UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione IV appello di Fisica Generale 2 – 2 Settembre 2020

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione IV appello di Fisica Generale 2 – 2 Settembre 2020

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Una sfera metallica piena di raggio 𝑅

= 2 cm è circondata da un’altra sfera metallica cava di raggio interno

𝑅

= 3 cm e raggio esterno 𝑅

= 4 cm. Le sfere sono concentriche e lo spazio fra le sfere è riempito di un materiale dieletttrico

di costante dielettrica relativa al vuoto 𝜀

= 6. Da grande distanza si porta sulla sfera interna la carica 𝑞

= −6 nC. Calcolare:

1) il potenziale (rispetto ad infinito) della sfera interna 𝑉

2) il lavoro fatto per portare la carica sulla sfera W

3) l’energia cinetica (in eV) che deve possedere una carica 𝑞

= 2 pC per orbitare

attorno alle sfere a distanza d = 8 cm dal loro centro comune 𝐸

1) La carica 𝑞

portata sulla sfera interna induce la carica −𝑞

sulla superficie interna dalla seconda sfera e la carica 𝑞

su quella esterna. Si stabiliscono pertando nello spazio tre regioni di campo elettrostatico

𝐸2⃗

= 𝑞

4𝜋𝜀

𝑟

𝑢2⃗

𝑟 > 𝑅

𝐸2⃗

= 0 𝑅

> 𝑟 > 𝑅

𝐸2⃗

= 𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

𝑟

𝑢2⃗

𝑅

> 𝑟 > 𝑅

pertanto la differenza di potenziale della sfera interna rispetto ad infinito (𝑉

= 0) è data da 𝑉

= − ; 𝐸2⃗

∙

(_!

'

𝑑𝑟 2222⃗ − ; 𝐸2⃗

∙

(_"

(_#

𝑑𝑟 2222⃗ = 𝑞

4𝜋𝜀

𝑅

+ 𝑞

4𝜋𝜀

𝜀

? 1

𝑅

− 1

𝑅

A = −1.5 kV

2) Il lavoro è pari all’energia elettrostatica finale del sistema che risulta composta da un condensatore sferico e da una sfera carica, per cui

𝑊 = 𝛥𝑈 = 𝑞

8𝜋𝜀

𝑅

+ 𝑞

8𝜋𝜀

𝜀

? 1

𝑅

− 1

𝑅

A = 4.49 × 10

J

3) La carica deve muoversi con moto circolare uniforme su un’orbita in cui il modulo del campo elettrostatico vale 𝐸 = M 𝑞

4𝜋𝜀

𝑑

M per cui

𝐹 = 𝑞

𝐸 = 𝑞

|𝑞

|

4𝜋𝜀

𝑑

= 𝑚 𝑣

𝑑 ⟹ 𝐸

= 1

2 𝑚𝑣

= 𝑞

|𝑞

|

8𝜋𝜀

𝑑

Ovvero, dovendola calcolare in eV

𝐸

= 1 𝑒

𝑞

|𝑞

|

8𝜋𝜀

𝑑 = 4.21 GeV

R

R

R

q

₂

q ₁

d

v

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Problema 2

Un circuito rettangolare con un lato mobile giace complanare con un filo indefinito percorso dalla corrente stazionaria costante i. Il lato fisso del circuito è parallelo al filo e a distanza a da esso. La distanza fra i binari su cui può scorrere il lato mobile è h = 10 cm e inizialmente anche la distanza fra lato mobile e lato fisso è pari ad a. In questa situazione il flusso del campo magnetico attraverso il circuito è 𝛷

= 8 × 10

Tm

.

a) Quanta corrente i scorre nel filo?

Il lato mobile viene messo in moto applicando una forza orizzontale tale per cui la forza elettromotrice indotta nel circuito è ℇ

= 30 mV costante.

b) Dopo quanto tempo t i lati saranno distanti b = 2a?

c) Quanto vale la carica q fluita nel circuito durante lo spostamento, sapendo che nel circuito è incluso un resistore di resistenza R = 20 W, per cui la resistenza dei fili è trascurabile?

a) Il flusso del campo magnetico attraverso un elemento d’area del circuito è 𝑑Φ

= 𝐵𝑑𝐴 = 𝜇

𝑖

2𝜋𝑟 ℎ𝑑𝑟 per cui il flusso attraverso tutto il circuito è

Φ

= ; 𝜇

𝑖ℎ

2𝜋𝑟 𝑑𝑟

".

.

= 𝜇

𝑖ℎ

2𝜋 ln2 e quindi la corrente che scorre sul filo è

𝑖 = 2𝜋Φ

𝜇

ℎ ln2 = 5.77 A

b) La forza elettromotrice indotta è

ℇ

= 𝑑Φ

𝑑𝑡 = 𝜇

𝑖ℎ

2𝜋𝑟 𝑑𝑟

dove dr/dt =v è la velocità, che quindi risulta funzione della distanza dal filo. Separando le variabili 𝑑𝑡

2𝜋ℇ

𝑑𝑡 = 𝜇

𝑖ℎ

𝑟 𝑑𝑟 e integrando fra istante/posizione iniziale e istante/posizione finale

; 2𝜋ℇ

𝑑𝑡

/

&

= ; 𝜇

𝑖ℎ

𝑟 𝑑𝑟

#.

".

si ottiene

𝑡 = 𝜇

𝑖ℎ

2𝜋ℇ

ln 3

2 = 1.56 µs c) Applicando la legge di Felici la carica fluita è

𝑞 = Φ

− Φ

𝑅 = 𝜇

𝑖ℎ

2𝜋𝑅 (ln3 − ln2) = 2.34 × 10

C oppure

𝑞 = 𝑖𝑡 = ℇ

𝑅 𝑡 = 2.34 × 10

C

i R v

a

b

h

a

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Problema 3

Due sorgenti, sincrone, monocromatiche di lunghezza d’onda l = 600 nm, emettono due sottili fasci luminosi, della stessa intensità 𝐼

= 100 mW, che si propagano in aria in direzioni ortogonali fra loro. I fasci si incrociano nel punto O dopo avere percorso la stessa distanza d, ma sul cammino del primo fascio è interposta una lastra di materiale trasparente di spessore t = 400 nm. Sapendo che il primo fascio incide normalmente sulla lastra e che in O si osserva un minimo d’interferenza, determinare:

1) il minimo indice di rifrazione della lastra n

2) l'intensità della luce in O I

3) il modulo del campo magnetico in O B

1) La lastra introduce un ritardo sul cammino del primo fascio che produce in O lo sfasamento 𝛿 = 2𝜋

𝜆 (𝑛𝑡 − 𝑡)

che deve essere almeno pari a p per avere un minimo d’interferenza per cui 𝛿 = 2𝜋

𝜆 (𝑛𝑡 − 𝑡) = 𝜋 ⟹ 𝑛 = 𝜆

2𝑡 + 1 = 1.75

2) Nel passaggio attraverso la lastra il primo fascio attraversa due interfacce materiale-aria ciascuna della quali trasmette la frazione

𝑇 = 4𝑛

(𝑛 + 1)

= 0.9256

della potenza incidente, per cui, non essendoci correzioni geometriche, la luce trasmessa attraverso la lastra ha intensità

𝐼

= 𝑇

𝐼

= 85.7 𝑚𝑊

e in O, data l’interferenza distruttiva, l’intensità è pertanto

𝐼 = 𝐼

+ 𝐼

− 2k𝐼

𝐼

= 𝐼

+ 𝑇

𝐼

− 2k𝐼

𝑇

𝐼

= (1 + 𝑇

− 2𝑇)𝐼

= 0.554 𝑚𝑊 c) L’intensità della luce in O è

𝐼 = 1

2𝑍

𝐸

⟹ 𝐸 = k2𝑍

𝐼

per cui dalla relazione fra campo elettrico e campo magnetico si ricava 𝐵 = 𝐸 𝑐 ⁄ = 6.8 × 10

T

S ₁ O

S ₂

d

d

t