CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova di FISICA del 21 Settembre 2004
1) Un bambino, partendo da fermo, scivola senza attrito da un’ altezza h=3 m lungo uno scivolo curvo.
Al termine dello scivolo il bambino viene lanciato in acqua da un’altezza h/5, con un angolo di inclinazione θ=300 rispetto all’orizzontale, come mostrato in figura.
Si calcoli:
a) la velocità del bambino, componente x ed y, al momento del lancio in acqua.
b) la massima quota y raggiunta in aria dal bambino dopo il lancio dallo scivolo.
2) Nell'origine O degli assi (x,y) è fissata una particella carica positivamente con carica +Q = 2 10-8 C.
Una carica di prova positiva +q = 4 10-16 C, si sposta dal punto A=(2m, 1m) al punto B=(4m, 1m).
Si calcoli:
a) il modulo del campo elettrostatico nel punto A;
b) il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica durante lo spostamento della particella da A a B;
c) SOLO PER I QUINQUENNALI:
il flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie sferica di raggio pari a 0.1 m e centro O.
(Nota: ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2)
3) Una sferetta cava di raggio r = 4 cm e massa m = 10 g viene mantenuta totalmente immersa in un recipiente pieno di acqua, nel punto A ad una profondità h = 50 cm.
a) si calcoli la forza che occorre esercitare per mantenerla ferma in A;
b) si determini in quale direzione e verso si muoverebbe la sferetta qualora venisse lasciata libera di muoversi dal punto A in cui si trova, e si calcoli inoltre la velocità che avrebbe qualora raggiungesse il punto B, che dista da A di d = 10 cm.
(Nota: Le posizioni A e B sono quelle del centro della sferetta. Supporre l'acqua un fluido ideale) 4) Un gas perfetto monoatomico (n=2 moli) passa dallo stato iniziale A a quello finale D compiendo le
trasformazioni reversibili AB (isocora con aumento di pressione), BC (isoterma) e CD (isobara).
Inoltre in A è pA = 6 10 3 N/m2 , VA = 1 m3 , pC=pA =pD , VC=3 VA e VD=4VC.
a) Si rappresenti nel diagramma (p,V) la trasformazione ABCD e si calcoli il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione ABCD;
b) Si calcoli la variazione di energia interna del gas tra lo stato iniziale A e quello finale D.
(Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole)
SCRIVERE IN MODO CHIARO
GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE
NON DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) La velocità di lancio al termine dello scivolo può essere determinata applicando il principio di conservazione dell’energia (energia cinetica + energia potenziale gravitazionale) tra il punto iniziale a quota h ed il punto finale a quota h/5:
Il modulo v della velocità al momento del lancio dallo scivolo è quindi pari a:
s m m
s m gh
h g
v (9.8 / ) 3 6.9 /
5 8 5
) 8 5 (4
2 = = 2 ⋅ ≈
=
Le componenti x ed y della velocità al momento del lancio, sono quindi:
s m s
m s
m v
v
s m s m s
m v
v
y x
/ 5 . 3 ) / 9 . 6 2( ) 1 30 )(sin / 9 . 6 ( sin
/ 6 ) / 9 . 6 2 ( ) 3 30 )(cos / 9 . 6 ( cos
0 0
≈
=
=
=
≈
=
=
= θ
θ
b) La massima altezza raggiunta dal bambino dopo il lancio può essere nuovamente ricavata applicando il principio di conservazione dell’energia tra il punto iniziale (a quota h/5) ed il punto di quota massima y, in corrispondenza al quale il bambino possiede solo velocità lungo l’asse x e non y:
Esplicito ora nella espressione precedente le componenti in x ed y della velocità iniziale e finale, tenendo presente che nel punto finale (a quota y) la velocità lungo y è nulla, mentre la componente in x è la medesima del punto iniziale, trattandosi di un moto parabolico (tipo proiettile) in cui l’unica accelerazione che compare è quella gravitazionale g lungo y:
m m s
s m m v h
y g
h mgy mg mv
mgy v
h m mg v
v m
y y
x y
x
2 . 5 1 ) 3 / 5 . 3 )( / 8 . 9 ( 2
1 5
2 1
5 2
1
) 0 2 (
1 ) 5
2 ( 1
2 2
2 2
2 2
2
≈ +
= +
=
= +
+ +
= +
+ mgh mv
mg h mv mgh
U K U K
E E
fin fin in in
fin in
5 4 2
1
5 2
0 1
2
2
=
+
= +
+
= +
=
mgy h mv
mg mv
U K U K
fin in
fin fin in in
+
= +
+
= +
2 2
2 1 5 2
1
Alternativamente, la quota massima y, raggiunta in volo dal bambino, può essere ricavata utilizzando le equazioni relative al moto del proiettile:
m m s
m s m h
g 1.2
5 3 / 8 . 9 2
) / 5 . 3 ( 5 2
sin h/5 v
h
y 2
2 2 2
max + ≈
= × +
= +
= θ
ove con
g h v
2 sin2
2 max
= θ si indica l’altezza massima raggiunta nel moto in aria, parabolico, calcolata rispetto alla quota h/5 di partenza.
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) Il campo elettrostatico E è generato dalla carica +Q, sorgente di campo.
Il modulo di E nel punto A di coordinate (2m,1m) è dato da:
C
N C
N OA
Q OA
k Q
E e 36
) 1 4 (
10 10 2
) 9 ( 4
1 )
( 2
8 9
2 0
2 =
+
× ×
=
=
= −
πε r
b) Il lavoro L compiuto dalla forza elettrostatica per spostare la carica di prova +q da A a B è uguale ed opposto alla variazione di energia potenziale elettrostatica U fra i punti A e B:
J J
J OB J Qq OA
OB Qq OA
OB k k Qq OA k Qq
B U A U U L
e e
e
15 15
15
16 8
9 0
10 8 . 14 85 10
23 . 2 12 . 72 4 17 10
5 5 72 17
1 16
1 1 4 ) 1 10 4 ( ) 10 2 ( ) 10 9 1 ( 1 4
1
1 1 )
( ) (
) ( ) (
−
−
−
−
−
×
=
×
−
×
=
×
−
×
=
− +
× +
×
×
×
×
×
=
−
=
−
=
−
=
−
=
∆
−
=
πε
c) SOLO PER I QUINQUENNALI:
In base al Teorema di Gauss, il flusso del campo elettrico E attraverso una superficie chiusa qualsiasi dipende solo dalla carica elettrica contenuta all’interno della superficie stessa. In questo caso tale carica è data dalla carica sorgente Q:
C
Nm C
Nm C E Q
2 4 2
2 12 8
0
10 23 . 10 0
85 . 8
10 ) 2
( = ×
×
= ×
=
Φ − −
ε v
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) La sferetta si mantiene ferma in A se la risultante delle forze agenti su di essa è nulla:
Frnet =Frapp +Frg +FrA =0
ove Fg ,FA ed Fap ,indicano rispettivamente la forza peso, la spinta di Archimede e la forza che si deve applicare per mantenere la sferetta in equilibrio.
Proiettando l’equazione precedente lungo l’asse y si ottiene:
−Fapp −Fg +FA =0 ⇒ Fapp =FA−Fg ove:
N s
m kg
mg F
N s
m m m
g kg r F
g
O H A
098 . 0 ) / 8 . 9 ( ) 10 10 (
63 . 2 ) / 8 . 9 ( ) 10 4 3 ( 10 4
3 4
2 3
2 3
2 3
3 3
2
=
×
×
=
=
=
×
× ×
=
=
−
π −
π ρ
Si ottiene quindi che la forza applicata ha modulo Fapp = FA −Fg ≈ 2.53N
ed è diretta verso il basso, ossia in verso opposto alla spinta di Archimede.
b) Qualora sulla sferetta non venisse applicata alcuna forza esterna, la risultante delle forza agenti su di essa sarebbe data da:
Frnet Frg FrA +
=
Proiettando l’equazione precedente sull’asse y si ottiene che tale forza ha modulo Fnet =−Fg +FA =2.53N
ed è diretta verso l’alto. La sferetta è quindi soggetta ad un moto uniformemente accelerato.
La velocità vf posseduta nel punto B, ad una distanza d da A (lungo la verticale), può essere determinata applicando il teorema di equivalenza fra lavoro (svolto in questo caso dalla forza costante Fnet) e variazione di energia cinetica:
2 2 2 2
2 0 1 2
1 2
1 2
1
f f
i f
netd mv mv mv mv
F K L
=
−
=
−
=
∆
=
da cui si ottiene:
m s
kg m N
m d
vf Fnet 7.1 /
10 10
10 10 53 . 2 2 2
3 2
× ≈
×
×
= ×
= − −
Alternativamente, a partire da una delle equazioni relative al moto uniformemente accelerato:
s m m d
v F
m d ad F
v v
net f
net
f i
/ 1 . 7 2
2 0
2 2
2
≈
=
+
= +
=
SOLUZIONE ESERCIZIO 4 a) Nel piano pV la trasformazione ha il seguente andamento:
Il lavoro fatto dal gas è pari all’area sottesa sotto la curva della trasformazione:
∫
∫
∫
= = ==
=
+ +
=
C
B B
C C C
C B C C
BC B AB
CD BC AB tot
V nRT V V
nRT dV V dV
pdV nRT L
L
L L L L
ln 0
Ricavo la temperatura TC dellacurva isoterma applicando l’equazione dei gas perfetti al punto C,
nR V
TC = pC C , da cui segue che il lavoro relativo alla trasformazione BC è pari a :
J m m
N
V V p
V V V p
V nR
V nR p V nRT V
L A A
A A C C B C C C B
C C BC
3 3
3
3 ) (1 )ln3 19.77 10
10 6 ( 3
3 ln 3 3
ln ln
ln
×
=
×
×
×
×
=
=
=
=
=
=
Il lavoro relativo alla trasformazione CD è invece pari a:
m J
m V N
p V p V p
V V p V V p L
A A A A C A
C C A C D C CD
3 3
3
3 ) (1 ) 54 10
10 6 ( 9 9
3 3 3
) 4
( ) (
×
=
×
×
×
×
=
=
×
=
=
=
−
=
−
=
Il lavoro totale è quindi:
Ltot =LAB +LBC +LCD =LBC +LCD =19.77×103J +54×103J =73.77×103J
c) La variazione di energia interna del sistema fra i punti A e D dipende solo dalla temperatura del sistema in A e D, secondo la relazione:
J m m
N
V p V
p V p
V p V p
nR V p nR
V R p n T T nc T nc E
A A A
A A A A
A D D
A A D D A
D V V
3 3
2
3 ) (1 ) 99 10
10 6 2 ( 33
2 11 ) 3 3
4 2( ) 3 2(
3
2 ) 3 (
×
=
×
×
×
=
=
×
=
−
×
=
−
=
=
−
=
−
=
∆
=
∆ p
V
VA VD
A C D
VC
pB
pA
B
