Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile& Ambientale
Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 2 Settembre 2016
Nome e Cognome: ………..…………. No. di matricola: …….…....……CFU………
Problema n.1 (10 punti)
Un cilindro pieno molto più lungo del suo raggio ! = 10 !", costituito di materiale isolante ha una densità volumetrica di carica elettrica che dipende dal distanza ! dall’asse centrale del cilindro come !(!) = !! 1 −!! .
a) Scrivere l’espressione del campo elettrico in funzione di ! (punti 3). b) Per quale valore di ! il campo elettrico è massimo (punti 2)?
c) Calcolare il massimo valore di !!affinché l’intensità del campo elettrico non superi in nessun punto dello spazio il valore !!"! = 10! !
! (punti 2);
d) trovare il rapporto tra intensità del campo elettrico in !/2 e 2! (punti 1);
e) fissato il valore di !! ottenuto nel punto c), determinare la differenza di potenziale elettrico tra una posizione sull’asse del cilindro e un punto a distanza 100! (punti 2).
Problema n. 2 (10 punti)
Un filo conduttore di rame (Cu, di resistività ! = 1.7 ∙ 10!! Ω !) di lunghezza ! = 100 !, ha la
forma di un tronco di cono, che inizia con una sezione di raggio ! = 2 !! che linearmente varia fino all’altro capo del filo dove la sezione ha raggio ! = 4 !!. Se il filo è percorso da una corrente ! = 10 !, determinare:
a) i valori massimo e minimo del campo elettrico all’interno del conduttore (punti 3); b) la resistenza del conduttore (punti 3);
c) la differenza di potenziali ai capi del conduttore (punti 2); d) la potenza dissipata sul conduttore (punti 2).
Problema n. 3(10 punti)
Una piccola spira circolare di raggio a, resistenza R e induttanza trascurabile si trova all’interno di un lungo solenoide avente n spire per unità di lunghezza. Il centro della spira giace sull’asse del solenoide, con il quale l’asse della spira forma un angolo θ.
Nel solenoide passa la corrente (lentamente) variabile nel tempo I(t) = I0t/τ .
a) Calcolare la corrente Isp indotta nella spira (punti 3);
b) calcolare il campo magnetico totale al centro della spira (punti 4);
c) calcolare il momento delle forze sulla spira (punti 3).
SOLUZIONI Problema 1
a) Considerando una porzione di cilindro lunga ℎ, si può applicare la legge di Gauss per determinare il campo elettrico. !(!) è sempre perpendicolare a una superficie cilindrica coassiale alla distribuzione di carica e di raggio !. Se 0 < ! < ! si ottiene ! ! =!!!
!! !
!−
! !! ,
mentre ! ≥ ! si ha ! ! =!!!!
!!!!. Per calcolare la carica contenuta nella superficie gaussiana
occorre integrare opportunamente su elementini di volume (cilindri cavi coassiali) di raggio interno ! spessore !" , quindi di volume 2!"ℎ!" , e contenenti una carica infinitesima 2!"ℎ!(!)!".
b) Il valore massimo del campo elettrico si ha per ! =!!
! = 75 !", cioè dove !"(!)
!" = 0.
c) Deve essere ! !!! ≤ !!"#, quindi !! =!"!!!!"#
!! = 4.72 ∙ 10!! !/!!
d) ! !! = !!"
!!! e ! 2! = !!!
!"!!, il loro rapporto è 2.
e) ∆! 100!, 0 = !""!! ! ! ∙ !" =!!!! !! !!! !"# !"" !" = 4.83 ∙ 10! ! Problema 2
a) Il campo elettrico nel filo è ! = ! ∙ !, dove ! è la densità di corrente che vale ! =!!!!, ! è il raggio della sezione di conduttore. Quindi !!"# = !
!!! = 0.0135 !/! , e !!"# = ! !!! =
0.0034 !/!
b) La sezione del filo ! cambia, in funzione della distanza ! dal capo di sezione !, secondo ! = ! +!!!! !, per 0 ≤ ! ≤ !. La resistenza del filo si ottiene sommando (integrando) i singoli, piccoli, cilindri di spessore !", ognuno di resistenza !" = !!!!"! in cui si scompone il filo:
! = ! !" ! ! + ! − !! ! ! ! ! = !" !"#= 0.0674 Ω
c) la differenza di potenziale ai capi del filo è ∆! = !" = 0.674 ! d) la potenza dissipata sul filo ! = ∆!" = 6.74 !
Problema 3
a) Il campo generato dal solenoide al suo interno vale B = μ0nI(t)= μ0nI0t/τ. Il flusso attraverso
la spira vale φ = πa2B cos θ, la forza elettromotrice indotta e la corrente circolante nella spira
sono quindi:
∈= −!"!" = −!!!!!!!!!cos ! !!" =
∈ !
b) Al centro della spira la corrente indotta genera un campo Bsp che in modulo vale:
!!" =!!!!"
2! =
!"!!!!
!! cos !
2!"#
che, dovendo opporsi alla variazione di flusso per la legge di Lenz, forma un angolo π − θ con il campo generato dal solenoide.
Il campo magnetico totale al centro della spira ha una componente lungo z ed una lungo x:
Bx = -‐Bsp sinθ Bz = µ0nI -‐ Bsp cosθ
c) Il momento M che agisce sulla spira vale M = μ × B, dove μ = Ispπa2 è il momento magnetico
della spira, perpendicolare al piano della spira. Quindi: ! = !!"!!!! !!!!!!sin ! = ! !!!! ! !!!! !!!"# !!"#(!!!) !!! !
