FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Matemati a
DIMOSTRAZIONI CLASSICHE DEI
TEOREMI DI APPROSSIMAZIONE
DI RUNGE NEL PIANO COMPLESSO
Tesi di Laurea in Istituzioni di Geometria superiore
Relatore:
Chiar.mo Prof.
COEN SALVATORE
Presentata da:
FONTANA ANDREA
Sappiamo he ogni funzione intera puo essere approssimata
uniforme-mente sui ompatti di C on una su essione di polinomi: basta s egliere i
polinomidiTaylor della funzione.
Non è tuttavia possibile approssimare lefunzioni f(z)= 1 z , g(z)=e 1 z on
polinomio on funzioni intere uniformementesui ompattidel pianobu ato
C n0.
Infatti supponiamo he una tale su essione ff
n
g esista e onsideriamo la
ir onferenza S unitaria di entro l' origine. Poi hè le 1-forme dierenziali
f
n
(z)dz sono esatte suC n0 vale
Z
S f
n
(z)dz =0 8n2N
Questo ontraddi e il fatto he sidovrebbe avere:
lim n!1 Z S f n (z)dz = Z S 1 z dz =2i
Éd'altrapartevero henonsoloperlafunzionef(z),maan heperg(z)
sap-piamo hequestaèlimiteuniformesui ompattidiunasu essionedifunzioni
razionali on poloin0 (siri orresempli ementeai lorosviluppi diLaurent).
É evidente he il problema di stabilire quando una funzione olomorfa su
un dominio omplesso D possa essere approssimatauniformementesui
om-patti di un aperto A da polinomi o da funzioni razionali on poli fuori da
A èimportanteinquantol'esistenza ditaliapprossimazionipuò omportare
l'estensione allefunzioni olomorfe su D di proprietà valide per i polinomi o
perlefunzionirazionaliquando essesonoinvariantirispettoalimiti
funzion-ali uniformisui ompatti.
Inoltre può essere an he importante per le appli azioni stabilire degli
algo-ritmio perlo menodei metodi perdeterminare lefunzioni approssimanti in
A questo genere di problemi dedi ò molto studio Carl Runge (1856-1927),
un matemati o tedes o onsiderato uno dei fondatori dell'AnalisiNumeri a
in Germaniaed assai stimato an he ome si o (vedi Appendi e).
I lavori di Runge seppero dare risposte de nitive ai primi problemi
fonda-mentalisu queste questioni diapprossimazione.
Diamo ora al une de nizioni he risulteranno fondamentaliin seguito.
Chiameremo regione di Runge ogni aperto omplesso D tale he le funzioni
olomorfe su D siano tutte approssimabili uniformementesui ompatti di D
tramite polinomi. Diremo he una oppia (D;A) di aperti di C on A D
è una oppia di Runge quando ogni funzione olomorfa su A può essere
ap-prossimatauniformementesui ompattidiAdaunasu essionedirestrizioni
adA difunzioniolomorfe suD. In nesi di ebu o diun aperto Duna
om-ponente onnessa limitatadi C nD.
I risultatiprin ipalia ui arriveremo in questa tesi sono i seguenti:
Innanzitutto il Teorema 5.0.28 he di e in parti olare he se un aperto
omplesso A non ha bu hi allora è una regione di Runge.
In realtà dimostreremo un teorema più generale da ui poisi ottiene questo
ome aso parti olare ponendo D=C.
Il teorema più generale he dimostreremoè ilseguente:
Teorema5.0.26. Caratterizzazione topologi adelle oppie diRunge.
Siano A e D due aperti di C on AD, allora A e D formano una oppia
di Runge se e solo se nello spazio DnA non i sono omponenti onnesse
ompatte.
Ilproblemadell' approssimazione onfunzioni razionali he prima
aveva-mointravistosirisolve ongrandegeneralità. Infattidimostreremoilteorema
seguente.
Teorema4.0.21. Teorema sull'approssimazione razionale diRunge.
Sia A aperto di C tale he A abbia dei bu hie sia P C nA un insieme he
interse a ogni bu o di A.
Allora ogni funzione f 2 O(A) può essere approssimata uniformemente sui
ompatti di A tramite funzioni razionali on poli in P.
Tutti questirisultatisono, nell'ambitodelladimostrazione he quiforniamo,
basati sulrisultato seguente:
Teorema 2.0.3. Teorema dello spostamento dei poli.
Sia Z una omponente onnessa di C nK, on K ompatto di C, e siano
mente su K da polinomi in (z b) 1
.
Ladimostrazione, dovutaa Runge, è diretta ed è,ora, un risultato
las-si o.
In ne, ome ultima parte di questa tesi, daremo an he delle appli azioni
dei teoremi dimostrati. Soprattutto determineremo una su essione di
poli-nomi he onverge puntualmente aduna funzione non olomorfa(addirittura
non ontinua) e tale he la su essione dei polinomi derivati onverge alla
funzione nullapuntualmente, manon uniformementesui ompattidi C.
Un' altra appli azione he mostreremo è una dimostrazione di tipo lassi o
del teoremadiMittag - Le er suidomini omplessi.
Il piano dellatesi èil seguente.
Nel primo apitoloviene arontatoil`problema diRungesui ompatti'. Per
ogni ompatto K del piano omplesso si di e he una funzione f : K ! C
è olomorfa su K se essa è la restrizione a K di una funzione olomorfa in un
intorno aperto di K.
Nel primo e nel se ondo apitolo introdu iamo gli strumenti fondamentali
e di arattere `elementare' di ui i serviremo in seguito, un risultato sulle
quadrettature dei ompatti ed il già itato teorema sullo spostamento dei
poli.
Siarriva, osi,tral'altroadimostrare heseKèun ompattodelpianoed f
èunafunzioneolomorfasuK,allora ssatoarbitrariamenteunpuntoinogni
omponente onnessa diC nK, f puòessereapprossimatauniformementesu
K da una su essione difunzioni razionali on polinei punti prima ssati.
Nel terzo apitolo i on entriamo più pre isamente sul problema dell'
ap-prossimazione polinomialemigliorando i risulati pre edenti quando si tratti
della omponente onnessa non limitatadiC nK,giungendo osì alpi olo
teorema di Runge sull'approssimazione polinomiale:
Teorema 3.0.11.
Sia K ompattodi C e supponiamo he C nK sia onnesso,allora ogni
fun-zione f 2O(K) può essere approssimata uniformemente su K da polinomi
Esaurito il dis orso relativoalle funzioni olomorfe sui ompatti, arontiamo
E' nel apitolo quinto he dimostriamo il Teorema 5.0.26. sulle oppie
di Runge eil Teorema 5.0.28. sulleregioni di Runge
Nell'ultimo apitolo, omeappli azione della teoria(ma parti olarmentedel
pi olo teorema di Runge), de niamo quelle su essioni di polinomi
onver-genti puntualmente ad una funzione dis ontinua di ui già abbiamo
parla-to. Una volta svolta la teoria di Runge diventa relativamente diretta la
dimostrazione del teoremadi Mittag- Le ersu aperti del piano.
Fa iamo in ne al une onsiderazioni. E' un risultato fondamentale
os-servato n dalla nas ita della teoria he le aratterizzazioni delle regioni di
Runge osì ome le aratterizzazioni delle oppie di Runge siano espresse
medianteproprietà topologi he.
Unodei motiviper uisièpreferito(seguendolelineedi[Remmert℄)fornire
unadimostrazione lassi aè he onquestasigiungeadimostrare onmetodi
abbastanza `naturali' ed in erti asi, on metodi he si prestano ad
appli- azioni on rete per i asi più sempli i, proprietà, in realtà, di arattere
riposto.
Sfortunatamente questi metodisono di ilmenteappli abilial aso delle
funzioni apiù variabili per ui si sonolentamentenel tempostabilitimetodi
più potenti, giungendo, tra l' altro, a veri are he l' analogo naturale del
on etto di oppia diRunge non è un on etto topologi o pern >1.
Solo per ompletezza ri ordiamo (ma qui queste proposizioni non sono
di-mostrate) he un dominio di C non ha bu hi se e solo se è sempli emnete
Introduzione 2
1 Approssimazioni tramite funzioni razionali 7
2 Teoremi di Runge 13
3 Approssimazioni tramite polinomi 20
4 Approssimazioni su insiemi aperti 25
5 Coppie di Runge 33
6 Appli azionidei teoremi di Runge 39
Appendi e 46
Approssimazioni tramite funzioni
razionali
In questo apitolo i hiederemo se data una funzione olomorfa su un
ompatto K è sempre possibile approssimarla uniformemente su K tramite
funzionirazionali onpolifuoridaK evedremo helarispostaèaermativa
Perprima osa diamo laseguente de nizione:
De nizione 1.1. Sia K ompatto di C e sia f : K ! C, si di e he f è
olomorfa su K se esiste un aperto U K ed esiste una funzioneg olomorfa
su U tale he g oin ide on f su K. In altreparole f è olomorfasu K sesi
può estendere olomor amenteintorno aK.
Indi hiamo on O(K) l'insiemedelle funzioni olomorfe suK.
Diamosubito ilseguente importanterisultato:
Teorema 1.0.1. Sia A aperto di C e sia K un insieme ompatto
ontenu-to in A, allora esistono un numero nito di segmenti verti ali o
orizzon-tali 1
;::::; n
in AnK tali he ogni funzione f olomorfa su A può essere
approssimata uniformemente su K da funzioni razionali della forma:
q(z)= k X j=1 j z w j ; j 2C ; w j 2 n [ i=1 j i j
Premettiamo alladimostrazione del teorema la seguente osservazione ed
Osservazione 1. Sia A aperto di C e sia f : A ! C olomorfa. Sia poi
R un rettangolo hiuso oi lati paralleli agli assi, allora ertamente R è un
ompatto a bordo e per il teorema di rappresentazione integrale di Cau hy
vale: f(z)= 1 2i Z R f(s) s z ds 8z 2 R Mentre se z 2=R vale: Z R f(s) s z ds=0
Da ui otteniamo he:
1 2i Z R f(s) s z ds= ( f(z) z 2 R 0 z 2= R
Lemma 1.0.2. Sia A aperto di C e sia K un insieme ompatto tale he
K A. Allora esiste un numero nito di segmenti orizzontali o verti ali
1
;::::; n
in AnK e tutti di lunghezza uguale tali he per ogni f 2 O(K) e
8z 2K: f(z)= 1 2i n X v=1 Z v f(s) s z ds
Dimostrazione. De niamo Æ = 1 nel aso in ui A = C altrimenti poniamo
Æ =dist(K;A)
In ogni aso (poi hè K è ompatto) siavrà Æ 2R; Æ >0.
A questo punto stendiamo suC un reti olodi quadrati on latiparalleliagli
assi e on diagonale d tale he d <Æ.
Orapoi hèK è ompatto,essointerse asolamenteunnumero nitodiquesti
quadrati del reti olo he hiameremo Q 1
;:::;Q m
. Si avrà allora ertamente
he K S m k=1 Q k
Inoltre se onsideriamo un punto z
k 2 Q
k
\ K si ha per de nizione di Æ
he tutta la pallina B di entro z
k
e raggio Æ è ontenuta in A. Da ui ne
segue he tuttoil quadratoQ k è ontenuto inA, infattises k 2Q k si ha he js k z k j<d<Æ. Quindi s k
2 B A. Ripetendo il ragionamento per ogni k =1;:::;m si ha
he ogni Q k A equindi m [ Q k A
Consideriamo ora i segmenti he ostituis ono i bordi dei quadrati Q k e in-di hiamo on 1 ;::::; n
quei segmenti he non sono lati in omune di due
quadrati diversi Q p
;Q q
on p6=q.
Mostriamo ora he 8v = 1;:::;n j v
j AnK. Avremmo osì ottenuto un
insieme nito di segmenti orizzontali o verti ali di lunghezza uguale e tutti
in AnK.
Chiaramenteogni v
A. Inoltre se K interse asse un segmento h
, allora
entrambiiquadrati del reti olo he hannoquel segmento ome lato omune,
non sarebbero disgiunti daK e quindi apparterrebbero all'insiemedei Q k
.
InaltriterminiesisterebberoduequadratidistintiQ i
eQ j
hehanno ome
la-to omuneilsegmento h
; iòperònonèpossibileperde nizionedi 1 ,..., n ; quindi ogni v
deve essere disgiuntodaK.
Figura1.1: gura 1I segmentitratteggiati sono i v
Ora osserviamo he se fa iamo l'integrale lungo i bordi dei quadrati,
poi hè ogni lato in omune tra due dierenti quadrati del reti olo viene
per orsodue volte e insenso opposto, si ha:
m X k=1 Z Q k f(s) s z ds = n X v=1 Z v f(s) s z ds 8z2An m [ k=1 Q k
Così per l'osservazione1 se z 2 Q i si ha: Z i f(s) s z ds =2if(z) mentre Z k f(s) s z ds=0 8k 6=i
Quindi sommando: f(z)= 1 2i n X v=1 Z v f(s) s z ds
Se inve e ora z2K si trova sulbordo diun erto Q k
siha he z 2= j v
j
8v =1;:::;n.
Così se s egliamo una su essione di punti z
j 2 Q k he tende a z si ha he perogni z j vale f(z j )= 1 2i n X v=1 Z v f(s) s z j ds
Da ui mandando j all'in nitopoi hè l'uguaglianzasi onservaal limiteela
funzione a destradell'uguale è ontinuanella z ez 2= j v j si ha he: f(z)= 1 2i n X v=1 Z v f(s) s z ds
In on lusione la tesi vale8z 2K
Dimostrazione. (teorema 1.0.1)
S egliamo 1
;:::; n
ome nel lemma pre edente. Sappiamo he essi sono
segmenti verti alio orizzontaliin AnK e sappiamo he sef èuna funzione
olomorfa suA vale: f(z)= 1 2i n X v=1 Z v f(s) s z ds 8z 2K
Ora ssato v = 1;:::;n, la funzione f(s)
s z
nelle variabili s;z è ontinua
su j v
jK, he è un insieme ompatto. Così essa è an he uniformemente
ontinua suj v jK. In parti olare 8>09Æ v >0 tale he: f(s) s z f(s 0 ) s 0 z < L( v )n 8(s;s 0 ;z) 2j v jj v jK : js s 0 j<Æ v
Dove abbiamoindi ato on L( v
) lalunghezza del segmento v
.
Ora, ssato >0,possiamo dividere v in ulteriorisegmenti 1 ;:::; r v tutti
di lunghezza <Æ
v
e poi s eglierearbitrariamente w
v 2j
v j.
A questo punto de niamo per ogni=1;:::;r
v v := Z v f(w v )ds
Ripetiamolo stesso dis orsoperogni v =1;:::;n dopodi hè de niamo la
seguente funzione razionale he hapoli solodentro l'unionedi tutti i
v q(z)= n X v=1 r v X =1 1 2i v z w v
osserviamo ora he 8z 2K vale:
jf(z) q(z)j= 1 2i n X v=1 Z v f(s) s z ds r v X =1 v z w v ! = = 1 2 n X v=1 rv X =1 Z v f(s) s z ds v z w v < n X v=1 rv X =1 Z v f(s) s z ds v z w v = n X v=1 r v X =1 Z v f(s) s z ds Z v f(w v ) z w v ds = n X v=1 r v X =1 Z v f(s) s z f(w v ) w v z ds n X v=1 r v X =1 max s2 v f(s) s z f(w v ) w v z L( v ) Adesso poi hè s e w v
appartengono allo stesso segmento v si ha he js w v j<Æ v per ui: n X v=1 rv X =1 max s2 v f(s) s z f(w v ) w v z L( v )< n X v=1 rv X =1 L( v )n L( v )= n X v=1 n 1 L( v ) r v X =1 L( v )= n X v=1 n =
In de nitivaabbiamovisto he 8>o esiste una funzionerazionaleq(z) on
Osserviamo adesso he tali funzioni razionali hanno poli solamente in
AnK omevolevamoe inoltredi onseguenza sono olomorfeintornoal
om-patto K.
Notiamo inoltre he l'insieme di segmenti 1
;::::; n
in ui si trovano i poli
delle funzionirazionalinon dipendonodalla funzionef he devono
approssi-mare ma solamentedagli insiemiK eA.
Abbiamo visto in on lusione he su un ompatto di C è sempre
pos-sibile approssimare uniformemente una funzione olomorfa tramite funzioni
Teoremi di Runge
Cer heremo ora di apire quando e ome possiamo ontrollare i poli di
questefunzionirazionali heapprossimanouniformementeuna ertafunzione
olomorfa f su un ompatto K, ovvero quando e no a he punto possiamo
essere noi as egliere inquale insiemerin hiuderequesti polidi talifunzioni
razionali.
Vedremo in realtà he ognuno di questi poli he si trova in un punto a può
essere spostato in un altro punto qualsiasi della omponente onnessa Z di
C nK he ontiene il punto a. Da questa asserzione otterremo il teorema
di approssimazione di Runge he aerma he per potere rin hiudere in un
insieme a nostra s elta tutti i poli delle funzioni razionali he approssimano
f su K, ibasteràs egliere uninsieme qualunquetale he interse hituttele
omponenti onnesse di C nK.
Figura 2.1
Teorema 2.0.3. Teorema dello spostamento dei poli
Sia Z una omponente onnessa di C nK, e siano a;b 2 Z. Allora la
funzione (z a) 1
puòessereapprossimata uniformementesuK da polinomi
in (z b) 1
.
Premettiamo alladimostrazionedel teoremaleseguentidue osservazioni:
Osservazione 2. Sia Z una omponente onnessa di C nK allora Z è un
aperto di C.
Sappiamo infatti he Z èaperto e hiusoinC nK, mapoi hè C nK èaperto
nello spazio ambientean he Z èaperto in C
Osservazione 3. Sesottoleipotesidelteorema,siha helafunzione(z a) 1
può essere approssimata uniformemente da polinomi in (z b) 1
su K e la
funzione (z b) 1
può essere approssimata uniformemente su K da
polino-mi in (z ) 1
, allora (z a) 1
può essere approssimatauniformemente da
polinomiin(z ) 1
.
Infatti dalle ipotesi segue he esistono due su essioni di polinomi p
n e q n tali he p n ( 1 z b ) onverge uniformementea(z a) 1 suK eanalogamentefa q n ( 1 z )a (z b) 1
PoniamoÆ =inffjz bj=z2Kg,si haallora he 8z 2K 1 z b 2B(0;Æ 1 ) Inoltrepoi hèq n ( 1 z ) onvergeuniformementesuK a 1 z b possiamosupporre he 8n2N; 8z 2K q n ( 1 z )2B(0;2Æ 1
)=:T he è un insieme ompatto.
Sia alloran 2N arbitrario.
Sappiamo he esiste m
n 2N tale he jp mn ( 1 z b ) 1 z a j< 1 n 8z 2K Ora poi hè p mn
èun polinomio,esso è uniformemente ontinuosu T,
esiste quindi Æ >0tale he
jp m n (v) p m n (w)j< 1 n
tutte le volte he v;w2T ejv wj<Æ.
Inoltre esiste an he k
n 2N tale he jq kn ( 1 z ) 1 z b j<Æ 8z 2K Allora: p mn 1 z b p mn q kn 1 z < 1 n 8z 2K in quantoj 1 q kn ( 1 )j<Æ e 1 ; q kn ( 1 ) 2T 8z2K.
Poniamoallora per ogni n2N h n ( 1 z ) = p mn q kn 1 z Allora hiaramente h n è un polinomio in (z ) 1 he onverge
uniforme-mentesu K allafunzione (z a) 1 ,infatti: h n 1 z 1 z a h n 1 z p mn 1 z b + p mn 1 z b 1 z a < p m n q k n 1 z p m n 1 z b + 1 n < 2 n 8z 2K .
Dimostrazione. (Teorema dello spostamentodei poli).
Sia V = n b 2Z . 1 z a
puoessereapprossimatouniformementesuK
dapolinomiin 1
z b o
Per dimostrare il teorema i basta mostrare he V = Z, e per mostrare
questo, essendoZ onnesso ibastavedere he V ènonvuoto, apertoe
hiu-so inZ.
Ora ertamente a2V quindi V 6=;
V è aperto infatti:
Sia 2 V, allora poi hè V Z e Z è aperto in C esiste Æ > 0 tale he
B( ;Æ)Z mostriamo he B( ;Æ)V.
Siad2B( ;Æ)permostrare hed2V ibasta mostrareperl'osservazione3
he esisteuna su essionedipolinomiin(z d) 1 he approssima uniforme-mentesu K 1 z .
Consideriamo allorala seguente serie:
1 X k=0 1 z d d z d k
Essa onverge uniformementesu K a 1
z
in quanto j dj < Æ mentre per
ogni z 2 K vale jz dj Æ. Così al variare di n 2 N tron ando la serie
all'ennesimo termine si ottieneuna su essione di polinomi in(z d) 1 he onverge uniformementesuK a 1 z .
Di onseguenza V è aperto inC e quindi inZ.
Sia w 2 Z nV ; poi hè Z è aperto esiste un Æ > 0 tale he B(w;Æ) Z
mostriamo he B(w;Æ) Z nV, ne seguirà he Z nV è aperto in C e di
onseguenza èaperto inZ da ui ne viene he V è hiuso in Z.
Sia allora d 2 B(w;Æ) ragionando ome sopra possiamo ostruire una serie
di potenze in (z w) 1
e quindi una su essione di polinomi in (z w) 1
he onverge uniformemente suK a (z d) 1
;da questo e dall'osservazione
3 segue he se esistesse una su essione di polinomi in (z d) 1
he
on-vergesse uniformementea (z a) 1
allora esisterebbe an he una su essione
dipolinomiin(z w) 1
he onvergerebbeuniformementea(z a) 1
,il hè
sarebbe assurdo. Quindid2Z nV.
Proposizione 2.0.4. Sia K ompatto di C, sia f olomorfa su K e siano
Z 1 ;Z 2 ;:::;Z m le omponenti onnesse di C nK.
Per ogni i=1;:::;m sia z
i
un punto ad arbitrio della omponente Z
i .
Allora f può essere approssimatauniformemente su K da funzionirazionali
he hannopoli solamente nell'insieme fz
1 ;z 2 ;:::;z m g Dimostrazione. .
Sia >0; per ilteorema1.0.1 sappiamo he esiste una funzione razionale
q(z)= k X j=1 j z w j w 1 ;:::;w k 2 n [ v=1 j v j tale he jf qj K < 2 .
Ora per ogni j = 1;:::;k ertamente si ha he w
j 2 Z rj on r j opportuno dipendente da j, 1 r j
m. Allora per il teorema dello spostamento dei
polisappiamo he esiste un polinomio p
j in(z z r j ) 1 tale he j z w j p j 1 z z rj < 2k 8z 2K
A questo punto poniamo
p(z):= k X j=1 p j 1 z z rj
Allorasiha hepèunafunzionerazionale onpolisolamenteinfz
1 ;z 2 ;:::;z m g e vale: jf pj K jf qj K +jq pj K 2 + k X j z w j p j 1 z z r j K
De nizione 2.1. Sia P C; indi hiamo on C
P
[z℄ l'insieme delle funzioni
razionali i ui polistanno tutti dentro l'insiemeP.
.
Dalla proposizionepre edente segue immediatamenteil teoremadi Runge:
Teorema 2.0.5. Teorema di Runge.
Sia P C nK tale he interse hi tutte le omponenti onnesse di C nK;
allora ogni funzione f 2 O(K) può essere approssimata uniformemente su
K da funzioni in C
P [z℄
Dimostrazione. .
Sia f olomorfa su K e siano Z
1 ;:::;Z
p
le omponenti onnesse di C nK ,
poi hè P le interse a tutte, per ogni j =1;:::;p esiste z
j 2Z
j
\P. Quindi
per la proposizione 2.0.4 f può essere approssimata uniformemente su K
da funzioni razionali he hanno tutti poli nell'insieme fz
1 ;:::;z
p
g e quindi
ontenutinell' insieme P
Corollario 2.0.6. Sia A aperto di C e sia K A, K ompatto; allora se
ogni omponente onnessa di C nK interse a l'insieme C nA,ogni funzione
f 2O(K)puòessereapprossimatauniformementesuK dafunzionirazionali
he sono olomorfe su A
Dimostrazione. .
Consideriamo l'insieme P = C nA, allora P interse a tutte le omponenti
onnesse diC nK peripotesi equindi perilteoremadiRunge ognifunzione
olomorfa suK può essereapprossimata uniformementedafunzioni razionali
he hanno poli ontenuti in P, ovvero he hanno poli fuori dall'insieme A e
per iòtali funzioni razionalisono olomorfesull'aperto A
Abbiamoquindi visto he ogni polo dellefunzioni razionali he
approssi-mano una data funzione f può essere spostato in un qualsiasi altro punto
della stessa omponente onnessa del omplememtare del ompatto K.
Inoltre possiamo an he ri hiedere he tali funzioni razionali siano olomorfe
in-Vediamo ora he possiamo invertire il teorema di Runge e il orollario
2.0.6ri hiedendoperò henontuttele omponenti onnessediC nK vengano
interse ate rispettivamenteda P e daC nA, masoloquelle limitate.
Dimostriamo primail seguente lemma he utilizzeremopoi:
Lemma 2.0.7. Sia Z omponente onnessa di C nK allora Z K
Dimostrazione. .
Per assurdo supponiamo esista 2 Z tale he 2= K. Allora si avrà he
2 C n K; quindi esiste un dis o D entrato in e di raggio r tale he
DC nK. Oraperlade nizionediZ siha he D\Z 6=;. Per ui,poi hè
D è onnesso e Z è una omponente onnessa di C nK, si ha he D Z
ontraddi endo l'ipotesi he 2Z. Assurdo.
Proposizione 2.0.8. Sia K ompatto ontenuto in A aperto di C e
suppo-niamo he ogni funzione in O(K) può essere approssimata uniformemente
su K da funzioni razionali senza poli in A; allora C n A interse a ogni
omponente onnessa limitata di C nK
Figura2.2: L'uni a omponentelimitata diC nK è interse ata da C nA
Dimostrazione. .
Per dimostrare la tesi mostriamo he se esiste una omponente limitata di
C nK disgiunta da C nA allora non si può approssimare uniformemente su
K ogni funzione 2O(K) tramitefunzioni razionalisenza poli inA.
Sia allora Z una omponente limitata di C nK disgiunta da C nA, allora
Z AnK. A questo punto onsideriamolafunzione 1 z a ona 2Z;poi hè a2=K essa èolomorfa su K. PoniamoÆ=maxfjz aj=z 2Kg=jz aj K
SeoratalefunzionepotesseessereapprossimatauniformementesuK tramite
funzioni razionaliesenza poliin A,si avrebbe he esisterebbe g(z)olomorfa
su A tale he: j(z a) 1 g(z)j K <Æ 1 da ui j1 (z a)g(z)j K <1 .
Ora per il lemma pre edente e per il prin ipio del massimo per gli aperti
limitati siha he j1 (z a)g(z)j
Z <1.
Il hè èassurdo peressendo a2Z. In de nitivaabbiamovisto he tale
fun-zione non può essere approssimata inmodouniforme suK tramitefunzioni
razionali senza poliin Ae da questo segue latesi dellaproposizione.
Proposizione 2.0.9. Sia K ompatto di C e sia P C nK tale he ogni
funzione 2O(K) può essere approssimata uniformemente su K da funzioni
in C
p
[z℄, allora P interse a tutte le omponenti onnesse limitate di C nK.
Dimostrazione. .
Peril teoremadello spostamento dei polipossiamo supporre he se P
inter-se a una omponente onnessa di C nK la interse a in un punto soltanto.
Per iònonèrestrittivosupporre heP siauninsiemedipuntiisolatiequindi
un insieme hiuso.
Mostriamo he P interse a in almeno un punto ogni omponente onnessa
limitata diC nK .
PoniamoA=C nP,allora A èaperto evaleK A. Ora osserviamo he se
una funzioneappartieneall'insiemeC
p
[z℄alloraessanonhapoliinA,quindi
perla proposizione pre edente ogni omponente limitata di C nK interse a
Approssimazioni tramite polinomi
Abbiamo visto nei pre edenti apitoli he possiamo sempre
approssi-mareuniformementeunafunzioneolomorfasuun ompatto tramitefunzioni
razionali e an he in he modoe no a he punto possiamo ontrollarei poli
di tali funzioni razionali; in questo apitolo inve e er heremo di fare tali
approssimazioni non più tramite funzioni razionali ma addirittura tramite
polinomi.
Può essere onvenientevedereun polinomio omeuna funzionerazionale he
hapoliall'in nito,inquesto asoil problemadiventaequivalenteaquellodi
spostare all'in nitoipoli dellefunzioni razionali he sappiamo he
approssi-mano la nostrafunzione sul ompatto.
Ora ri ordando il teorema di spostamento dei poli, sappiamo he se una
funzione razionale ha un polo he si trova su una omponente onnessa di
C nK allora è possibile spostare quel punto di polo in un altro qualsiasi
punto he stia nella stessa omponente. Quindi se noi supponiamo he tale
omponentesia illimataviene intuitivopensare dipoter spostareil polo no
all'in nito. Vedremo quidiseguitonella primaproposizionedel apitolo he
eettivamente iòè formalmentepossibile.
Osservazione 4. Osserviamo prima di andare avanti he esiste sempre una
ed una sola omponente onnessa illimitatadi C nK.
Esistenza:
Poi hè K è limitato esiste ertamente un dis o D entrato nell'origine e di
raggio r tale he K D.
Allora ertamenteC nDè un insieme onnesso ed è ontenuto in C nK,per
ui esiste una omponente onnessa di C nK ontenente C nD, il quale è
illimitatoe quindi an he tale omponentesarà illimitata.
Uni ità:
Siano Z e V due omponenti illimitatediC nK mostriamo he Z =V.
ollega Z e V senza passareperK. Di onseguenza Z e V sono due insiemi
onnessi e non disgiunti; osì la loro unione è an ora un insieme onnesso,
ma essendo Z e V omponenti onnesse diC nK ne segue he Z =V
Proposizione 3.0.10. Sia K ompattodi C, siaZ la omponente onnessa
illimitata di C nK e sia a2Z.
Allora è possibile approssimare la funzione 1
z a
in modo uniforme su K
tramite polinomi.
Dimostrazione. .
Poi hè K è limitatoe Z è illimato ertamenteesiste w2Z tale he
B(0;jwj) K. Per quanto già vistonel teoremadello spostamento dei poli
sappiamo he 1
z a
puòessere approssimatauniformementesuK dapolinomi
in 1
z w
. Ora però tutte le funzioni del tipo (z w) n
sono olomorfe su
B(0;jwj)edi onseguenza possonoessere approssimateuniformementesuK
dal lorosviluppodi Taylor. Di onseguenza, sempre per l'osservazione 3, su
K si può approssimare uniformemente lafunzione 1
z a
tramite polinomi.
Da questa proposizione segue immediatamente il risultato entrale di
questo apitolo:
il pi olo teorema di Runge sull'approssimazione polinomiale
Teorema 3.0.11. .
Sia K ompatto di C e supponiamo he C n K sia onnesso, allora
og-ni funzione f 2 O(K) può essere approssimata uniformemente su K da
polinomi
Dimostrazione. .
Sappiamo he ogni funzione olomorfa su K può essere approssimata da
funzioni razionalidel tipo:
k X j=1 j z w j on w 1 ;:::;w k
appartenenti alla stessa omponente onnessa C nK he
er-tamenteè illimitata. Per iò perla proposizionepre edente, ogni espressione
del tipo
j
z w
j
può essere approssimatatramite polinomi;in on lusione
ogni funzione2O(K)può essereapprossimatauniformementesuK tramite
polinomi.
Osservazione 5. Nelteoremadello spostamentodei poliène essarial'ipotesi
he a e b si trovino nella stessa omponente Z; infatti basta osservare il
seguente esempio:
Consideriamo il ompatto =B(0;1), e siano a = 0 e b = 2, allora a e b
non appartengono allastessa omponente onnessa di C n e la funzione 1
z
non può essere approssimatauniformementesu tramite polinomi in 1
z 2 .
Infatti per quanto visto prima 1
z 2
può essere approssimata uniformemente
su B(0;1) e quindi su tramite polinomi, da ui seguirebbe he an he la
funzione 1
z
si possa approssimare tramite polinomi il hè non è possibile
ome avevamo visto nell'introduzione.
.
Andremo ora a raorzare la tesi della proposizione 2.0.4 togliendo
dal-l'insieme fz 1 ;z 2 ;:::;z m
g gli elementi appartenenti alle omponenti onnesse
illimitatedi C nK.
Proposizione 3.0.12. Sia K ompatto di C, sia f olomorfa su K e siano
Z 1 ;Z 2 ;:::;Z m 1
le omponenti onnesse limitate di C nK.
Per ogni i=1;:::;m 1 siaz
i
un punto ad arbitrio della omponenteZ
i .
Allora f può essere approssimatauniformemente su K da funzionirazionali
he hannopoli solamente nell'insieme fz
1 ;z 2 ;:::;z m 1 g Dimostrazione. .
Sia omenella proposizione2.0.4 >0 ssatoad arbitrioe
q(z)= k X j=1 j z w j w 1 ;:::;w k 2 n [ v=1 j v j tale he jf qj K < 2 .
Allora per ogni j tale he w
j
appartiene a una omponente limitata si
ra-giona ome nella dimostrazione della proposizione2.0.4 mentre peri w
j he
appartengono alla omponente illimitatasappiamo he esistono polinomi p
j
in z tali he approssimanouniformementesuK l'espressioni
j
z w
j
. A questo
puntobasta de nirelafunzionerazionalep(z) ome nellaproposizione2.0.4
e osservare he essa hapoli solamentenell'insieme fz
1 ;z 2 ;:::;z m 1 g.
PossiamoquindiindebolireleipotesidelteoremadiRungeedel orollario
2.0.6 hiedendorispettivamente heP interse hisolole omponenti onnesse
limitatediCnK o he solamenteogni omponente onnessalimitatadiCnK
Figura 3.1: Nonserve he P interse hi la omponente illimitatadiC nK
Corollario 3.0.13. Sia P C nK tale he interse hi tutte le
omponen-ti onnesse limitate di C n K; allora ogni funzione 2 O(K) può essere
approssimata uniformemente su K da funzioniin C
P [z℄
Dimostrazione. .
Segue direttamentedalla proposizione 3.0.12
Corollario 3.0.14. Sia A aperto di C e sia K A, K ompatto; allora se
ogni omponente onnessa limitata di C nK interse a l'insieme C nA, ogni
funzione 2O(K) può essere approssimata uniformemente su K da funzioni
razionali he sono olomorfe su A
Dimostrazione. .
Viene dal orollario3.0.13 ponendoP =C nA
Abbiamoottenuto osì il seguente risultato:
Teorema 3.0.15. Siano A aperto di C e K ompatto ontenuto in A, e sia
poi P C nK. Allora:
1. Ogni funzione in O(K) può essere approssimata uniformemente su K
da funzioniin C
P
2. Ogni funzione in O(K) può essere approssimata uniformemente su K
da funzioni razionali senza poli in A se e solo se ogni omponente
onnessa limitata di C nK interse a C nA
Dimostrazione. .
Viene dalle proposizioni 2.0.8 e2.0.9 e dai orollari3.0.13 e 3.0.14
.
Abbiamovistonel pi oloteoremadiRunge he sel'insiemeC nK è
on-nesso allora è possibile approssimare ogni funzione olomorfa uniformemente
su K tramite polinomi, vedremo ora, ome onseguenza del teorema
pre e-dente he valean he il vi eversa:
Proposizione 3.0.16. Sia K ompatto di C tale he ogni funzione 2O(K)
può essere approssimata uniformementesuK tramite polinomi,alloraC nK
è onnesso
Dimostrazione. .
Peril punto due del teorema 3.0.15prendendo A =C si ha he seogni
fun-zione2O(K)puòessereapprossimatauniformementesuK tramitefunzioni
razionalisenzapoli,ovvero tramitepolinomi,alloraogni omponente
limita-ta di C nK deve interse are l'insieme vuoto. Da iò segue hiaramente he
C nK non può avere omponenti limitate e poi hè sappiamo he C nK ha
una ed una sola omponenteillimitata,allora essa deve oin idere on tutto
Approssimazioni su insiemi aperti
Mentre no ad ora i siamo o upati solamente di approssimazioni su
insiemi ompatti,in questo apitolovedremo osa su ede suinsiemi aperti.
In parti olare er heremo di vedere ome diventano sugli aperti i teoremi
visti pre edentemente.
Quello hefaremoinrealtàsaràunageneralizzazionedeiteoremidi
approssi-mazione visti n ora in quanto er heremo, ssato un insieme aperto A, di
approssimareuniformementeognifunzione2O(A)suogni ompattoK
on-tenuto in A.
Ri ordiamo he abbiamo visto he se K è un ompatto ontenuto in A,
possiamo approssimare ogni funzione olomorfa su K on funzioni razionali
olomorfe suA se ogni omponente onnessa limitatadiC nK interse a
l'in-sieme C nA.
Osserveremo subito nel prossimo lemma he possiamo sempre estendere K
ad un nuovo ompatto H in modo he H sia an ora ontenuto in A e tale
he ogni omponente onnessa limitatadi C nH interse hiC nA.
A questo punto sappiamo he una funzione2O(A)può essere approssimata
Figura4.1: L'estensione di K adH on le aratteristi he ri hieste
Lemma 4.0.17. Sia A aperto di C, allora per ogni ompatto K ontenuto
in A, esiste un ompatto H ontenente K e ontenuto in A tale he ogni
omponente onnessa limitata di C nH interse a C nA.
Dimostrazione. .
FissiamoK ompatto ontenuto in A.
Osserviamo he seA =C, allorainquesto aso possiamos egliereun R >0
tale he K B(0;R ) e a questo punto possiamo porre H =B(0;R ); allora
hiaramente H èun ompatto ontenente K e ontenuto in A,inoltreC nH
non ha omponenti onnesse limitate; quindi possiamo assumere he A sia
0<r<dist(K;A).
Sia alloraM =fz 2A=dist(z;A)rg; hiaramentevale K M.
Inoltre M è un insieme hiuso in quanto sappiamo he la funzione distanza
è ontinua e quindi M è la preimmagine di un insieme hiuso tramite una
funzione ontinua. Sia ora D un dis o hiuso entrato nell'origine tale he
K D e de niamo H :=M\D.
Osserviamosubito he Hè ompattopoi hèintersezionedi hiusie ontenuto
inD he è limitato,inoltre H ontieneK poi hè sia M he D lo ontengono
mentre H è ontenuto inA poi hè loè M.
SiaalloraZ una omponente onnessa limitatadiC nH diversadall'insieme
vuoto, mostriamo he Z interse a l'insiemeC nA.
Per de nizione C nH = (C nM)[(C nD), ed inoltre C nD è onnesso e
illimitato;da queste ose ne viene he poi hè Z è una omponente onnessa
limitata deve essere Z C nM; infatti se osì non fosse si troverebbe un
insieme onnesso di C nH illimitatoe ontenente Z.
Sia allora w 2 Z; se w 2 C nA, siamo a posto in quanto ne segue he Z
interse a l'insiemeC nA.
Se inve ew2= CnA, allorapoi hèZ C nM, siha hew2(CnM)n(C nA).
Osservando he (C nM)n(C nA)=AnM, ne viene he w2AnM; da ui
perde nizione diM si ha he dist(w;A)<r.
Questo impli a he B(w;r)\C nA 6= ;, ovvero esiste v 2 B(w;r) tale he
v 2 C nA; per on ludere basta osservare he poi hè w 2 Z allora tutto
B(w;r)Z equindi in parti olare v 2Z.
In on lusione abbiamo quindi visto he ogni omponente onnessa limitata
di C nH interse al'insieme C nA.
.
Vale quindi ilseguente teorema:
Teorema4.0.18. SiaAapertodiC esiaK ompatto ontenutoinA ssato,
alloraogni funzione f 2O(A) può essereapprossimatauniformemente suK
tramite funzioni razionali olomorfe su A
Dimostrazione. .
Siaf 2O(A)esiaK l'insieme ompatto ontenutoinA. Perillemma4.0.17
il orollario 3.0.14 sappiamo he f può essere approssimata uniformemente
su H, ed inparti olare su K dafunzioni razionali he sono olomorfe suA.
Vogliamo ora trovare l'analogo del teorema di Runge visto nel se ondo
apitolo. Perfarequestori ordiamolade nizionedibu odiun insiemedata
nell'introduzione e di iamo he un insieme aperto A ha dei bu hi se esiste
almeno un bu o di A diverso dall'insieme vuoto.
Figura4.2: Z èun bu o dell'insiemeA
Osservazione 6. Se A èun aperto e Z è un bu o diA allora Z è un insieme
ompatto. Infatti perde nizione dibu o diA siha he Z èlimitato,inoltre
essendo una omponente onnessa di C nA si ha he Z è hiuso in C nA,
poi hè però A è un insieme aperto siavrà he Z è hiuso an he in C, da ui
ne segue he Z è ompatto.
Abbiamovistonellemma4.0.17 hepossiamosempreingrandireun
om-patto no adH dentro A no afare inmodo he ogni omponente onnessa
limitatadi C nH interse a l'insiemeC nA, vediamo ora nel seguentelemma
di C nH ontiene una omponente onnessa limitata diC nA.
Figura 4.3
.
Lemma 4.0.19. Sia A aperto di C, allora per ogni ompatto K ontenuto
Dimostrazione. Sel'insiemeAnonhabu hinon 'ènulladadimostrare,seA
habu his egliamoH ome nelladimostrazionedel lemma4.0.17,dobbiamo
solodimostrare heogni omponente onnessa limitatadiC nH ontieneuna
omponente onnessa limitata diC nA.
Sia allora Z una omponente onnessa limitata di C nH, sappiamogià he
essa interse al'insieme C nA; quindi esiste una omponenteS diC nA tale
he Z\S 6=;. Ora poi hè C nAC nH, siha he S è un insieme onnesso
di C nA.
Da questo ne segue he deve essereS Z; inoltrepoi hè Z è limitataan he
Slosarà,quindiin on lusioneogni omponente onnessalimitataZdiCnH
ontiene un bu o di A.
Possiamo ora vedere gli analoghi del pi olo teorema di Runge
sull'ap-prossimazione polinomialeedel teoremadiRunge del se ondo apitolo:
Teorema4.0.20. Teorema diapprossimazionepolinomialediRunge.
Sia A aperto di C tale he A non ha bu hi, allora ogni funzione f 2 O(A)
può essere approssimata uniformemente sui ompatti di A tramite polinomi
Dimostrazione. .
Siaf 2O(A)esiaK ompattodiA;siapoiH ompattode nito omenella
dimostrazione del lemma4.0.17. Vogliamovedere he C nH è onnesso.
Abbiam visto he C nH ha una ed una sola omponente illimitata, quindi
per far vedere he è onnesso i basterà far vedere he non ha omponenti
onnesse limitate.
Supponiamoperassurdo heZ siauna omponente onnessalimitatadiCnH
non vuota, alloraperil lemma4.0.17 esiste w2Z\C nA.
In parti olare quindi w apparterrà una omponente onnessa di C nA he
hiameremo S. Ora però, poi hè C nA C nH,si avrà he S è un insieme
onnesso diCnH equindiesisteZ 0
omponentediCnH ontenentel'insieme
S.
Ora però sia Z he Z 0
sono omponenti di C nH non disgiunte, in quanto
ontengono entrambew, quindi perde nizionedi omponenti onnesse deve
essere Z = Z 0
. In parti olare quindi si ha he S Z, da ui ne segue he
an he S è limitato e quindi S è una omponente non vuota e limitata di
C nA. In altre parole S è un bu o di A equesto ontraddi e leipotesi.
Abbiamoquindivisto he C nH è onnesso;aquestopuntosappiamogiàper
ilpi oloteoremasull'approssimazionepolinomiale hef puòessere
Teorema 4.0.21. Teorema sull'approssimazione razionale diRunge.
Sia A aperto di C tale he A abbia dei bu hie sia P C nA un insieme he
interse a ogni bu o di A.
Allora ogni funzione f 2 O(A) può essere approssimata uniformemente sui
ompatti di A tramite funzioni in C
P [z℄
Dimostrazione. .
Siaf 2O(A)esiaK ompattodiA; perillemma4.0.19esisteun ompatto
H ontenutoinAe ontenenteK tale heogni omponente onnessalimitata
di C nH ontiene un bu o diA.
Ovviamentene segue he ogni omponente onnessa limitatadiC nH
inter-se a l'insiemeP.
Allora ome onseguenza del teorema di Runge si ha he f può essere
ap-prossimata uniformementesuH,equindi inparti olaresuK, dafunzioni in
C
P [z℄.
Osservazione 7. Nelle ipotesi del teoremapre edente in realtàbasta he sia
la hiusura diP adinterse are ogni bu o diA, infatti:
Sia Z una omponente onnessa limitata di C nH e sia w 2 Z \P; poi hè
Z è aperto in C esiste > 0 tale he B(w;) Z; inoltre poi hè w 2 P
sappiamo he esiste una su essionew
n inP tale he w n !w;inparti olare esiste w n 2P \B(w;) P \Z.
In on lusione abbiamo visto he se la hiusura di P interse a ogni
ompo-nente onnessa limitatadi C nH allora lo stesso fa l'insiemeP.
Con ludiamoil apitolo on la seguenteproposizione:
Proposizione 4.0.22. Sia Aapertodi C, allora esistesempreun insiemeP
al più numerabile tale he ogni funzione f 2 O(A) può essere approssimata
uniformemente sui ompatti di A tramite funzioni in C
P [z℄
Dimostrazione. .
Se l'insiemeA non ha bu hi per ilteorema 4.0.20basta prendere P =;.
Se inve e A ha bu hi vediamo per prima osa he esiste sempre un insieme
he interse a tutti ibu hi diA, questo insieme è ilsuo bordo A.
SiainfattiZunbu odiA,ovverouna omponente onnessalimitatadiCnA,
e siano a 2 Z e b 2 A; sia poi il segmento di C he ongiunge a on b.
Se a 2 A, non 'è nullada dimostrare; supponiamo allora a 2= A, ovvero
a2C nA .
jj\C nA nonèvuotopoi hè ontienea,inoltreèapertoinjjpoi hè C nA
è aperto. Quindi poi hè C = A [ C nA
[A, se fosse jj\A = ; si
avrebbe he jj=(jj\A)[ jj\C nA
, ovvero jj si s riverebbe ome
unione didue aperti non vuotidisgiunti maquesto non può avvenire poi hè
jj è onnesso.
Quindi esiste 2jj tale he 2A.
Se esistessero più punti appartenenti aj\A indi hiamo on il primo in
modo heiltrattodisegmento he ongiungea on siatutto ontenuto in
C nA. A questo punto larestrizione del segmentojj daa a è un insieme
onnesso e non disgiunto da Z, quindi deve essere ontenuto in Z, da ui
segue he inparti olare 2Z\A.
Per on ludere basta osservare he poi hè Q Q è un insieme numerabile
e denso in C, allora in parti olare perA, esiste un insieme numerabile he
hiameremo P la ui hiusura è A e di onseguenza si può appli are il
Coppie di Runge
Il lo onduttore del apitolo sarà er are di apire quando due insiemi
aperti A eD sono tali he ogni funzione olomorfa suA può essere
approssi-mata uniformemente sui ompatti di A da funzioni olomorfe su D, dove D
ontiene A.
Se questo su ede, ome avevamo giàvisto nell'introduzione, si di e he A e
D formano una oppia di Runge.
Esempio 5.1. .
Il dis o unitario entrato nell'origine D e C formanouna oppiadiRunge.
Infatti poi hè ogni ompatto di Dè ontenuto inun opportuno dis o hiuso
ontenuto in D si ha he ogni funzione f 2 O(D) per il pi olo teorema
di Runge può essere approssimata uniformemente da polinomi, e quindi da
funzioni olomorfe suC, indipendentemente dalla s eltadel ompatto.
Esempio 5.2. .
Sia D
= fz 2 C =0 <jzj<1g, ovvero il dis o unitario privato dell'origine;
allora D
e C non sono una oppiadi Runge.
Infatti lafunzione f = 1 z è olomorfa suD , mentre l'insieme K =fz 2C =jzj =rg, on 0<r <1, è un ompatto di D , ma f non può
essere approssimata uniformemente su K da nessuna funzione olomorfa su
C.
Questopoi hè laformadierenzialeasso iataaduna funzioneintera èesatta
suC, essendo lo almenteesattasuunsempli emente onnesso; aquesto
pun-to basta ragionare ome visto nell'introduzione pervedere he una qualsiasi
funzione olomorfa su C non può approssimare uniformementesu un er hio
la funzione 1
z .
Daremo ora una aratterizzazione topologi adelle oppie diRunge.
Sura-Bura.
Lemma 5.0.23. SianoA eD due insiemiapertidi C tali he AD; allora
per ogni ompatto K aperto in DnA, esiste un aperto V ontenente K, la
ui hiusura è un insieme ompatto ontenuto in D e tale he V A
Figura 5.1: Nel aso in ui D = C, A è tutto C tranne due dis hi hiusi
disgiunti e K è uno dei due dis hi è fa ile trovare V on le aratteristi he
ri hieste
Dimostrazione. .
PoniamoB =(DnA)nK inmodo he si abbia DnA=K[B on K e B
disgiuntie B hiuso in DnA inquanto K èaperto in DnA.
Ora poi hè DnA è hiuso in D si ha he an he B è hiuso in D. Di
on-seguenza DnB èaperto in D è quindi inC.
hiusura sia an ora ontenuta in DnB.
SiaalloraV l'unionediquestidis hiemostriamo he V possiedeleproprietà
ri hieste. CertamenteV èaperto e ontieneK;inoltrela hiusuradiV èper
de nizione un insieme hiuso, limitato e ontenuto in DnB. In parti olare
la hiusura diV è un ompatto ontenuto in D.
In ne si ha he poi hè V \B = ;, in parti olare V \B = ;. Ma poi hè
K V an he V \K =; per iò V \DnA=;. Ma V D quindi deve
essere V A
Teorema 5.0.24. Teorema di Sura-Bura.
Sia X uno spazio topologi o di Hausdor e lo almente ompatto, allora ogni
omponente onnessa ompatta A di X ha una base di intorni ostituita da
insiemi ompatti he sono apertiin X
Dimostrazione. .
Mostriamo primail teoremanel aso parti olarein ui X sia ompatto.
SiaAuna omponente onnessa ompattadiX,indi hiamo onHlafamiglia
di tutti gliinsiemi ompattiF aperti inX e ontenenti A.
Osserviamo he in parti olare X 2 H. Indi hiamo on B l'intersezione di
tutti gli insiemiF 2H;allora B è ompatto e ontiene A.
Per dimostrare il teorema i basta allora mostrare he A = B e he ogni
insieme aperto diX he ontiene B ontiene an he un elemento diH.
Sia alloraU un aperto di X ontenente B, ertamente siha he
(X nU)\ \ F2H F ! =;
Ora, poi hè X è ompatto e U aperto, X nU è an ora ompatto e quindi
esistono F 1 ;:::;F p 2H tali he (X nU)\ p \ j=1 F j ! =; In on lusione si ha he T p j=1 F j 2H ed è ontenuta inU.
Mostriamo in ne he A = B. Poi hè A è una omponente onnessa e B
ontiene A basterà mostrare he B è onnesso.
SiaalloraB =B 1 [B 2 onB 1 eB 2
hiusi diX disgiunti;mostriamo he uno
dei due insiemideve essere vuoto.
Poi hè A = (A\B
1
)[(A\B
2
) e A è onnesso deve essere A = (A\B
1 )
quindi A B
1
. Ora osserviamo he per de nizione sia B
1
he B
2
sono
in-siemi ompattiequindi, essendo disgiuntied essendo lospazio diHausdor,
esistonodueinsiemiV
1 eV
2
apertidisgiuntidiX tali he B
1 V 1 eB 2 V 2 . Ora ertamente B (V 1 [V 2
), quindi per quanto visto sopra esiste un
in-sieme F 2H tale he B F (V
1 [V
2 ).
Vale allora he F \(X nV
2
) = F \V
1
, e indi hiamo tale insieme on W.
Poi hè sia F he XnV
2
sono insiemi ompattisi ha he W è ompatto;
inoltre poi hè sia F he V
1
sono aperti diX si ha he an he W è un aperto
di X; in ne poi hè A B F e A B 1 V 1 si ha he A W. Quindi W 2H e di onseguenza B W V 1 .
Da iò, e dal fatto he V
1 e V
2
sono disgiunti, ne segue he B \V
2
= ; e
quindi in parti olare B
2
= ;. In on lusione deve essere A = B e da iò
segue l'asserto.
Mostriamo ora il teoremanel aso generale.
Sia U un aperto diX ontenente A; poi hè X è lo almente ompatto e A è
ompatto esiste un insieme V aperto in X, ontenente A ela ui hiusuraè
un ompatto ontenuto inU.
Inoltre ertamenteAèan he una omponente onnessa diV. Allora,poi hè
V è unospazio topologi o ompatto di ui A ne èuna omponente onnessa
ompattaepoi hèV èunapertodiV ontenenteA,perquantogià
dimostra-to esiste un insieme B ompatto e aperto in V tale he A B V. Così
poi hèB èaperto inV,è apertoan he inV edi onseguenza èapertoinX.
In on lusione B è un aperto di X, ompatto e tale he AB U.
Corollario 5.0.25. Uno spaziotopologi oX di Hausdorelo almente
om-patto possiede delle omponenti onnesse ompatte se e solo se esistono
in-siemi non vuoti ompatti e aperti in X
Dimostrazione. .
Supponiamo he esista Z omponente onnessa ompatta diX, allora peril
teorema di Sura-Bura Z possiede una base di intorni ostituita da insiemi
ompattie aperti inX. In parti olarequindi esiste almeno un insieme
om-patto e aperto diX he ontiene Z equindi èdiverso dalvuoto.
Vi eversa supponiamo he esista un insieme A non vuoto he è ompatto e
aperto inX. Essendo ompatto, A è hiuso inX poi hè quest'ultimo è uno
spazio topologi o di Hausdor. Allora A è un insieme he è sia aperto he
hiuso in X e quindi hiuso in A essendo i ontenuto, inoltre A he è
om-patto; da iò segue he an he Z è un insieme ompatto e quindi Z è una
omponente onnessa ompatta di X
Teorema5.0.26. Caratterizzazione topologi a delle oppie diRunge.
Siano A e D due aperti di C on AD, allora A e D formano una oppia
di Runge se e solo se nello spazio DnA non i sono omponenti onnesse
ompatte.
Dimostreremo questo teorema inun aso an or più generale, vale infatti
il seguente teorema:
Teorema 5.0.27. Siano A e D due aperti di C on A D, le seguenti
aermazioni sono equiva-lenti:
1. A, D sono una oppia di Runge
2. Nello spazioDnA non i sono insiemi non vuoti ompatti e aperti
3. Nello spazioDnA non i sono omponenti onnesse ompatte
4. Ogni funzione f 2 O(A) può essere approssimata uniformemente sui
ompatti di A da funzioni razionali senza poli in D
Dimostrazione. .
1) ) 2) Sia K un sottinsieme di D n A ompatto e aperto, vogliamo
mostrare he K = ;. Per il lemma 5.0.23 sappiamo he esiste un insieme
aperto V ontenente K,la ui hiusura è un insieme ompatto ontenuto in
D e tale he V A.
Supponiamo ora per assurdo he esista un punto k 2 K; allora la funzione
(z k) 1
2 O(A); a questo punto, poi hè V è un insieme ompatto
on-tenuto in A sappiamo he esiste una su essione di funzioni g
n 2 O(D) tali he: lim n!1 (z k) 1 g n (z) V =0
Da questo segue he:
lim n!1 1 (z k)g n (z) V =0
Ora, poi hè V è un insiemelimitato, peril prin ipiodel massimo siha he:
lim n!1 1 (z k)g n (z) =0
Ma iòè impossibileessendo k 2K V. Così deve essere K =;
2))3) Direttamentedal orollario5.0.25
3) ) 4) Osserviamo innanzitutto he se l'insieme A ha dei bu hi allora
l'insieme C nD interse a ogni bu o di A. Infatti se esistesse Z omponente
onnessa elimitatadiC nA disgiuntadaC nD siavrebbe he Z èuninsieme
ompattoeZ DnA. Di onseguenza, poi hèDnAC nA, siavrebbe he
Z è una omponente onnessa ompatta di DnA ontrariamente a quanto
avevamo supposto.
Così C nD è un insieme ontenuto inC nA etale he interse atutti i bu hi
di A, alloradal teorema4.0.21 on P =C nD segue l'asserto.
Se inve e l'insieme A non ha bu hi per il teorema 4.0.20 ogni funzione
f 2O(A)puòessere approssimatauniformementesui ompattidiA tramite
polinomie quindi inparti olare tramitefunzioni razionalisenza poliinD
4) ) 1) Ovvia poi hè le funzioni razionali senza poli in D sono funzioni
olomorfe su D
Nel aso parti olarein uiun apertoAformi onC una oppiadiRunge,
ovvero A è una regione di Runge, vale il seguente teorema ome aso
parti- olare di quellopre edente.
Teorema5.0.28. Caratterizzazionetopologi a delleregionidiRunge.
Le seguenti aermazioni riguardo a un aperto AC sono equivalenti:
1. A è una regione di Runge
2. Non i sono insiemi aperti e ompatti 6=; nello spazio C nA
3. A non ha bu hi
Dimostrazione. .
1))2) è l'impli azione1))2) del teorema5.0.27 on D=C
2) ) 3) è l'impli azione 2) ) 3) del teorema 5.0.27 on D = C,
Appli azioni dei teoremi di Runge
In questo apitolo mostreremo varie appli azioni e utilizzi he sono stati
fatti dei teoremi diRunge edi altriteoremivisti nei pre edenti apitoli.
Partiamodalla seguenti sempli i onseguenze del pi olo teoremadi Runge.
Proposizione 6.0.29. Sia E il dis o unitario di C entrato nell'origine, e
sia K un ompatto ontenuto strettamente in E; allora esiste un polinomio
P tale he P(0)=1 e jPj
K <1
Dimostrazione. .
Poi hè K 6= E, allora C nK è onnesso; infatti sappiamo he sia E he
C nE sono onnessi perar hi ed inoltrepossiamo s egliereun segmento non
passante perK he ollegail entro del dis o onun puntoesternoaquesto;
osì siha he C nK è onnesso per ar hie quindi onnesso.
Sappiamo osì heperilpi oloteoremadiRungeesisteun polinomio e P tale he e P + 1 z K <1 inquanto lafunzione 1 z è olomorfasu K. Così ponendo P = 1 +z e
P si ottiene un polinomio tale he P(0) = 1 e
jPj
K <1
Osserviamoinoltre he l'ipotesi he K siadiverso daE è fondamentale
in quanto ogni polinomionon ostante tale he P(0) = 1 deve assumere sul
bordoal uni valoriinmodulo strettamentemaggioridi 1peril prin ipiodel
massimo inaperti limitati.
Proposizione 6.0.30. Sia E il dis o unitario di C entrato nell'origine, e
sia K un ompatto ontenutostrettamentein E; allora esistonoun intorno
aperto U di K e una funzione Q(z) = b
0 + b1 z +:::+ b k 1 z k 1 + 1 z k , on k 1, tale he jQj U <1
Dimostrazione. .
Per quanto vistonella proposizione pre edente sappiamo he esiste un
poli-nomio P(z)=1+a 1 z+:::+a k z k tale he jPj K <1. Poniamo allora Q(z) = P(z)=z k
, osì su K, essendo jzj 1, ontinua a
valerejQj
K
<1;inoltreper ontinuità esisteunintornoapertoU diK in ui
ontinua avalere jQj U <1 Proposizione 6.0.31. Siano A 1 ;:::;A k ;B 1 ;:::;B l insiemi ompatti di C e a
due a due disgiunti; supponiamo inoltre he C n(A
1 [:::[B l ) sia onnesso e siano u 1 ;:::;u k ;v 1 ;:::;v l funzioniolomorfe su C.
Allora per ogni due numerireali positivi e M esisteun polinomioptale he
ju j +pj A j ; 1j k e minfjv i (z)+p(z)j = z 2B i gM; 1il Dimostrazione. . Sia K :=A 1 [:::[B l
. Per ipotesi C nK è onnesso ed inoltre essendo gli
insiemi hiusi eadue aduedisgiunti,lafunzione hde nita omeu
j sugliA j e ome v i M suiB i èolomorfa su K.
Così peril pi oloteorema diRunge esiste un polinomioptale he
jh+pj K . In parti olareper1j k siha ju j +pj A j . Inoltre, poi hè v i +p=M ++h+p suB i
, si ha he per ogni z 2B
i on 1il vale: jv i (z)+p(z)jM + jh(z)+p(z)j M
Sappiamo he se una su essione di funzioni olomorfe su un aperto A
onverge uniformemente sui ompatti di A ad una erta funzione f allora
an he f è una funzioneolomorfa su A.
Mostreremo ora he l'ipotesi he la onvergenza sia uniforme è
fondamen-tale; infatti utilizzando an ora il pi olo teorema di Runge troveremo una
su essione di polinomi, e quindi di funzioni olomorfe in C, he onverge
puntualmenteinC adunafunzionenon ontinuaequindinean heolomorfa.
Più pre isamente valeil seguente teorema:
Teorema 6.0.32. .
Sia R +
:= fx 2 R : x 0g. Esiste una su essione di polinomi p
n on le seguenti proprietà: 1) lim p n (0)=1; lim p n (z)=0 8z 2C nf0g
2) lim n!1 p (k) n (z)=0 8z 2C e 8k 1 3) ogni su essione p (k) 1 ;p (k) 2 ;:::;p (k) n
;::: on k 2 N, onverge uniformemente
sui ompatti di C nR +
, ma nessuna onverge uniformemente sui ompatti di
un qualunque intorno di un qualsiasi punto di R +
Per ladimostrazionedel teoremarisulta ne essario ilseguente lemma:
Lemma 6.0.33. Sia K un ompatto ontenuto in A aperto di C, per ogni
interopositivon esisteuna ostanteC
n
dipendentesolodan;K eA tale he:
sup K f (n) C n sup A jfj Dimostrazione. . Poniamo d= 1 2 min z2K fdist(z;A)g
Poi hè K è un ompatto ontenuto in A e la funzione distanza è ontinua
ertamente si ha d > 0. Poniamo C n = n! d n
, allora ssato arbitrariamente
s 2K siha he B(s;d)A osì vale:
f (n) (s)= n! 2i Z B(s;d) f(z) (z s) n+1 dz
Ora poi hè jz sj=d per z2B(s;d) siha:
jf (n) (s)j n! 2 2d d n+1 max jz s=dj jf(z)jC n sup A jfj
Essendo s arbitrarioin K ne segue latesi
Dimostrazione. (teorema 6.0.32).
SiaB
n
(0)ildis odiC entratonell'origineediraggion, onn2N. Poniamo
I n = n z 2B n
(0) tali he dist(z;R + ) 1 n o e K n =0[ 1 n ; n [I n . Si ha he l'insiemeK n è ompatto e C nK n
Figura 6.1
Costruiamo ora dei rettangoli ompattiR
n e S n rispettivamente attorno all'origineeall'intervallo 1 n ; n
inmodotale heR
n ;S n eI n+1 sianoaduea
due disgiunti. De niamo ilseguenteinsieme ompatto L
n :=R n [S n [I n+1 ; L n èallora un intornodiK n tale he K n L n . L'insiemeC nL n è onnesso. Figura6.2: R n è il rettangolo azzurroe S n è quellorosso
Possiamo quindi de nirela seguente funzioneolomorfa suL
n : g n (z):=0 perz 2L n nR n e g n (z):=1 per z 2R n .
Così peril pi oloteorema diRunge, per ogni n2N esiste un polinomiop
n tale he jp n g n j Ln 1 n .
Ora poi hè K è un ompatto ontenuto in
ha he esiste una ostante C n , dipendentesolamentedan;K n eL n tale he: sup K n p (k) n g (k) n C n sup L n jp n g n j Inoltre, poi hè g (k) n =0 su L n
, possiamo s eglierei polinomi p
n in modo he valga an he p (k) n K n 1 n per k=1;:::;n; n2N. Così, poi hè S K n =C, siottengono le tesi 1)e 2).
Osserviamoora heper ostruzione,ogni su essionep (k)
n
onverge
uniforme-mentea zero sui ompattidiC nR, inquantoogni ompatto di taleinsieme
è ontenuto nei K
n
daun erto n in poi.
La su essione di polinomi p
n
inve e, non può onvergere uniformememente
innessun dis o ompatto entrato nell'origineinquanto onverge auna
fun-zione dis ontinuanell'origine.
Inoltre tale su essione non può onvergere uniformemente in nessun dis o
ompatto entrato inun punto x>0. Infattise a adesse iò, lasu essione
sarebbe uniformemente onvergentesul er hio entratonell'origineedi
rag-gio x (vedi gura 6:1). Allora per il prin ipio del massimo la su essione
sarebbe uniformemente onvergente su tutto il dis o entrato nell'origine e
di raggio x,masappiamo he iò non èpossibile.
Abbiamo quindi visto he la su essione p
n
non può onvergere
uniforme-mentesui ompattidiun qualunque intorno diun qualsiasipunto diR +
.
Per on ludere la dimostrazione basta osservare he da sopra ne segue he
an he ogni su essione p (k)
n
non può onvergere uniformementesui ompatti
di un qualunque intornodi un qualsiasipunto diR +
. Questo poi hè sef 0
n è
una su essionedifunzioniolomorfe he onvergeuniformementesuundis o
ompatto di entro x 0 aduna funzionef 0 e f n
èuna su essione diprimitive
puntualmente onvergente allafunzione f, allora la su essione f
n
onverge
an he uniformementesul dis o ompatto adf. Infatti ertamentevale:
f n (z)= Z [x0;z℄ f 0 n (s)ds +f n (x 0 )
Così sul dis o ompatto f
n
onverge uniformementealla funzione
Z [x 0 ;z℄ f 0 (s)ds +f(x 0 )=f(z)
Vogliamoin ne appli are iteoremidiRunge perdare una dimostrazione
abbastanza sempli e(tratta da[Rudin℄) del teoremadi Mittag-Le er .
Teorema 6.0.34. Teorema di Mittag-Le er.
Sia A aperto di C e sia T A un insieme senza punti d'a umulazione.
Supponiamo he ad ogni punto t 2 T sia asso iato un intero positivo n
t e
una funzione razionale
R t (z)= n t X j=1 a t;j (z t) j
Alloraesisteunafunzionef meromorfasuA,i uipolisonotutti esolamente
i punti di T e tale he in ogni punto t2T la sua parte prin ipaleè R
t
Dimostrazione. .
Prima di tutto ostruiamouna su essionedi insiemi ompattidiA
K
1 K
2
::: tali he ogni ompatto di A sia ontenuto in un opportuno
K
m .
Per il lemma 4.0.17 possiamo supporre he ogni omponente onnessa
limi-tata di C nK n interse hi l'insiemeC nA. PoniamoT 1 =T \K 1
eperogni n 2 poniamoT
n =T \(K n nK n 1 ). Ora poi hè i T n
sono sottoinsiemi dei ompatti K
n
senza punti di
a umu-lazione si ha he essi devono essere insiemi niti. De niamo
Q n (z) = X t2T n R t (z) 8n2N Poi hèiT n
sonotuttiinsiemi nitisiha heogniQ
n
èunafunzionerazionale
epern 2siha he isuoipolistannonell'insiemeK
n nK n 1 . Inparti olare la funzione Q n èolomorfa su K n 1 .
Quindi per il orollario2.0.6 esiste una funzionerazionale S
n olomorfasu A tale he: jS n Q n j Kn 1 <2 n .
De niamo allora suA la funzione f ome segue e mostriamo he ha le
pro-prietà ri hieste: f(z)=Q 1 (z)+ 1 X n=2 (Q n (z) S n (z)) Fissato N 2N si ha: f(z)=Q 1 (z)+ N X n=2 (Q n (z) S n (z))+ 1 X (Q n (z) S n (z))
Quindi sull'insieme K
N
la serie è limitata per quanto visto prima e di
on-seguenza siha he la serie onverge uniformemente suK
N .
In parti olare la se onda somma onverge uniformemente ad una funzione
olomorfa nell'interno di K
N
. Inoltre poi hè gli S
n
hanno poli fuori da A la
funzione: f (Q 1 +Q 2 +:::+Q N )èolomorfanell'internodiK N . Cosìf hapre isamente
le parti prin ipali ri hieste nell'interno di K
N
, e a ausa dell'arbitrarietà di
Carl Runge (1856-1927)
CarlRunge nas e aBremail 30Agosto 1856 inuna famigliabenestante,
suo padreeraun importantemer ante. Con luseles uoleprimarie,nel 1876
Runge si is rive all'università di Mona o dove dopo una breve parentesi di
studi lassi i si is rive alla fa oltà di si a e matemati a. Qui seguirà le
lezioni assieme ad un ompagno del alibro di Max Plan k di ui diventerà
ami o e lorimarrà peril resto della sua vita.
Nel 1877 Runge si trasferis e a studiare all'università di Berlino dove, dopo
aver assistito alle lezioni di Karl Weierstrass, de ide di dedi arsi alla
mate-mati a pura.
Nel 1880 presentaa Berlinolasua tesi di dottorato sullageometria
dieren-zialedopodi hè rimastoaBerlino,iniziaa ollabore onLeopoldKrone kere
lavora suun metodopertrovare numeri amentela soluzionediequazioni
al-gebri hele uiradi ivenivanoespresse omeseriein nitedifunzionirazionali
dei oe ientidell'equazione.
All'inizio della sua arriera, Carl Runge, è molto restio a pubbli are i suoi
lavori,ma poi onos iuto e diventato ami o del matemati o svedese
Mittag-Le er de idedipubbli are isuoi lavoriindiversi arti oli he apparirono nel
1885 sulla rivista dellostesso Mittag-Le er: A ta Mathemati a.
Nel 1886 Runge ottiene la attedra di matemati a presso l'università della
te ni a diHannover, dove rimarràper ben di iotto anni.
Ad Hannover Runge si allontana dalla matemati a pura e sposta i suoi
stu-di sull'astro si ae laspettros opia, inparti olare Runge inizia astudiarele
lunghezzed'ondadellelineespettralidivarielementi himi i. Durantequesti
anni dilavoro Rungepubbli heràmoltilavorisuquesti argomentima
Nel 1904 si trasferis e a Gottinga dove ottiene la attedra di matemati a
appli ata. Qui ontinua ad insegnare no al 1925 anno in ui si ritira
dal-l'insegnamtento.
Due anni dopo, il3 Gennaio 1927, Carl Runge muore a Gottinga olpito da
[Remmert℄ReinholdRemmert,Classi altopi sin omplexfun tion
the-ory,
Springer-Verlag, 1998.
[Rudin℄ Walter Rudin, Real and omplex analysis, M Graw-Hill,1970.
[Runge℄ Carl Runge, ZurTheorie der analytis hen fun tionen
a ta mathemati a , volume 6, numero 1, Institut Mittag-Le er,
1885.
J.J. O'Connor e E.F.Robertson, Carl Runge Biography
