Il Triangolo Il Triangolo

(1)

Il Triangolo

(2)

Definizione

(3)

Caratteristiche Caratteristiche

In un triangolo In un triangolo

possiamo possiamo

individuare:

1.1. Tre vertici (A; B;C)Tre vertici (A; B;C) 2.2. Tre lati (a; b; c)Tre lati (a; b; c)

3.3. Tre angoli (Tre angoli (αα; ; ββ; ; γγ))

Un triangolo è una figura rigida

indeformabile per questo trova applicazione in molte strutture architettoniche

(4)

Somma degli angoli interni di un triangolo Somma degli angoli interni di un triangolo

Consideriamo il seguente triangolo Consideriamo il seguente triangolo

Tracciamo la retta passante per Tracciamo la retta passante per

CB e la sua parallela passante per CB e la sua parallela passante per AA

A questo punto noi abbiamo due A questo punto noi abbiamo due

rette parallele tagliate da due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del trasversali che sono i lati del

triangolo triangolo

Gli angoli α e ₁ sono uguali

perché alterni

interni rispetto alla trasversale c

(5)

Gli angoli

Gli angoli  e e ₁₁ sono uguali per lo sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni stesso motivo perché alterni interni

rispetto alla trasversale b rispetto alla trasversale b

Adesso si vede chiaramente come Adesso si vede chiaramente come

la somma degli angoli interni del la somma degli angoli interni del

triangolo

triangolo , , , ,  sia uguale alla sia uguale alla somma degli angoli

somma degli angoli 1, 1, 1 e 1 e   perché:

perché:

1 = 1 = ; ; 1 = 1 =  e  e  è in comune è in comune

con

Come si vede chiaramente dalla

(6)

La so mm a d eg li a ng oli int ern i

di un tri an go lo

va le se mp re 18 0°

(7)

Angoli esterni di un triangolo Angoli esterni di un triangolo

Si definisce angolo esterno di un Si definisce angolo esterno di un

triangolo l’angolo formato dal triangolo l’angolo formato dal

prolungamento del lato precedente prolungamento del lato precedente

e il lato successivo di un poligono e il lato successivo di un poligono

La somma degli angoli esterni di un triangolo vale

sempre 360°

(8)

Angoli adiacenti Angoli adiacenti

Si dicono adiacenti due angoli consecutivi Si dicono adiacenti due angoli consecutivi

e i cui lati non comuni giacciono sulla e i cui lati non comuni giacciono sulla

stessa retta stessa retta

(9)

Considerila seguenfigura amo te

Le coppie angoli interni ed esterni di un triangolo che fanno capo ad uno stesso

vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti

(10)

Lati e angoli Lati e angoli

Consideriamo un vertice di un Consideriamo un vertice di un

triangolo e un lato che non passi per triangolo e un lato che non passi per

quel vertice quel vertice

Un lato si dice opposto al Un lato si dice opposto al

vertice A (o all’angolo

vertice A (o all’angolo αα) se ) se non passa per A

non passa per A

Consideriamo il lato b,

Consideriamo il lato b, esso è un esso è un lato comune ai due angoli

lato comune ai due angoli  e  e  

Due angoli di un triangolo Due angoli di un triangolo

che hanno un lato in che hanno un lato in

comune si dicono adiacenti comune si dicono adiacenti

(11)

Criterio di esistenza di un triangolo Criterio di esistenza di un triangolo

Consideriamo tre segmenti Consideriamo tre segmenti

È sempre possibile costruire un È sempre possibile costruire un

triangolo?

In teoria sembrerebbe di si perché In teoria sembrerebbe di si perché

posso metterli uno dietro l’altro posso metterli uno dietro l’altro Ma il giochetto riesce sempre?

Ma il giochetto riesce sempre?

Consideriamo altri tre segmenti Consideriamo altri tre segmenti

Ripetiamo l’operazione Ripetiamo l’operazione

Come si vede non posso costruire Come si vede non posso costruire un triangolo, uno dei due segmenti un triangolo, uno dei due segmenti

è addirittura più grande della è addirittura più grande della

somma degli altri due somma degli altri due

(12)

In un triangolo un lato deve essere minore dedegli altri lla sommdue a

(13)

Classificazione in base ai lati Classificazione in base ai lati

In base ai lati classifichiamo In base ai lati classifichiamo

i triangoli in:

Triangoli

Triangoli scaleniscaleni se hanno se hanno tutti i lati disuguali

tutti i lati disuguali Triangoli

Triangoli isosceliisosceli se hanno se hanno due lati uguali

due lati uguali Triangoli

Triangoli equilateriequilateri se se hanno tutti i lati uguali hanno tutti i lati uguali

(14)

I triangoli isosceli I triangoli isosceli

Nei triangoli isosceli chiamiamo:

Lati

Lati obliquiobliqui i due lati uguali i due lati uguali BaseBase il terzo lato il terzo lato

Angoli alla base

Angoli alla base i due angoli i due angoli adiacenti alla base

adiacenti alla base Angolo al vertice

Angolo al vertice l’angolo l’angolo opposto alla base

opposto alla base

(15)

Triangolo equilatero Triangolo equilatero

Il triangolo rettangolo Il triangolo rettangolo

ha tutti i lati e gli angoli ha tutti i lati e gli angoli

uguali uguali

Se la somma dei 3 Se la somma dei 3

angoli interni è di 180° il angoli interni è di 180° il

valore di tali angoli valore di tali angoli

sarà:

180° : 3 = 60°

(16)

Classificazione in base agli angoli Classificazione in base agli angoli

In base agli angoli In base agli angoli

possiamo suddividere i possiamo suddividere i

triangoli in:

triangoli in: triangoli triangoli acutangoli

acutangoli se hanno se hanno tutti

tutti gli angoli acuti gli angoli acuti Triangoli rettangoli

Triangoli rettangoli se se hanno

hanno unun angolo retto angolo retto Triangoli ottusangoli

Triangoli ottusangoli se se hanno

hanno unun angolo ottuso angolo ottuso

(17)

Altezza di un triangolo Altezza di un triangolo

Consideriamo un triangolo Consideriamo un triangolo

Tracciamo la perpendicolare Tracciamo la perpendicolare

al lato BC passante per A al lato BC passante per A

Sia H la proiezione di A su AC Sia H la proiezione di A su AC

Si definisce

Si definisce altezza di un altezza di un

triangolo relativa ad un lato il triangolo relativa ad un lato il

segmento perpendicolare che segmento perpendicolare che

partendo dal vertice opposto partendo dal vertice opposto

arriva sul lato medesimo arriva sul lato medesimo

Cioè la distanza di

Cioè la distanza di AA dal lato dal lato BCBC

(18)

Quante altezze?????

Nella definizione precedente c’è una Nella definizione precedente c’è una

piccolissima parola che ci deve far piccolissima parola che ci deve far

riflettere!

r r e e l l a a t t i i v v a a ! !

Esiste un’altezza assoluta in un triangolo?

Certamente no, ogni altezza deve essere Certamente no, ogni altezza deve essere

riferita ad un lato!

Ma quanti sono i lati?

33

Allora

Allora in un triangolo ci sono tre altezzein un triangolo ci sono tre altezze

(19)

Non ci resta che vederle!

Sorpresa …. Sorpresa ….

Passano tutte per uno Passano tutte per uno

stesso punto stesso punto!!

Questo ci permette di dire Questo ci permette di dire

che quello sarà certamente che quello sarà certamente

un punto

un punto notevolenotevole del del triangolo

triangolo

Se questo è vero esso non Se questo è vero esso non merita solo un simbolo per merita solo un simbolo per

indicarlo indicarlo

Ma anche nome e Ma anche nome e

definizione

(20)

Ortocentro Ortocentro

ortocentro (dal greco ", retto, più , centro … paura!

Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze

Qui l’ortocentro è dentro il triangolo ma è sempre così?

Vediamo se è vero!

(21)

Vediamo cosa succede all’ortocentro se Vediamo cosa succede all’ortocentro se

modifico il triangolo modifico il triangolo

L’angolo in B sta aumentando e si osserva che l’ortocentro si sposta verso questo angolo

Quando il triangolo diventa rettangolo ortocentro e vertice B coincidonoQuando il triangolo diventa ottusangolo l’ortocentro va fuori e non si trova più nel punto di incontro delle tre altezze ma dove si incontrano i loro prolungamenti!

(22)

Nuova definizione di altezza Nuova definizione di altezza

Si definisce

Si definisce altezza di un triangolo altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento

relativa ad un lato il segmento

perpendicolare che partendo dal perpendicolare che partendo dal

vertice opposto arriva sul lato vertice opposto arriva sul lato

medesimo o sul suo prolungamento medesimo o sul suo prolungamento

(23)

Nuova definizione di ortocentro Nuova definizione di ortocentro

Si definisce ortocentro il punto di

incontro delle tre altezze o dei loro prolungamenti

Altezze del triangolo ABC

Per trovare l’ortocentro occorre prolungare le altezza

(24)

Riassunto Riassunto

In un triangolo acutangolo l’ortocentro è interno

In un triangolo rettangolo l’ortocentro coincide col

vertice opposto all’ipotenusa

In un triangolo rettangolo

l’ortocentro è esterno al triangolo

(25)

Mediana Mediana

Dal latino

Dal latino medianus, ciò che sta nel mezzo Si definisce mediana il segmento che unisce il vertice opposto di un lato col suo punto

medio

Anche in questo caso il triangolo ha tre

mediane

(26)

Un nuovo punto notevole Un nuovo punto notevole

Si può facilmente vedere Si può facilmente vedere

che ……

Le tre mediane si Le tre mediane si

incontrano in un punto che incontrano in un punto che

sarà ancora una volta un sarà ancora una volta un

nuovo punto notevole nuovo punto notevole

(27)

Baricentro Baricentro

Dal greco Dal greco

pesante ecentro

letteralmente centro dei pesi

Sidefinisce baricentro il punto di incontro

delle tre mediane

È il punto di equilibrio del triangolo

(28)

Bisettrice Bisettrice

O A A’₁

Consideriamo l’angolo AOA’₁

Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà

Tale retta prende il nome di bisettrice

A’

Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide

l’angolo in due parti uguali

bisettrice

(29)

Bisettrici di un triangolo Bisettrici di un triangolo

Un triangolo avendo tre Un triangolo avendo tre

angoli avrà anche tre angoli avrà anche tre

bisettrici bisettrici

Come si vede anche Come si vede anche

queste si incontrano in un queste si incontrano in un

unico punto che sarà il unico punto che sarà il

terzo punto notevole del terzo punto notevole del

triangolo triangolo

(30)

Incentro Incentro

Si definisce Si definisce

incentro il incentro il

punto di punto di

incontro delle incontro delle

bisettrici di un bisettrici di un

triangolo

(31)

Proprietà dell’incentro Proprietà dell’incentro

L’incentro gode di L’incentro gode di

un’importante un’importante

proprietà:

proprietà: è è

equidistante dai lati equidistante dai lati

Tale distanza coincide Tale distanza coincide

con il raggio di una con il raggio di una

circonferenza circonferenza

tangente a tutti i lati tangente a tutti i lati

del poligono

del poligono Dimostreremo questo quando faremo i criteri di congruenza dei triangoli

(32)

Secanti e tangenti Secanti e tangenti

Una retta si dice Una retta si dice

secante

secante se interseca se interseca una curva in due o più una curva in due o più

punti punti

Una retta si dice Una retta si dice

tangente

tangente ad una curva ad una curva se ha un solo punto di se ha un solo punto di

contatto

contatto (da (da tangere tangere toccare

toccare) ) con la curvacon la curva ((o meglio la tocca in o meglio la tocca in

(33)

Asse di un segmento Asse di un segmento

Consideriamo il segmento AB Consideriamo il segmento AB

e sia M il suo punto medio e sia M il suo punto medio

Quali saranno le caratteristiche Quali saranno le caratteristiche

di M?

Consideriamo ora la Consideriamo ora la

perpendicolare ad AB passante perpendicolare ad AB passante

per M per M

Chiamiamo questa Chiamiamo questa

perpendicolare

perpendicolare asse del asse del segmento

segmento

L’asse di un segmento è il luogo

geometrico dei punti equidistanti dai suoi

(34)

Assi di un triangolo Assi di un triangolo

Solita storia: abbiamo tre Solita storia: abbiamo tre

lati e quindi tre assi!

Ancora una volta un Ancora una volta un

punto notevole; i tre assi punto notevole; i tre assi si incontrano in un punto si incontrano in un punto

che merita nome e che merita nome e

definizione definizione

(35)

Il circocentro Il circocentro

Dal latino

Dal latino circumcircum

(circolo) e dal greco (circolo) e dal greco



 (centro) (centro) Si definisce

Si definisce circocentro circocentro il punto di incontro dei il punto di incontro dei tre assi di un triangolo tre assi di un triangolo Il nome deriva da una Il nome deriva da una

proprietà facilmente proprietà facilmente

ricavabile se si ricorda ricavabile se si ricorda

il significato di asse il significato di asse

(36)

Proprietà del circocentro Proprietà del circocentro

Consideriamo l’asse del lato CB, Consideriamo l’asse del lato CB,

per definizione il punto O per definizione il punto O (appartenente all’asse) è (appartenente all’asse) è equidistante da C e da B equidistante da C e da B

OB = OC OB = OC

Prendiamo l’asse del lato AC, Prendiamo l’asse del lato AC,

ancora una volta O è ancora una volta O è

equidistante da A e da C equidistante da A e da C

OC = OA OC = OA

A questo punto si ha che:

OB=OC=OA OB=OC=OA

Il circocentro è equidistante di Il circocentro è equidistante di

(37)

Il centro del circolo ….

È ora chiaro che il È ora chiaro che il

circocentro è il centro circocentro è il centro

cella circonferenza cella circonferenza

che passa per i vertici che passa per i vertici

del triangolo del triangolo

Da cui ….

Da cui …. Qualsiasi Qualsiasi triangolo può essere triangolo può essere

inscritto in una inscritto in una

circonferenza circonferenza

(38)

Tipi di triangolo e posizione del Tipi di triangolo e posizione del

circocentro circocentro

Nel triangolo acutangolo il circocentro è interno al

poligono Nel triangolo rettangolo il

circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa Nel triangolo ottusangolo il

circocentro è esterno al

(39)

Criteri di congruenza dei Criteri di congruenza dei

triangoli triangoli

In geometria si parla di congruenza In geometria si parla di congruenza

quando due cose sono uguali quando due cose sono uguali

I criteri sono delle modalità che ci I criteri sono delle modalità che ci

permettono di dire quando due cose permettono di dire quando due cose

sono uguali senza doverle confrontare sono uguali senza doverle confrontare

e si risparmia tempo e si risparmia tempo

(40)

Primo criterio di congruenza Primo criterio di congruenza

Consideriamo due triangoli Consideriamo due triangoli che hanno due lati uguali e che hanno due lati uguali e

l’angolo fra essi compreso l’angolo fra essi compreso

uguale uguale

Con un movimento rigido Con un movimento rigido

facciamo coincidere le due facciamo coincidere le due

figure figure

Vediamo che si Vediamo che si

sovrappongono esattamente sovrappongono esattamente

Perciò i due triangoli sono Perciò i due triangoli sono uguali

A

B

C



A’

B’

C’

’

Due triangoli sono uguali

se hanno uguale due lati

e l’angolo fra

essi compreso

(41)

Secondo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza

Consideriamo due Consideriamo due

triangoli che hanno un triangoli che hanno un

lato uguale e uguale i lato uguale e uguale i

due angoli ad esso due angoli ad esso

adiacenti adiacenti

Siccome noi sappiamo Siccome noi sappiamo

che la somme degli che la somme degli

angoli interni di un angoli interni di un

triangolo è 180° l’altro triangolo è 180° l’altro

angolo sarà angolo sarà

necessariamente uguale necessariamente uguale

Perciò i due triangoli Perciò i due triangoli

2 triangoli sono uguali sa hanno uguale un lato e gli angoli ad esso adiacenti

(42)

Terzo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza

Consideriamo due Consideriamo due

triangoli che hanno triangoli che hanno

tre lati uguali tre lati uguali

Siccome il triangolo Siccome il triangolo

è una struttura è una struttura

indeformabile i due indeformabile i due

triangoli saranno triangoli saranno necessariamente necessariamente

uguali uguali

Si vede facilmente Si vede facilmente

A

B

C

A’

Due triangoli sono B’

uguali se hanno tutti e tre i lati congruenti

(43)

Considerazione sul triangolo Considerazione sul triangolo

isoscele isoscele

Consideriamo il seguente triangolo isoscele Consideriamo il seguente triangolo isoscele

Gli angoli alla base saranno uguali e così i lati Gli angoli alla base saranno uguali e così i lati

AC e BC AC e BC

Tracciamo l’altezza Tracciamo l’altezza

I triangoli CDB e CAD saranno uguali perché I triangoli CDB e CAD saranno uguali perché

Il lato AD è in comune Il lato AD è in comune

I lati AC e CB sono uguali perché lati del I lati AC e CB sono uguali perché lati del

triangolo isoscele triangolo isoscele

Essendo l’angolo ADC = all’angolo CDB perché Essendo l’angolo ADC = all’angolo CDB perché

retti per definizione di altezza si ha che retti per definizione di altezza si ha che

 = =  = 180° – 90° – 66,8° = 180° – 90° – 66,8°

Perciò per il primo criterio di congruenza i Perciò per il primo criterio di congruenza i

triangoli CDB e CAD sono uguali triangoli CDB e CAD sono uguali

Questo risultato è pieno di conseguenze infatti:

(44)

Proprietà del triangolo isoscele Proprietà del triangolo isoscele

Se i triangoli ACD e CDB Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e DB cioè D è il punto medio e l’altezza è anche mediana l’altezza è anche mediana

L’altezza è la perpendicolare L’altezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo medio perciò sta sul suo asseasse

Se i triangoli ACD e BCD Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali sono uguali saranno uguali anche

anche  e  e  perciò l’altezza è  perciò l’altezza è anche bisettrice dell’angolo anche bisettrice dell’angolo in Cin C

In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base

è anche asse, mediana e bisettrice

(45)

Se tracciamo le altezze Se tracciamo le altezze

troviamo l’

troviamo l’ortocentroortocentro Se tracciamo gli assi Se tracciamo gli assi

troviamo il

troviamo il circocentrocircocentro

Se tracciamo le mediane Se tracciamo le mediane

troviamo il

troviamo il baricentrobaricentro

Se tracciamo le bisettrici Se tracciamo le bisettrici

troviamo l’

troviamo l’incentroincentro Come ci potevamo Come ci potevamo

aspettare …..

In u n tr ian gol o is osc ele tut ti i pun ti n ote vol i

cad ono su ll’a ltez za

rela tiva all a b ase

(46)

… … .. e se il triangolo è equilatero .. e se il triangolo è equilatero

A voi la parola ………

In che cosa assomiglia In che cosa assomiglia

al triangolo isoscele?

Come saranno le tre Come saranno le tre altezze relative ai lati altezze relative ai lati Vale per ciascuna di Vale per ciascuna di

loro ciò che si detto loro ciò che si detto

per l’altezza del per l’altezza del

triangolo isoscele?

O Ξ B Ξ C Ξ I

(47)

… … .. e sul triangolo rettangolo? .. e sul triangolo rettangolo?

Consideriamo la seguente Consideriamo la seguente figura e fissiamo la nostra figura e fissiamo la nostra attenzione sul triangolo A attenzione sul triangolo A MM₁₁BB

L’asse del segmento AB L’asse del segmento AB

contiene l’altezza del contiene l’altezza del

triangolo triangolo

Il triangolo A M

Il triangolo A M₁₁B è isosceleB è isoscele AMAM₁₁ = M = M₁₁BB

Ma se M

Ma se M₁₁ è il punto medio è il punto medio dell’ipotenusa allora si avrà dell’ipotenusa allora si avrà

In u n tr ian gol o re ttan gol o la me dia na rela tiva all ’ipo ten usa è c ong rue nte

alla me tà d ell’ ipo ten usa ste ssa

(48)

Triangolo rettangolo particolare Triangolo rettangolo particolare

… … è possibile dire che questo triangolo è la è possibile dire che questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero?

metà di un triangolo equilatero?

Provate a riflettere:

Quanto vale l’angolo in C?

Quanto valgono gli angoli interni in un triangolo

equilatero?

Se raddoppio l’angolo di 30° cosa ottengo?

E all’ora ………..

(49)

Questa è tosta!!!!

Sapresti dimostrare che IL = IK = IH?

Pensa al quadrilatero ALIH e al ruolo che ha la Pensa al quadrilatero ALIH e al ruolo che ha la

bisettrice dell’angolo alfa bisettrice dell’angolo alfa

Quanto vale l’angolo in H?

Quanto vale l’angolo in L?

Se considero gli angoli AÎL e HÎL come sono?

Perché?

E allora...

(50)

Uguali perché sono retti sono retti

Uguali perché angoli generati dalla bisettrice dell’angolo  η₁ = η₂ = 180° - 90°- ζ₁ (ζ₂ è la stessa cosa perché sono

uguali) perché la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°

Il lato AI è in comune ai due triangoli

Per il secondo criterio di uguaglianza (lato uguale e gli

(51)

Ragionamento analogo Ragionamento analogo

può essere fatto può essere fatto

anche per i anche per i

quadrilateri LCKI e quadrilateri LCKI e

ABHI perciò ABHI perciò

abbiamo dimostrato abbiamo dimostrato che che

Il punto I (incentro) è equidistante

dai lati del triangolo

(52)

Come sarà un triangolo Come sarà un triangolo

rettangolo con un angolo di 45°

(53)

Perimetro Perimetro

Consideriamo il seguente poligono Consideriamo il seguente poligono

I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono

Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già

come si fa altrimenti slide successiva) come si fa altrimenti slide successiva)

La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è detta La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è detta

perimetro del poligono perimetro del poligono

Di definisce perimetro di un poligono e si indica Di definisce perimetro di un poligono e si indica

con 2P la misura del contorno del poligono con 2P la misura del contorno del poligono

(54)

Perimetro di un triangolo Perimetro di un triangolo

Se consideriamo un Se consideriamo un triangolo qualsiasi si triangolo qualsiasi si

ha che

ha che 2P = a + b + c2P = a + b + c Se consideriamo un Se consideriamo un triangolo isoscele si triangolo isoscele si

ha che

ha che 2P = b + 2 x l2P = b + 2 x l_o_o

(55)

In un triangolo In un triangolo

rettangolo il perimetro è rettangolo il perimetro è

dato da

dato da 2P= c2P= c₁₁ + c + c₂₂ + i + i

In un triangolo

equilatero il perimetro è dato da: 2p = 3 x l

Interessante la versione sullo stesso arg omento della professoressa Amelia