Prof. Chirizzi Marco
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1.6
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Talvolta può essere più conveniente esprimere i numeri complessi in forma trigonometrica. Al fine di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, consideriamo la figura 3, in cui è rappresentato un numero complesso
Z
=
a
+
jb
.Figura 3. Rappresentazione grafica di un numero complesso.
Notiamo che la parte reale
a
è la proiezione ortogonale del segmento→
OP
lungo l’asse reale, cioèa
=Z
⋅
cos
α
, mentre la parte immaginariab
è la proiezione ortogonale del segmento→
OP
lungo l’asse immaginario, cioèb
=
Z
⋅
sen
α
. Pertanto, il numero complesso scritto in forma algebrica può essere espresso anche nel modo seguente:
Z
=
a
+
jb
=
Z
⋅
cos
α
+
j
⋅
Z
⋅
sen
α
=
Z
⋅
(
cos
α
+
j
⋅
sen
α
)
( 9 ) La ( 9 ) si chiama forma trigonometrica del numero complessoZ
.Esempio
Consideriamo il numero
Z
=
1
−
j
e scriviamolo in forma trigonometrica.2
=
Z
Una volta calcolato il modulo, lo si mette in evidenza al secondo membro del numero
Z
, cioè:
−
⋅
=
2
1
2
1
2
j
Z
e si pone:
−
=
=
2
1
2
1
cos
α
α
sen
Risolvendo il sistema si ottiene:
π
α
4
7
=
Il numero
Z
scritto in forma trigonometrica è:
−
⋅
=
π
π
4
7
4
7
cos
2
j
sen
Z
Consideriamo due numeri complessi scritti in forma trigonometrica e calcoliamo il prodotto:
(
cos
)
,
2 2(
cos
)
.
1 1Z
α
j
sen
α
Z
Z
β
j
sen
β
Z
=
+
=
+
(
)
[
(
α
β
α
β
)
]
[
(
α
β
)
(
α
β
)
]
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
+
+
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
jsen
Z
Z
sen
sen
j
sen
sen
Z
Z
sen
sen
Z
Z
sen
Z
Z
j
sen
Z
Z
j
Z
Z
Z
Z
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 10 )In definitiva, il prodotto di due numeri complessi, scritti nella forma trigonometrica, è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per fase la somma delle fasi. Si verifica facilmente che il rapporto di due numeri complessi, scritti in forma trigonometrica, è un numero complesso avente per modulo il rapporto dei moduli e per fase la differenza delle fasi. In formula si ha:
