Lezione 10 urti Ing civ amb 2015-2016

URTI

{Ci riferiamo a corpi di cui non

consideriamo la struttura interna}

Coinvolgono

due o più particelle

(

corpi puntiformi):

Che interagiscono

Forze interne INTENSE. Non è necessario

un contatto

Per un tempo breve

Rispetto ai tempi di osservazione

Modificando il proprio moto

Occorre uno studio di P

_Tot

, P

_i

e Energia

Cinetica per capire queste

Quindi si parla di

urti

quando due punti materiali (o due sistemi di punti

materiali) interagiscono per un intervallo di

tempo estremamente breve.

Si

sviluppano forze

INTERNE

di intensità elevata dette

“IMPULSIVE”.

Dinamica

Dinamica

Fenomeni di urto tra punti materiali

Durante questo tempo, piuttosto breve rispetto alla durata complessiva del

moto, i punti non si muovono in modo apprezzabile.

Fest _non

impulsiva F impulsiva

Esempio di URTO: collisione frontale

impatto deformazione carrozzeria Parti “dure” deformazione parti “dure” fine collisione v_A v_B 21 12

F

F









Forze intense e su tempi brevi: IMPULSIVE

[1000 Kg a 100 Km/h fermati in 0.1 sec: 3·105 _N] Ora vale:

dt

p

d

F

1 12







e invertendo si ha

J

def

dt

t

F

p

t t













D



(

)

(

)

2 1 12 1

Impulso

J

Graficamente l’impulso J

corrisponde all’area sottesa

dalla curva

Si introduce quindi la forza MEDIA

t

J

F

D



Ma il sistema è

formato da 2 corpi

2 21 21 12 12 12 1 1 1

p

J

dt

F

dt

F

dt

F

J

p

p

p

_{f i}

D





























D







-F₁₂

Così vale:

p

p

p

in

un

urto

tot

0

2 1



D



D



D







Ovvero: f f i i

P

P

P

P



₁





₂





₁





₂

NB: Se non ci sono

forze esterne

Se infatti

0

0

2 1 21 12 2 1













D



D



D







i ext i ext ext tot ext

J

J

J

J

J

p

p

p

F



Ma se

F 

_int

F

_ext allora

J ext

J

ext

_~0

Si trascura

Le forze esterne non

devono essere di tipo

Se Dt è piccolo

ΔP è trascurabile

In presenza di forze esterne, la variazione della quantità di

moto dovuto alle forze esterne è:

t

F

dt

F

P

_mest t t est

_

_

_D



D



2 1



fin fin in in

P

r

L

P

r

L





















Inoltre

L

in

L

fin







cost

P 



Dinamica

Dinamica

g

m



cost

P 



P 



cost

Dal punto di vista dell’energia gli urti si

classificano

•

Elastici: si conserva l’energia cinetica

quindi

le

forze

interne

sono

conservative.

•

Anelastici: quando non si conserva

l’energia cinetica. Gli urti sono

completamente anelastici

quando i

due corpi restano attaccati dopo l’urto.

L’energia

cinetica

può

anche

aumentare, esplosioni).

Conservazione dell’energia

Dinamica

Dinamica

La velocità del centro di massa rimane invariata

(vale sempre in un sistema isolato)

URTO PARZIALMENTE ANELASTICO

Si conserva solo quantità di moto:

f f i i

m

v

m

v

m

v

v

m

₁



₁



₂



₂



₁



₁



₂



₂

Per il Centro di Massa:

P

_CdM



P

_Tot



Mv

_CdM Nel nostro caso vale:





i i CdM

P

P

v

m

m

₁



₂



₁



₂ i CdM i Tot f Tot f CdM

v

m

m

P

m

m

P

v











2 1 2 1

URTO ELASTICO in

1

Dimensione

A) Conservazione quantità di moto

m

₁

v

_1i



m

₂

v

_2i



m

₁

v

_1f



m

₂

v

_{2 f} B) Conservazione dell’Energia

K

_1i



K

_2i



K

_1f



K

_{2 f} Con 2

2

1

mv

K 

)

(

)

(

_{1 1 2 2 2} 1

v

i

v

f

m

v

f

v

i

m







)

(

2

)

(

2

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 i f f i

v

v

m

v

v

m

_

_

_

2 1

p

p





D

D



i i f

v

m

m

m

m

v

m

m

m

v

₂ 2 1 1 2 1 2 1 1 2

2











La soluzione si ricava facilmente se si considera che:

)

(

)

(

)

(

2 2 f i f i f i

v

v

v

v

v

v











E dividendo la seconda equazione con la prima membro a membro per il primo si ottiene :

)

(

)

(

v

_1i



v

_1f



v

_{2 f}



v

_2i

)

(

)

(

_{1 1 2 2 2} 1

v

i

v

f

m

v

f

v

i

m







i i f

v

m

m

m

v

m

m

m

m

v

₂ 2 1 2 1 2 1 2 1 1

2











Esempio: Serie di Urti su bersaglio massivo

Una serie di urti su un corpo equivale ad esercitare sul corpo una forza media che vale:

p

N

t

p

n

t

J

F







D

D

D







D



Con N = numero di urti al secondo e

D

p





2

mv

In quanto si può

approssimare come ad un urto contro una parete essendo m_bersaglio >> m_proiettile

La prima si ferma e parte la seconda i i i f

v

v

m

m

v

v

_{1 2} 2 1 2 2

2









Casi particolari di Urti Elastici

A) Masse uguali m₁=m₂

v

1f



v

2i Ovvero le due particelle si scambiano le velocità

B) Seconda particella ferma v₂=0 f i f

_m

_m

v

i

m

v

e

v

m

m

m

m

v

₁ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1

2











Se le due particelle hanno massa uguale

v

_1f



0

e

v

_2f



v

_1i

C) Bersaglio massiccio

m₂>>m₁

v

1f





v

1i



2

v

2i

Se v_i=0 si ha la condizione di “quasi rimbalzo”

D) Proiettile massiccio

m₁>>m₂

v

1f



v

1i

v

2 f



2

v

1i



v

2i i

f

v

Urto nel sistema del CM

Dinamica

Dinamica

2 1 2 2 1 1

m

m

v

m

v

m

v

_CM





















2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1

v

m

v

m

m

_m

v

_m

v

m

m

_m

v

_m

v

m

P

_T

















  













1 2 2 1

m

v

m

v





_

_









2 1 1 2 1 2 2 2

v

v

v

m

_m

v

_m

v

v

_CM













 













0





T

P





2 1 2 1 2 1 1 1

m

m

v

v

m

v

v

v

v

_CM













 













Calcoliamo la velocità di m₁ e m₂ nel sistema CM :

m1 m2

Urti nel sistema del CM

* 2 2 1

)

(

2

1

K CM K

m

m

v

E

E







Energia del centro di massa

Energia nel sistema

centro di massa

2 * 2 2 2 * 1 1 *

₍

₎

2

1

)

(

2

1

v

m

v

m

E

_K





Dinamica

Dinamica

* * * in fin K K K

E

E

E





D

anelastico

nte

completame

urto

E

E

anelastico

urto

E

elastico

urto

E

fin K K K K * * * *

0

0





D



D



D

Urti completamente anelastici

t

m

m

v

m

v

m

v

v

m

m

v

m

v

m

CM CM in in

cos

)

(

2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1



























0

*

_

kfin

E

2

2

1

)

(

2

1

cm

k

m

m

v

E

fin





Dinamica

Dinamica

m1 m2 m1 m2 m1 CM m2

Sistema laboratorio

Sistema CM

0

* 2 2 * 1 1

v

_in



m

v

_in



m





L’energia cinetica dei punti rispetto al CM viene

trasformata in calore o deformazione.

Solo la parte dell’energia disponibile nel CM viene trasformata

in fin

K

k

E

E

Q





in fin k k

E

E



(Q = “Q” valore dell’urto)

Q = 0 collisione elastica

Q < 0 collisione anelastica di 1° tipo

Q > 0 collisione anelastica di 2° tipo

Ricordando che

m

P

E

_k

2

2



1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1

2

2

2

2

m

P

m

P

m

P

m

P

Q



fin



fin



in



in

Urti anelastici

Dinamica

Dinamica

in fin k k

E

E



Nel caso di un urto completamente anelastico

Urto in due dimensioni

Conservazione della quantità di moto

Dinamica

Dinamica

fin

in

P

P







fin in

P

x

x

P

(

)



(

)

P

(

y

)

_in



P

(

y

)

_fin

La quantità di moto è un vettore e si

conserva per componenti

URTO ELASTICI in

2

Dimensioni

A) Conservazione quantità di moto

fin y fin y in y in y

m

v

m

v

m

v

v

m

_{1 1}



_{2 2}



_{1 1}



_{2 2} B) Conservazione dell’Energia f f i i

K

K

K

K

₁



₂



₁



₂ fin x fin x in x in x

m

v

m

v

m

v

v

m

_{1 1}



_{2 2}



_{1 1}



_{2 2} Ad Esempio:

v

₂in



0

2 2 2 1 1 1 1 1

cos



cos



fin fin in

_m

_v

_m

_v

v

m





2 2 2 1 1 1

sin

sin

0



_m

_v

fin





_m

_v

fin



2 , 2 2 2 , 1 1 2 , 1 1

2

1

2

1

2

1

fin fin in

m

v

m

v

v

m





4 Incognite

Essendoci solo 3 Equazione il problema non è risolvibile a meno

che non si conosca un altro dato (ad Es. ₁)

X Y

Il muro esercita una forza impulsiva durante

l’urto: la quantità di moto non si conserva

reazione xin

xfin

mv

J

mv





(Impulso della reazione)

Un caso particolare

Dinamica

Dinamica

X Y reazione xin xfin

mv

J

mv





0





_yin yfin

mv

mv

P

_y

si conserva

x

P

y

P

x

P

y

P

x

P

x

P

Studiamo il caso Q > 0

_{Esplosione (decadimento)}

2

m

1

m

m

P

in

m

v







2

2

1

1

v

m

v

m

P



_fin









P

in

P

fin







Nel sistema cm :

0

0

* *





in k in

E

P



0

0

* *





fin k fin

E

P



P



₁*_in





P



₂*_fin

0

* *

_

_



E

_kfin

E

_kin

Q

Esposione

Dinamica

Dinamica

La quantità di moto si conserva

nelle sue componenti

















2 1 2 1 2 2 1 x y y x x x

v

m

mv

mv

v

m

v

m

mv

La conservazione della quantità di moto si intende

applicata ad un intervallo di tempo τ intorno all’istante

dell’esplosione

Urti anelastici

Dinamica

Dinamica

2

m

1

m

m

Il pendolo balistico

Dinamica

Dinamica