Teoremi sulle funzioni derivabili

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Dimostrazioni 2

Teoremi sulle funzioni derivabili

Teorema 1 (di Darboux) Se la funzione f di dominio [a, b] `e ivi derivabile e f
( a)
= f
( b), la f
( x) assume qualunque valore compreso tra f
( a) ed f
( b).

dimostrazione

Consideriamo dapprima una funzione F di dominio [a, b], ivi derivabile e tale che F
( a) F
( b) < 0.

Supponiamo, per fissare le idee, che F
( a) > 0, F
( b) < 0. La F risulta quindi crescente in a e decrescente in b, pertanto assume il suo massimo assoluto in almeno un punto ξ ∈ (a, b). Segue F
( ξ) = 0.

Ci` o premesso, consideriamo la funzione G(x) := f(x) − mx, x ∈ [a, b], essendo m un numero compreso tra f
( a) ed f
( b). Poich´e G
( x) = f
( x) − m assume valori di segno opposto in a ed in b, esister` a, per quanto dimostrato in precedenza, almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale che G
( ξ) = 0, ossia f
( ξ) = m.

2 Vale la seguente proposizione, che costituisce una estensione del teorema di Rolle:

Proposizione 1 Sia f una funzione a valori reali definita su un intervallo limitato o illimitato ( a, b), ivi continua, dotata di derivata (finita o infinita) e verificante la condizione

x→a lim

f(x) = lim

x→b

f(x). (1)

Allora esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale che f
( ξ) = 0.

dimostrazione

Osserviamo che non pu` o essere f
( x) > 0 ∀x ∈ (a, b), o f
( x) < 0 ∀x ∈ (a, b), perch`e la funzione f sarebbe strettamente monot` ona nell’intervallo ( a, b) e quindi non potrebbe essere verificata la (1).

Vi sono pertanto in ( a, b) due punti x 1 , x 2 , con x 1 < x 2 , tali che f
( x 1 ) f
( x 2 ) < 0. Per il teorema di Darboux, esiste almeno un punto ξ ∈ (x ₁ , x ₂ ) tale che f
( ξ) = 0.

2 Il seguente teorema di Peano costituisce una estensione del teorema di Cauchy:

Teorema 2 Se le funzioni f, ϕ, di dominio [a, b] sono derivabili in (a, b) e continue in a e b, esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale che

f
( ξ) ϕ
( ξ) ψ
( ξ) f(a) ϕ(a) ψ(a) f(b) ϕ(b) ψ(b)

= 0 . dimostrazione

Consideriamo la funzione

F (x) =

f(x) ϕ(x) ψ(x) f(a) ϕ(a) ψ(a) f(b) ϕ(b) ψ(b)

= 0 .

di dominio [ a, b]. Per le ipotesi fatte, la F `e derivabile in (a, b) e continua in a e in b. Osservato inoltre che F (a) = F (b) = 0, per il teorema di Rolle esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale che F
( ξ) = 0. La tesi segue osservando che

F
( x) =

f
( x) ϕ
( x) ψ
( x) f(a) ϕ(a) ψ(a) f(b) ϕ(b) ψ(b)

,

come si dimostra facilmente sviluppando il determinante secondo la prima riga con il metodo di Laplace.

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