un triangolo:
• Circocentro. Punto di incontro degli assi dei tre lati del triangolo. Il circocentro non è chiamato così a caso, in quanto è il centro della circonferenza
circoscritta al triangolo;
• Incentro. Punto di incontro delle bisettrici di un triangolo. Anche in questo caso il nome è indicativo, in quanto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo;
• Ortocentro. Punto di incontro delle altezze dei lati del triangolo;
• Baricentro. Punto di incontro delle mediane dei lati di un triangolo.
In un triangolo qualsiasi questi quattro punti sono distinti fra di loro; inoltre circocentro, baricentro e orto-centro sono sempre allineati fra loro. Unendo questi tre punti con una retta si ottiene la retta di Eulero.
L’incentro di solito non è allineato rispetto agli altri tre (è vero solo nel caso del triangolo isoscele).
2.4 I quadrilateri inscritti
Occupiamoci ora dei quadrilateri inscritti. Chiaramente quanto visto per i poligoni vale anche per i quadrilateri, quindi per esempio se in un quadrilatero le bisettrici si incontrano in un unico punto allora tale quadrila-tero è circoscrivibile ad una circonferenza. Tuttavia per i quadrilateri esistono altre condizioni, valide solo
per i quadrilateri, che ci permettono di stabilire se è inscrivibile o circoscrivibile.
TEOREMA: Se un quadrilatero ha gli angoli op-posti supplementari allora è inscrivibile in una circonferenza.
TEOREMA: Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari.
Ciò significa che se un quadrilatero ha angoli opposti supplementari questa è una condizione necessaria e
sufficiente per l’inscrivibilità in una circonferenza.
2.5 Definizione di condizione necessaria e sufficiente
Che cosa significa che una condizione è necessaria? Che cosa significa che una condizione è sufficiente? E una condizione necessaria e sufficiente?
Una condizione necessaria è una condizione senza la quale la tesi non può essere vera. Ciò significa che la condizione necessaria deve essere verificata, ma tuttavia
nonè l’unica da verificare. Facciamo un esempio:
Un cuore funzionante è necessario per vivere.
Questo è un tipico esempio di condizione necessaria ma non sufficiente. Infatti se molto macabramente mi strappo il cuore dal petto, smetto di vivere, in quanto il cuore è necessario per la vita. Senza di esso non posso andare molto lontano. Tuttavia è una condizione
non sufficiente, in quanto se ho il cuore funzionante perfettamente ma ho compromessi polmoni, cervello e tutto il resto non posso comunque vivere.
Una condizione sufficiente è una condizione che, qualora verificata, mi assicura che la mia tesi sia vera. Non è detto che questa condizione sia anche necessaria. Facciamo subito un esempio.
Se accendo la luce e la lampadina funziona, allora vuol dire che la corrente elettrica arriva senza problemi a
casa mia.
Accendere la luce è una condizione sufficiente, in quanto se funziona sono certo che la rete elettrica fun-ziona perfettamente. Questa però non è una condizione necessaria, in quanto anche se non accendo la luce la rete elettrica potrebbe funzionare perfettamente. In altre parole, la rete elettrica funziona bene anche se non accendo nessuna lampadina.
Una condizione necessaria e sufficiente è una con-dizione che si lega indissolubilmente alla tesi. In altre parole se non è vera la condizione allora non è vera neanche la tesi e viceversa: se la tesi non è vera allora non è vera nemmeno la condizione. La dicitura equi-valente una e una sola / uno e uno solo indica proprio una condizione necessaria e sufficiente. Facciamo un esempio.
Se il Sole è sotto l’orizzonte, allora è notte.
Questa è una condizione necessaria e sufficiente. In-fatti il Sole sotto l’orizzonte è condizione necessaria af-finché sia notte, infatti se questa condizione non è verifi-cata allora non è notte! Questa però è anche condizione sufficiente, infatti basta che il Sole sia sotto l’orizzonte affinché sia notte, dato che non ci sono altri oggetti celesti che possano illuminare a giorno la Terra!
Se c’è una condizione necessaria e sufficiente allora la proposizione si può invertire e rimane comunque valida. Nel nostro caso:
Se è notte, allora il Sole è sotto l’orizzonte.
2.6 I quadrilateri circoscritti
TEOREMA: In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
Questa è una condizione necessaria e sufficiente, infatti vale anche il contrario:
TEOREMA: Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza.
2.7 I poligoni regolari
Un poligono è definito regolare se ha tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli congruenti.
TEOREMA: Se abbiamo un poligono regolare allora esistono sia la circonferenza inscritta e circoscritta; inoltre queste due circonferenze hanno il centro in comune.
Da questo teorema è possibile definire una serie di punti notevoli:
• Centro del poligono. E’ il centro delle circonferen-ze inscritte e circoscritte;
• Apotema del poligono. E’ il raggio della circon-ferenza inscritta (ricorda l’altezza di un lato del poligono);
• Raggio del poligono. E’ il raggio della circonferen-za circoscritta.
In altre parole l’apotema è la distanza dei lati dal centro del poligono, mentre il raggio del poligono è la distanza dei vertici dal centro del poligono.
Figura 2:Elementi caratteristici di un poligono regolare: centro (indicato dal pallino nero), apotema, raggio.
Nel caso particolare dell’esagono regolare abbiamo inoltre che il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell’esagono.
Aree e Superfici
:Definiamo come superficie la parte di piano delimitata da una linea chiusa.
Con il termine estensione indichiamo "quanto è gran-de" la superficie considerata. Esso è un concetto pri-mitivo ben noto a tutti, quindi non è necessaria una dimostrazione di esso.
Superfici diverse ma con eguale estensione hanno anche la stessa area.
Parlare quindi di area o di estensione è equivalente.
POSTULATO: Due superfici congruenti sono sempre equivalenti.
Due superfici sono congruenti se si possono sovrapporre perfettamente.
Non è vero il contrario, ovvero ci possono essere su-perfici equivalenti che non sono congruenti. Possiamo prendere un quadrato con area 20 m2 e un cerchio con
area pari a 20 m2: queste due superfici sono
equivalen-ti ma non sono congruenequivalen-ti, in quanto non si possono sovrapporre perfettamente.
Descriviamo ora brevemente alcune proprietà delle aree delle superfici:
1. Ogni superficie piana è equivalente a se stessa (riflessività);
2. Se una superficie A è equivalente a B, allora B è equivalente ad A (simmetria);
3. Se una superficie A è equivalente a B, e B è equivalente a C, allora A è equivalente a C (transitività).
Chiaramente è possibile sommare, sottrarre e moltipli-care per un numero le superfici. Chiaramente somma e differenza di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti. In altre parole se sommiamo quattro super-fici due a due, e sono equivalenti due a due, anche la somma e la differenza saranno equivalenti (sto di fatto sommando o sottraendo le stesse cose!).
POSTULATO DI DE ZOLT: Una superficie non può essere equivalente ad una sua parte.
Questo postulato è evidente. Chiaramente una pic-cola parte di una superficie non può essere uguale alla superficie intera! E’ come dire che una mattonella del pavimento della cucina è grande quanto la cucina stessa!
Definizione: figura equiscomponibile. Due figure si dicono equiscomponibili se sono formate da figure congruenti (somma di figure congruenti).
Da questa definizione discende immediatamente che figure equiscomponibili sono anche equivalenti, in quanto formate dalla somma delle stesse aree.
Esempio: se per mattonellare il salotto uso lo stesso numero di mattonelle usate per la cucina, allora posso dire che il salotto e la cucina sono equiscomponibili (ed equivalenti, presentando la stessa area!).
3.1 Equivalenza di parallelogrammi
Si definisce parallelogramma un quadrilatero con i lati opposti congruenti.
TEOREMA: Due parallelogrammi che hanno le ba-si e le altezze corrispondenti (ovvero ci riferiamo allo stesso lato) congruenti sono equivalenti, cioè hanno la stessa area.
Questo teorema è molto potente, in quanto ci permette di calcolare l’area di qualunque parallelogramma con
un’unica formula, che nel caso dei parallelogrammi è base × altezza.
DIMOSTRAZIONE: Consideriamo due parallelogrammi con la stessa base e con la stessa altezza. Prima di tutto li sovrapponiamo come in Figura 3, in modo che la base sia in comune. Quello che dobbiamo dimostrare è che hanno uguale area. In riferimento alla Figura 3 abbiamo due parallelogrammi, uno disegnato in nero e uno disegnato in rosso. Inanzitutto l’area AECD è in comune a tutti e due. L’unica cosa che dobbiamo fare è dimostrare che i triangoli ABE e CFD sono equivalenti. Poiché sono i lati opposti di un parallelogramma, i lati AB e CD sono uguali. Stesso discorso possiamo fare per i lati AE e DF. Ci siamo quasi, dobbiamo solo dimostrare che l’angolo α è uguale all’angolo β. Questi due angoli sono effettivamente uguali, in quanto sono compresi fra lati paralleli fra di loro, e quindi formano gli stessi angoli. Possiamo concludere che i triangoli ABE e DCF sono congruenti, quindi hanno la stessa area.
Ma il parallelogramma ABCD ha area che è la somma di ABE + AECD, mentre il parallelogramma AEFD ha un’area che è la somma di DCF + AECD. Ne consegue che i due parallelogrammi sono equivalenti.
Figura 3:Costruzione usata per la dimostrazione del teorema.
3.2 L’equivalenza fra un triangolo e un
parallelogramma
TEOREMA: Un triangolo è equivalente ad un pa-rallelogramma che ha altezza uguale a quella del triangolo e base pari alla metà della base del triangolo.
DIMOSTRAZIONE: Consideriamo per la dimostrazione la Figura 4. Abbiamo il triangolo ABC. Prima di tutto indichiamo con M il punto medio della base AC del triangolo. Da questo punto M conduciamo la parallela a AB, fino a raggiungere il punto N , in modo da creare il parallelogramma ABNM. A questo punto consideriamo i triangoli BNO e MOC. Possiamo individuare diversi elementi uguali:
• I lati MC e BN sono congruenti. Infatti MC è con-gruente perché è esattamente metà della base AC, quindi è congruente ad AM. Inoltre BN è uguale ad AM perché lati opposti di un parallelogramma, ma quindi abbiamo anche BN congruente ad MC; • L’angolo γ è uguale all’angolo θ, in quanto sono
alterni interni;
• L’angolo β è uguale a ρ perché alterni interni. Di conseguenza i triangoli hanno due angoli uguali e il lato compreso uguale, quindi per il secondo criterio sono congruenti. Il parallelogramma sarà quindi somma di ABOM + BNO, che è equivalente ad ABOM + MOC, dato che BNO e MOC sono uguali. Il parallelogramma ha quindi esattamente la base pari a metà della base del triangolo ma ha la stessa altezza.
Figura 4:Equivalenza fra un triangolo e un parallelogramma. Come corollario di questo teorema si trova la formula generale per calcolare l’area di un triangolo:
A = bh 2
Dove con b abbiamo indicato la base e con h abbiamo indicato l’altezza.
3.3 L’equivalenza fra un triangolo e un trapezio
Figura 5:Equivalenza fra un triangolo e un trapezio.
TEOREMA: Un trapezio è equivalente ad un triango-lo che ha per base la somma delle basi del trapezio e come altezza la stessa altezza del triangolo.
Da questo teorema, facilmente dimostrabile usando la stessa strategia usata per il teorema precedente, di-scende la formula generale per il calcolo dell’area di qualunque trapezio:
A = (b + B) · h 2
Dove con b abbiamo indicato la base minore, con B la base maggiore e con h l’altezza del trapezio.
3.4 Equivalenza fra un poligono circoscritto e un
triangolo
TEOREMA: Un poligono circoscritto ad una circon-ferenza è equivalente a un triangolo che ha ba-se congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza.
DIMOSTRAZIONE: Per la dimostrazione consideriamo la Figura 6. Il quadrilatero ABCD è circoscritto alla circonferenza tratteggiata. Possiamo scomporre tale quadrilatero in quattro differenti triangoli, ovvero ABO, BOC, COD, DOA. Tali triangoli hanno come base ciascu-no un lato del quadrilatero, ma hanciascu-no la stessa altezza, che è il raggio della circonferenza tratteggiata (infatti tale circonferenza è tangente a tutti i lati, e quando una circonferenza è tangente ad una retta allora il raggio è perpendicolare a tale retta). Adesso creiamo un nuovo triangolo, riportato in basso in figura. Questo triangolo è equivalente al quadrilatero, infatti:
• Il triangolo ABH è equivalente ad ABO, in quanto hanno la stessa base (per costruzione abbiamo usa-to la lunghezza del lausa-to del quadrilatero) e la stessa altezza OH, ovvero il raggio della circonferenza che abbiamo riportato con una linea tratteggiata; • Il triangolo BCH è equivalente a BCO per lo stesso
motivo;
• Stesso discorso per CDH e COD; • Uguale per DHA e DOA.
Poiché il quadrilatero e il triangolo sono somme di figure equivalenti, allora a loro volta saranno equivalenti, e in particolare il triangolo avrà come base la somma dei lati del poligono e come altezza il raggio della circonferenza.
Da questo teorema è possibile ricavare la formula per calcolare l’area di qualsiasi poligono circoscritto ad una circonferenza, compresi tutti i poligoni regolari:
A = p · a
Dove abbiamo indicato con p il perimetro del nostro poligono e con a l’apotema del poligono.
TEOREMA: E’ sempre possibile trasformare un poli-gono convesso di n lati in un polipoli-gono equivalente di n − 1 lati.
Figura 6:Equivalenza fra un poligono circoscritto e un triangolo.
Tale teorema può essere applicato più volte fino ad ottenere un triangolo. Ciò significa che, piuttosto chiara-mente, ciascun poligono è in qualche modo equivalente a qualche triangolo.
Teoremi di Pitagora e Euclide
:In questa sezione parleremo dei teoremi di Euclide e Pitagora relativamente ai triangoli rettangoli.
4.1 Primo Teorema di Euclide
Figura 7:Primo Teorema di Euclide
Per la dimostrazione del primo teorema di Euclide fare riferimento alla Figura 7.
TEOREMA: In un triangolo rettangolo il quadrato co-struito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa.
In riferimento alla Figura 7 possiamo quindi scrivere il teorema come una equazione:
AB2= AH · AC
Infatti con AB2intendiamo l’area del quadrato, mentre
con AH · AC intendiamo l’area del rettangolo. Detto questo, passiamo alla dimostrazione.
DIMOSTRAZIONE: Consideriamo il quadrato ABED. Pro-lunghiamo il suo lato DE fino a raggiungere la proiezione di A (ovvero il punto F) e la proiezione di B (ovvero il punto G). Con questo barbatrucco abbiamo ottenuto il parallelogramma ABGF. Tuttavia è facile vedere che tale parallelogramma è equivalente al quadrato ABED:
• Condividono la stessa base AB;
• Hanno anche la stessa altezza, dato che tale altezza è la distanza fra la retta passante per AB e la retta passante per DE, che sono parallele.
Adesso consideriamo i triangoli ADF e ABC. Essi sono congruenti, infatti:
• L’angolo in D è retto, esattamente come l’angolo in B;
• Il lato DA è uguale al lato AB (ABED è un quadrato!); • Abbiamo che α + β = 90o e che γ + β = 90o, ovvero
α + β = γ + β, da cui α = γ.
Quindi i triangoli hanno congruenti due angoli e il lato compreso, quindi sono congruenti per il secondo criterio. In particolare sono uguali i lati AC e AF.
Infine consideriamo il parallelogramma ABGF e il ret-tangolo AHML. Essi sono congruenti in quanto hanno la stessa altezza (le rette passanti per LF e per MG sono parallele, e al loro interno sono disegnati il parallelo-gramma e il rettangolo) e anche la stessa base, infatti abbiamo che AF = AL. Quindi in definitiva abbiamo che il quadrato ABED, il parallelogramma ABGF e il rettangolo AHML sono equivalenti, dimostrando così il primo teorema di Euclide.
4.2 Teorema di Pitagora
Una volta dimostrato il primo teorema di Euclide, dimostrare il teorema di Pitagora è molto semplice.
TEOREMA: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
In altre parole, indicando con a l’ipotenusa, con b e c i cateti di un triangolo rettangolo possiamo scrivere:
a2= b2+ c2
Per la dimostrazione fare riferimento alla Figura 8. DIMOSTRAZIONE: La dimostrazione è molto semplice usando il primo teorema di Euclide. Il quadrato costrui-to sull’ipotenusa è dacostrui-to dalla somma dei rettangoli Λ e Θ. Tuttavia Λ è equivalente al quadrato Γ , per il primo teorema di Euclide. Stessa cosa si può dire di Σ e Θ. Quindi alla fine abbiamo che Γ = Λ e Σ = Θ. Il quadrato costruito sull’ipotenusa è quindi uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Il teorema di Pitagora, come sappiamo, ha un sacco di applicazioni. La sua formulazione più conosciuta è la seguente:
a =pb2+ c2
Dove per l’appunto a è l’ipotenusa mentre b e c sono i cateti.
Figura 8:Teorema di Pitagora.
4.3 Secondo Teorema di Euclide
La dimostrazione del secondo teorema di Euclide è un pò più farraginosa e non aggiunge novità particolari, quindi ci limiteremo a citarlo.
TEOREMA: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equi-valente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Figura 9:Secondo Teorema di Euclide
Tutta sta manfrina per dire, in equazione, la seguente cosa (fare riferimento alla Figura 9):
BH2= AH · HC
In questa formulazione il secondo teorema di Euclide è molto utile in quanto permette di calcolare le proiezioni dei cateti sapendo l’altezza e viceversa.
4.4 Riassuntone sui teoremi di Euclide e Pitagora
Facciamo sempre riferimento alla Figura 9. Possiamo scrivere in formule i tre teoremi finora fatti. Questa formulazione sotto forma di equazione è forse quella più utile.
1oEuclide −→ AB2= AC · AH 2oEuclide −→ HB2= AH · CH
P itagora −→ AC2= AB2+ BC2
Qualche consiglio per risolvere al meglio gli esercizi.
• Disegnare il più precisamente possibile, quindi usa-re compassi, squadusa-re, righelli. Un disegno ben fatto implica già metà della dimostrazione fatta. Inol-tre non lesinate sulla grandezza del disegno: fatelo grande anche quanto una pagina, se necessario! • Stare attenti alle misure. Se vi si chiede di
dise-gnare un segmento congruente ad un altro, fate in modo che sia davvero congruente. Misurate la sua lunghezza con i quadretti o con un righello; • Disegnate la situazione più generale possibile, per
evitare di cadere in qualche situazione particolare dove è verificata una certa proprietà che non è più verificata nel caso generale. Se per esempio vi si chiede di disegnare un rettangolo non disegnate un
quadrato, per quanto sia comunque un rettangolo.
Se vi si chiede di tracciare una corda di una circon-ferenza, non tracciate un diametro, che comunque è una corda molto particolare. Se vi si chiede di trac-ciare un triangolo, non disegnate un perfettissimo triangolo equilatero!
• Se vi bloccate, provate a girare sottosopra il dise-gno. Inclinatelo, ruotatelo, insomma fate quel che volete per cambiare punto di vista. E’ probabile che vi siate bloccati perché non visualizzate una cosa che magari è proprio sotto il vostro naso, ma è al contrario.
