Materiale Analisi Politecnico

Equazioni e Disequazioni

Corso di accompagnamento in matematica

Sommario

1

_Equazioni

2

_Disequazioni

3

Tipi

lineari

quadratiche

razionali

con valore assoluto

irrazionali

Cos’è un’equazione

Gli

zeri

della funzione

f

, cioè gli

elementi in

dom f

in cui

f

assume

valore nullo, sono le soluzioni

dell’equazione

f

(

x

) =

0

.

Gli elementi del dominio per cui

f

assume un valore

k

_{∈ R}

sono le

soluzioni di

f

(

x

) =

k

.

Nel caso più generale un’equazione

si presenta come

f

(

x

) =

g

(

x

) .

x

f

(

x

)

x

f

(

x

)

k

x

f

(

x

)

g

(

x

)

Equazioni equivalenti

Definizione

Due equazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è

anche soluzione della seconda e, viceversa, ogni soluzione della

seconda è anche soluzione della prima

Proprietà

Un’equazione si trasforma in una equivalente

aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri una medesima

funzione definita su tutto

_R

;

moltiplicando o dividendo ambo i membri per una medesima

funzione definita su tutto

R

e diversa da zero.

Osservazione

Se si aggiunge (o moltiplica) ad ambo i membri una funzione

h

non definita

su tutto

R

è possibile che l’equazione ottenuta non sia equivalente.

Disequazioni

Determinare l’insieme di positività della

funzione

f

, cioè trovare il sottoinsieme del

dominio in cui

f

assume valori positivi,

significa risolvere la disequazione

f

(

x

) >

0

.

Analogamente, si possono determinare

gli insiemi in cui la funzione è

negativa

f

(x

) <

0

,

non negativa

f

(x

)

≥

0

,

o non positiva

f

(x

)

_≤

0

Nel caso più generale una

disequazione si presenta come

f

(

x

)

_≥

g

(

x

)

(oppure

_{≤, >, <}

)

.

x

f

(

x

)

x

f

(

x

)

x

f

(

x

)

g

(

x

)

Disequazioni equivalenti

Definizione

Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è

anche soluzione della seconda e, viceversa, ogni soluzione della seconda è

anche soluzione della prima

Proprietà

Sia data la disequazione

f

(

x

) <

g

(

x

)

e sia

h

(

x

)

una funzione definita

su tutto

R

(

dom h

= R

).

f

(

x

) <

g

(

x

)

è equivalente a

f

(

x

)

_±

h

(

x

) <

g

(

x

)

_±

h

(

x

)

;

se

h

(

x

)

>

0

_∀

x

_{∈ R}

,

f

(

x

)

<

g

(

x

)

è equivalente a



f

(

x

)

h

(

x

)

<

g

(

x

)

h

(

x

)

or

f

(

x

) /

h

(

x

)

<

g

(

x

) /

h

(

x

)

se

h

(

x

)

<

0

_∀

x

_{∈ R}

,

f

(

x

)

<

g

(

x

)

è equivalente a



f

(

x

)

h

(

x

)

>

g

(

x

)

h

(

x

)

or

f

(

x

) /

h

(

x

)

>

g

(

x

) /

h

(

x

)

Disequazioni equivalenti

Definizione

Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è

anche soluzione della seconda e, viceversa, ogni soluzione della seconda è

anche soluzione della prima

Proprietà

Sia data la disequazione

f

(

x

) <

g

(

x

)

e sia

h

(

x

)

una funzione definita

su tutto

R

(

dom h

= R

).

f

(

x

) <

g

(

x

)

è equivalente a

f

(

x

)

_±

h

(

x

) <

g

(

x

)

_±

h

(

x

)

;

se

h

(

x

)

>

0

_∀

x

_{∈ R}

,

f

(

x

)

<

g

(

x

)

è equivalente a



f

(

x

)

h

(

x

)

<

g

(

x

)

h

(

x

)

or

f

(

x

) /

h

(

x

)

<

g

(

x

) /

h

(

x

)

se

h

(

x

)

<

0

_∀

x

_{∈ R}

,

f

(

x

)

<

g

(

x

)

è equivalente a



f

(

x

)

h

(

x

)

>

g

(

x

)

h

(

x

)

or

f

(

x

) /

h

(

x

)

>

g

(

x

) /

h

(

x

)

Disequazioni equivalenti

Definizione

Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è

anche soluzione della seconda e, viceversa, ogni soluzione della seconda è

anche soluzione della prima

Proprietà

Sia data la disequazione

f

(

x

) <

g

(

x

)

e sia

h

(

x

)

una funzione definita

su tutto

R

(

dom h

= R

).

f

(

x

) <

g

(

x

)

è equivalente a

f

(

x

)

_±

h

(

x

) <

g

(

x

)

_±

h

(

x

)

;

se

h

(

x

)

>

0

_∀

x

_{∈ R}

,

f

(

x

)

<

g

(

x

)

è equivalente a



f

(

x

)

h

(

x

)

<

g

(

x

)

h

(

x

)

or

f

(

x

) /

h

(

x

)

<

g

(

x

) /

h

(

x

)

se

h

(

x

)

<

0

_∀

x

_{∈ R}

,

f

(

x

)

<

g

(

x

)

è equivalente a



f

(

x

)

h

(

x

)

>

g

(

x

)

h

(

x

)

or

f

(

x

) /

h

(

x

)

>

g

(

x

) /

h

(

x

)

Equazioni e disequazioni di I grado

Equazioni di I grado

ax

+

b

=

0

,

a,

b

_{∈ R}

soluzione

a

=

0

b

=

0

R

b

₆₌

0

_∅

a

₆₌

0

x

=

−

b

a

Disequazioni di I grado

ax

+

b

>

0

,

a,

b

_{∈ R}

soluzione

a

=

0

b

>

0

R

b

_≤

0

_∅

a

>

0

x

>

−

b

a

a

<

0

x

<

−

b

a

x

a

=

0

b

x

a

>

0

−

b

a

b

x

−

b

a

a

<

0

b

Equazioni e disequazioni di II grado

Consideriamo la parabola

ax

2

+

bx

+

c,

a,

b,

c

_{∈ R}

a

₆₌

0

.

Definiamo il discriminante

∆

∆ =

b

2

₋

4ac

.

Equazioni di II grado

ax

2

+

bx

+

c

=

0

∆ >

0

x

1/2

=

−

b

±

√

∆

2a

∆ =

0

x

=

−

b

2a

∆ <

0

_∅

Disequazioni di II grado

ax

2

+

bx

+

c

>

0

a

>

0

a

<

0

∆ >

0



_−∞,

−

b

−

_2a

√

∆



_∪



−

b

+

_2a

√

∆

, +

_∞





−

b

−

√

∆

2a

,

−

b

+

√

∆

2a



∆ =

0

R

\

−

b

2a

∅

∆ <

0

R

∅

Parabole

a

>

0

a

<

0

∆ >

0

∆ =

0

Equazioni e Disequazioni Fratte

Equazioni fratte

Data l’equazione fratta

f

(

x

)

g

(

x

)

=

0,

le soluzioni sono date dagli zeri del numeratore

f

(

x

)

che non siano anche zeri del denominatore

g

(

x

).

Disequazioni fratte

Per risolvere la disequazione fratta

f

(

x

)

g

(

x

)

≥

0,

si può studiare separatamente il segno del

numeratore

f

(

x

)

e quello del denominatore

g

(

x

). Il segno complessivo si ottiene con la

regola del prodotto di segni.

x

x

f

(

x

)

g

(

x

)

f

(

x

)

g

(

x

)

Attenzione

La frazione

non è definita nei punti che annullano il denominatore

g

(

x

). Essi vanno esclusi

dall’insieme delle soluzioni.

Grafici di

_|

f

(

x

)

_|

e f

(

_|

x

_|)

Valore assoluto

|

x

_{| =}



x

se x

_≥

0

−

x

se x

<

0

x

f

(

x

)

x

|

f

(

x

)

_|

x

f

(

_|

x

_|)

Equazioni con il valore assoluto

|

f

(

x

)

| =

g

(

x

)

Si ottiene l’unione delle soluzioni di due sistemi

(

x

:



f

(

x

) =

g

(

x

)

f

(

x

)

_≥

0

)

∪

(

x

:



f

(

x

) =

−

g

(

x

)

f

(

x

) <

0

)

Caso:

_|

f

(

x

)

| =

c

c

<

0

:

l’equazione non ha soluzioni

c

=

0

:

l’equazione equivale a

f

(

x

) =

0

c

>

0

:

si ottiene l’unione delle soluzioni di due sistemi

(

x

:



f

(

x

) =

c

f

(

x

)

≥

0

)

∪

(

x

:



f

(

x

) =

₋

c

f

(

x

) <

0

)

Disequazioni con il valore assoluto

|

f

(

x

)

| ≤

g

(

x

)

Si ottiene l’unione delle soluzioni di due sistemi

(

x

:



f

(

x

) ≤

g

(

x

)

f

(

x

) ≥

0

)

∪

(

x

:



f

(

x

) ≥ −

g

(

x

)

f

(

x

) <

0

)

Caso:

_|

f

(

x

)

| ≤

c

c

<

0

:

la disequazione non ha soluzioni

c

=

0

:

la disequazione equivale all’equazione

f

(

x

) =

0

c

>

0

:

la disequazione equivale al sistema



f

(

x

) ≤

c

f

(

x

) ≥ −

c

Caso:

_|

f

(

x

)

_{| ≥}

c

c

≤

0

:

la soluzione è

∀

x

∈ R

c

>

0

:

si ottiene l’unione delle soluzioni di due disequazioni

{

x

:

f

(

x

) ≥

c

} ∪ {

x

:

f

(

x

) ≤ −

c

}

Equazioni irrazionali

Equazioni

Per risolvere

p

f

(

x

) =

p

g

(

x

)

determinare il dominio di esistenza

elevare alla opportuna potenza =

mcm

(

n

,

m

)

Esempio

√

x

3

₊

₄

₋

₁

₌

_x

_D

_{= R}

p

x

3

₊

₄

₌

_x

₊

₁

x

3

+

4

=

(

x

+

1

)

3

x

1

=

−

1

+

√

5

2

e

x

2

=

−

1

−

√

5

2

Equazioni irrazionali

Equazioni

Per risolvere

p

f

(

x

) =

p

g

(

x

)

determinare il dominio di esistenza

elevare alla opportuna potenza =

mcm

(

n

,

m

)

Esempio

√

x

3

₊

₄

₋

₁

₌

_x

_D

_{= R}

p

x

3

₊

₄

₌

_x

₊

₁

x

3

+

4

=

(x

+

1

)

3

x

1

=

−

1+

√

5

2

e

x

2

=

−

1

−

√

5

2

Equazioni irrazionali

Esempio

√

2x

₋

1

=

x

₋

2

D

= [

1

₂

, +

_{∞) ∩ [}

2

, +

_∞)

2x

₋

1

= (

x

₋

2

)

2

x1

=

1

e

x2

=

5

non valida

valida

√

x

₋

1

+

√

x

+

1

=

√

6

₋

x

D

= [

1

,

6

]

2

p(

x

₋

1

) (

x

+

1

) =

6

₋

3x

D

˜

= [

1

,

2

]

4x

2

₋

4

=

36

₋

36x

+

9x

2

x

1

=

18

−

2

√

31

5

e

x

2

=

18

+

2

√

31

5

valida

non valida

Equazioni irrazionali

Esempio

√

2x

₋

1

=

x

₋

2

D

= [

1

₂

, +

_{∞) ∩ [}

2

, +

_∞)

2x

₋

1

= (x

−

2

)

2

x1

=

1

e

x2

=

5

non valida

valida

√

x

₋

1

+

√

x

+

1

=

√

6

₋

x

D

= [

1

,

6

]

2

p(

x

₋

1

) (

x

+

1

) =

6

₋

3x

D

˜

= [

1

,

2

]

4x

2

₋

4

=

36

₋

36x

+

9x

2

x

1

=

18

−

2

√

31

5

e

x

2

=

18

+

2

√

31

5

valida

non valida

Equazioni irrazionali

Esempio

√

2x

₋

1

=

x

₋

2

D

= [

1

₂

, +

_{∞) ∩ [}

2

, +

_∞)

2x

₋

1

= (x

−

2

)

2

x1

=

1

e

x2

=

5

non valida

valida

√

x

₋

1

+

√

x

+

1

=

√

6

₋

x

D

= [

1

,

6

]

2

p(

x

₋

1

) (

x

+

1

) =

6

₋

3x

D

˜

= [

1

,

2

]

4x

2

₋

4

=

36

₋

36x

+

9x

2

x

1

=

18

−

2

√

31

5

e

x

2

=

18

+

2

√

31

5

valida

non valida

Equazioni irrazionali

Esempio

√

2x

₋

1

=

x

₋

2

D

= [

1

₂

, +

_{∞) ∩ [}

2

, +

_∞)

2x

₋

1

= (x

−

2

)

2

x1

=

1

e

x2

=

5

non valida

valida

√

x

₋

1

+

√

x

+

1

=

√

6

₋

x

D

= [

1

,

6

]

2

p(x

₋

1

) (x

+

1

) =

6

₋

3x

D

˜

= [

1

,

2

]

4x

2

₋

4

=

36

₋

36x

+

9x

2

x

1

=

18

−

2

√

31

5

e

x

2

=

18

+

2

√

31

5

valida

non valida

Equazioni irrazionali

Esempio

√

2x

₋

1

=

x

₋

2

D

= [

1

₂

, +

_{∞) ∩ [}

2

, +

_∞)

2x

₋

1

= (x

−

2

)

2

x1

=

1

e

x2

=

5

non valida

valida

√

x

₋

1

+

√

x

+

1

=

√

6

₋

x

D

= [

1

,

6

]

2

p(x

₋

1

) (x

+

1

) =

6

₋

3x

D

˜

= [

1

,

2

]

4x

2

₋

4

=

36

₋

36x

+

9x

2

x

1

=

18

−

2

√

31

5

e

x

2

=

18+2

√

31

5

valida

non valida

Disequazioni irrazionali

Il comportamento di

p

f

(

x

) <

p

g

(

x

)

dipende dalla parità di

m

e

n.

Per semplicità consideriamo

m

=

1

n dispari

p

f

(

x

) <

g

(

x

)

_⇐⇒

f

(

x

) <

g

(

x

)

2k

+

1

Esempio

√

2

₋

x

<

x

D

= R

2

₋

x

<

x

3

x

3

+

x

₋

2

>

0

(

x

₋

1

)(

x

2

₊

_x

₊

₂

₎

_>

₀

x

>

1

Disequazioni irrazionali

Il comportamento di

p

f

(

x

) <

p

g

(

x

)

dipende dalla parità di

m

e

n.

Per semplicità consideriamo

m

=

1

n dispari

p

f

(

x

) <

g

(

x

)

_⇐⇒

f

(

x

) <

g

(

x

)

2k+1

Esempio

√

2

₋

x

<

x

D

= R

2

₋

x

<

x

3

x

3

+

x

₋

2

>

0

(

x

₋

1

)(

x

2

₊

_x

₊

₂

₎

_>

₀

x

>

1

Disequazioni irrazionali

Il comportamento di

p

f

(

x

) <

p

g

(

x

)

dipende dalla parità di

m

e

n.

Per semplicità consideriamo

m

=

1

n dispari

p

f

(

x

) <

g

(

x

)

_⇐⇒

f

(

x

) <

g

(

x

)

2k+1

Esempio

√

2

₋

x

<

x

D

= R

2

₋

x

<

x

3

x

3

+

x

₋

2

>

0

(x

₋

1

)(x

2

₊

_x

₊

₂

₎

_>

₀

x

>

1

Disequazioni irrazionali

n pari

p

f

(

x

)

<

g

(

x

)

⇐⇒







f

(

x

)

≥

0

g

(

x

) >

0

f

(

x

) <

g

(

x

)

2k

p

_f

₍

_x

₎

_>

_g

₍

_x

₎

⇐⇒



g

(

x

) <

0

f

(

x

)

_≥

0

o



g

(

x

)

≥

0

f

(

x

) >

g

(

x

)

2k

Esempio

√

x

₋

1

>

12

₋

2x



12

₋

2x

<

0

x

₋

1

_≥

0

or



12

₋

2x

_≥

0

x

₋

1

> (

12

₋

2x

)

2

(

6

, +

_{∞) ∪ (}

5

,

29

/

4

)

x

_{∈ (}

5

, +

∞)

Disequazioni irrazionali

n pari

p

f

(

x

)

<

g

(

x

)

⇐⇒







f

(

x

)

≥

0

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(

x

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0

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(

x

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g

(

x

)

2k

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⇐⇒



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(

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x

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_≥

0

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(

x

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≥

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(

x

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g

(

x

)

2k

Esempio

√

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₋

1

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12

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2x



12

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0

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₋

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2

(

6

, +

_{∞) ∪ (}

5

,

29

/

4

)

x

_{∈ (}

5

, +

∞)

Disequazioni irrazionali

n pari

p

f

(

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<

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(

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⇐⇒





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(

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2k

Esempio

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12

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2

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, +

_{∞) ∪ (}

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,

29

/

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x

_{∈ (}

5

, +

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Disequazioni irrazionali

n pari

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<

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⇐⇒







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Esempio

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1

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12

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2

(

6

, +

_{∞) ∪ (}

5

,

29

/

4

)

x

_{∈ (}

5

, +

∞)