2°_prova_in_itinere_26-06-12_a.pdf

Politecnico di Milano

Fondamenti di Fisica Sperimentale

a.a. 2011-2012 - Facoltà di Ingegneria Industriale - Ind. Aero-Energ-Mecc

II prova in itinere - 26/06/2012

Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola e firmare ogni foglio.

1.

a) Si ricavi il teorema di Gauss (limitatamente ad una superficie sferica di integrazione) e lo si commenti adeguatamente.

b) Una sfera di raggio R ha una carica positiva 2q distribuita al suo interno con densità omogenea; una carica -q viene poi distribuita sulla sola superficie esterna della sfera. Calcolare il campo elettrico e il potenziale creati da tale distribuzione di carica in tutto lo spazio.

c) Rappresentare il grafico del campo elettrico e del potenziale calcolati al punto b).\

2. Un generatore è connesso a due condensatori aventi capacità C1 = 2500 pF e

C2 = 1500 pF, collegati in serie, e mantiene una differenza di potenziale V0 = 400 V

costante. La lastra di dielettrico di costante dielettrica relativa εr = 5, che riempiva

completamente lo spazio tra le armature del condensatore C1, viene estratta. Calcolare:

a) nella configurazione iniziale in cui la lastra di dielettrico è ancora all’interno del condensatore C1: la capacità equivalente C dell’insieme dei condensatori C1 e C2,

l’energia U spesa dal generatore per caricare l’insieme dei due condensatori, la carica totale Q trasferita dal generatore.

b) le variazioni delle quantità al punto a) tra la configurazione finale, ottenuta rimuovendo la lastra, e la configurazione iniziale;

3. Un protone (q = 1.60∙10-19 C; m = 1.67∙10-27 kg) è emesso da una sorgente S alla velocità v0 = 20 km/s, e poi accelerato da una differenza di potenziale ΔV = 8 V

verso una regione nella quale è presente un campo magnetico uniforme B = 0.2 T ortogonale alla velocità della particella. Entrata nella regione, la particella prosegue il suo moto colpendo lo schermo in un punto ad una distanza x dal foro di entrata nella regione. Calcolare

a) la velocità v1 della particella quando entra nella regione col campo magnetico;

b) il tempo Δt di percorrenza da tale istante sino a quando colpisce lo schermo; c) la distanza x alla quale la particella colpisce poi lo schermo.

4. Una mole di gas perfetto monoatomico di volume iniziale V0 compie un ciclo reversibile costituito da tre

trasformazioni: una espansione adiabatica dallo stato 1 allo stato 2, una isoterma da 2 a 3 ed una isocora da 3 ad 1. a) Si dia la definizione di rendimento,

b) Si dia una rappresentazione grafica del ciclo,

c) Si trovi l’espressione analitica del rendimento del ciclo in funzione delle temperature T1 e T2 e dei volumi V1, V2.

d) Si calcoli il valore numerico del rendimento sapendo che a seguito della trasformazione adiabatica la temperatura si dimezza. V0 C2 C1 ΔV q x B S 2q R -q

Soluzioni 1. b) Campo elettrico 2 in 0 q E dS = E 4πr = ε ⋅

∫

r r

Ñ

in 2 0 q 1 E = 4πε r r≥R: q = 2q - q = q _in in 2 2 0 0 q 1 1 q E = = 4πε _r 4πε _r r≤R: _in 3 3 3 3 2q ₄ 2q q = ρV = ₃πr = r 4 πR₃ R 3 3 in 2 2 3 0 0 0 r 2q q 1 1 _R 1 2q E = = = r 4πε r 4πε r 4πε R Potenziale r dV E = -dr ΔV = dV = - E dr

∫

∫

r r≥R: V r r 0 dV = - E dr ∞

∫

∫

r 2 0 0 1 1 1 q V = - q dr = 4πε r 4πε r ∞

⌠



⌡

( )

0 1 q V R = 4πε R r≤R:

( )

V r r V R R dV = - E dr

∫

∫

( )

3 r 3 2 2 22 0 0 0 0 R 1 2q 1 q 1 2q r R 1 q r V = V R - r dr = - - = 2 - 4πε _R 4πε R 4πε _R 2 2 4πε R _R                

∫

c) Grafici O R r E 1 4 1 4 2 O R r V 1 4 1 4 2

2. a) Situazione pre-estrazione 1 2 1 2 C C C = = 938 pF C + C 0 Q = CV = 375 nC U = 1CV = 75 μJ₀2 2 b) Situazione post-estrazione 1 2 r 1 2 r C _C ε C' = = 375 pF C _{+ C} ε 0 Q' = C'V = 150 nC = = 30 μJ Variazioni ΔC = C’ – C = -563 pF ΔQ = Q' - Q = -225 nC _{= − = -45 μJ} 3.

a) Velocità:

Dall’energia cinetica: 0 0 1 U + K = K qΔV + 1mv₀2 = 1mv₁2 2 2 = + = 44 km/s

b) Distanza:

Raggio della circonferenza percorsa

2 1 1 v qv B = m R = =2.3 mm x = 2 R = 4.6 mm

c) Tempo di percorrenza

Δt = s / v1 = πR / v1 = 0.16 μs

4. a)

η ≡ Ltot / Qass b)

Adiabatica 1 → 2: Q = 0, L = -ΔU > 0 ΔU = n cV (T2 – T1) < 0

Isoterma 2 → 3: Q = L = n R T2 ln(V3 / V2) < 0 ΔU = 0

Isocora 3 → 1: Q = ΔU > 0 L = 0 ΔU = n cV (T1 – T3) > 0

c) Ltot = L1→2+L2→3 = - n cV (T2 – T1) + n R T2 ln(V3 / V2) Qass = Q3→1 = n cV (T1 – T3) T2 = T3; V1 = V3 = 1 − ₍ ln( _– / ₎) OSS.: η < 1 d) T2 = T1 / 2

Dall’equazione dell’diabatica reversibile T V γ - 1 = cost, dove per un gas monoatomico cV = 3 R / 2, cp = cV + R = 5 R / 2

γ = cp / cV = 5/3:

V2 / V1 = (T1 / T2)1/(γ - 1) = (2)3/2 = 2.82

(da cui anche p1 / p2 = (T1 / T2) (V1 / V2)= 2 x 2.82 = 5.6)

Da cui: = 1 + ₍ ln( _– / _{) = 1 −}) 2 × 1.04 ₃ ≅ 0.31 V O p 1 2 3