Teoremi sulle funzioni derivabili

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Esercizi di riepilogo e complemento 9

Teoremi sulle funzioni derivabili

1. Determinare i valori di x per i quali le funzioni a) f(x) = x

^x

, x ∈ R

⁺

;

b) f(x) = log x

^x

− 1

x

^x

, x ∈ (1, +∞);

c) f(x) = sin 2x − 10 sin x + 6x − 1, x ∈ R;

d ) f(x) = arcsin

1 − 4x

²

, x ∈

− 1 2 , 1

2 , f(x) ∈ 0 , π

2 sono crescenti o decrescenti.

2. Considerato il polinomio a coeﬃcienti reali f(x) = a

n

x

ⁿ

+ a

n−1

x

ⁿ⁻¹

+ · · ·+a

1

x, n ∈ N, e supposto che sia f(x

0

) = 0 per un certo x

0

> 0, dimostrare che la funzione f

( x) si annulla in almeno un punto x ∈ (0, x

0

) .

3. Data la funzione

f(x) = 1 + x

^m

( x − 1)

ⁿ

, m ∈ R

⁺

, n ∈ N, x 0, mostrare che f

( x) si annulla in almeno un punto interno a [0, 1].

4. Data la funzione f(x) = x

³

, x ∈ [−1, 1], determinare i punti ξ di cui parla il teorema di Lagrange.

5. Data la funzione f(x) = x

²

, x ∈ [a, b], determinare i punti ξ di cui parla il teorema di Lagrange e interpretare geometricamente il risultato cos`ı ottenuto.

6. Dimostrare che la funzione f(x) =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎩

3 − x

²

2 per x ∈ [0, 1]

1 x per x ∈ [1, +∞),

` e derivabile nel proprio dominio e calcolare i punti ξ, di cui parla il teorema di Lagrange, relativi all’intervallo [0 , 2].

7. Dimostrare le seguenti disuguaglianze a) tg x > x + x

³

3 , x ∈ 0 , π

2 ;

b) x − x

³

6 < sin x < x, x ∈ R

⁺

. 8. Dimostrare la disuguaglianza

( x

^α

+ y

^α

)

^1/α

> (x

^β

+ y

^β

)

^1/β

, x, y ∈ R

⁺

, 0 < α < β.

9. Dimostrare la disuguaglianza tg x

2

tg x

1

> x

2

x

1

, 0 < x

1

< x

2

< π

2 .

1

(2)

10. Dimostrare, applicando il teorema del valor medio, le disuguaglianze a) rα

^r−1

( β − α) < β

^r

− α

^r

< rβ

^r−1

( β − α), 0 < α < β, r ∈ R\[0, 1], b) rα

^r−1

( β − α) > β

^r

− α

^r

> rβ

^r−1

( β − α), 0 < α < β, r ∈ (0, 1).

11. Dimostrare le disuguaglianze β − α

β log β

α β − α

α , 0 < α β.

12. Dimostrare la disuguaglianza β − α

cos

²

α tg β − tg α β − α

cos

²

β , α, β ∈ 0 , π

2 .

13. Dimostrare che non si pu`o applicare la regola di De L’Hˆopital al calcolo dei seguenti limiti:

a) lim

x→0

x

²

sin

_x¹

log(1 + x) b) lim

x→0

x

⁴

cos

¹_x

x

³

c) lim

x→+∞

x

²

x + sin x cos x d ) lim

x→−∞

e

^2x

(cos x − 2 sin x) + e

^−x²

sin

²

x e

^x

(cos x − sin x)

e) lim

x→+∞

1 + x + sin x cos x e

^{sin x}

( x + sin x cos x) f ) lim

x→+∞

x

e

^{sin x}

( x + sin x cos x)

14. Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di De L’Hˆopital:

a) lim

x→1

(log x)

^1/3

+ (1 − x

²

)

^2/3

[sin(1 − x)]

^1/3

b) lim

x→0

(1 + x)

^1/x

√

1 + x − e x

²

c) lim

x→1

log | log x|

log | sin(x − 1)|

d ) lim

x→+∞

a

^x

arctg (1 − a

^1/x

) e) lim

x→0⁻

e

^x+1/x

1 − 1 x

²

f ) lim

x→0

1 x − cotg x g) lim

x→0

1 1 − cos x − 2 x

²

2

(3)

h) lim

x→+∞

x − x

²

log

1 + 1

x

i ) lim

x→0

1 x − 1

e

^x

− 1

l ) lim

x→1

1 log x − 1 x − 1

m) lim

x→0

1 log( x + √

1 + x

²

) − 1 log(1 + x)

n) lim

x→0⁺

x

^x^x⁻¹

o) lim

x→0⁺

(cotg x)

1/ log sin x

p) lim

x→0

(cos x)

^{cotg x}

q) lim

x→0

(1 − sin

²

3 x)

^cotg²^x

r ) lim

x→0

(1 + x)

^1/x

e

_1/x

15. Determinare l’ordine di inﬁnitesimo, per x → 0, delle funzioni seguenti:

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