Algebra 2 - Esercizi svolti a lezione
1. Sia G un gruppo finito, e p il più piccolo primo che divide l’ordine di G. Sia H un sottogruppo di G di indice p. Mostrare che H è normale in G.
Suggerimento: considerare l’azione naturale di G sulle classi laterali di H, e mostrare che H deve coincidere con il nucleo dell’omomorfismo associato a tale azione.
2. Sia G un gruppo e Z(G) il suo centro. Mostrare che Z(G) è un sottogruppo normale di G, e che il quoziente G/Z(G) è isomorfo al gruppo degli automorfismi interni di G. Infine, mostrare che se G/Z(G) è ciclico, allora G è abeliano.
Suggerimento: considerare l’omomorfismo naturale G −→ Aut(G). Per l’ultimo punto, mostrare che se x è un elemento di G corrispondente all’automorfismo interno che genera Aut(G), allora x deve essere necessariamente contenuto in Z(G). Dedurne che il gruppo degli automorfismi interni di G è banale.
3. Sia G un gruppo finito, e p un primo che ne divide l’ordine. Mostrare che se P è un p-Sylow di G e H è un sottogruppo di G tale che NG(P ) ⊆ H ⊆ G, allora H = NG(H).
Suggerimento: si osservi che P è anche un p-Sylow di H. Per verificare che H ≥ NG(H), mostrare che coniugando P tramite un elemento x di NG(H) si ottiene un altro p-Sylow di H, P0. Allora P0 deve essere coniugato a P anche tramite un elemento h di H: mostrare che hx è un elemento di NG(P ).
4. Sia H un sottogruppo del gruppo G. Mostrare che il numero di classi coniugate di H è uguale all’indice di NG(H) in G.
Suggerimento: considerare l’azione di G tramite coniugio sull’insieme X delle classi co- niugate di H. Determinare lo stabilizzatore di H ∈ X e applicare la formula orbita- stabilizzatore.
5. Calcolare il centro del gruppo diedrale Dn (il gruppo delle isometrie rigide del poligono regolare a n lati).
Suggerimento: detta r la rotazione di 2π/n e s il ribaltamento rispetto a un qualsiasi asse di simmetria, gli elementi di Dn sono tutti e soli quelli della forma
sjrk per j = 0, 1 e k = 0, . . . , n − 1 Ricordare inoltre che vale srk = rn−ks per ogni k.
6. Dati un gruppo G e un suo sottogruppo H, si consideri il sottogruppo HG di G generato dall’insieme {x ∈ G : x = ghg−1, ∃h ∈ H, g ∈ G}. Si mostri che:
(a) HG è un sottogruppo normale di G, contenente H. Inoltre, H è normale in G se e solo se H = HG.
1
(b) HG= \
H≤N EG
N
(Cioè HGè l’intersezione di tutti i sottogruppi normali di G che contengono H. Quindi HG è il più piccolo sottogruppo normale di G contenente H, ed è detto chiusura normale di H in G).
Suggerimento: una delle inclusioni del punto (b) segue immediatamente dal punto (a).
7. Dati un gruppo G e un suo sottogruppo H, si consideri il sottoinsieme HG di G formato dagli elementi di H che appartengono ad un qualche sottogruppo di H normale in G, ovvero:
HG= [
N ≤H e N EG
N
Mostrare che:
(a) HG è un sottogruppo di H, ed è normale in G.
(b) HG = L = K, dove L = \
g∈G
Hg= \
g∈G
gHg−1, e K è il nucleo dell’omomorfismo associato all’azione naturale di G sulle classi laterali sinistre di H, ovvero:
G × {gH : g ∈ G} → {gH : g ∈ G}, x ? (gH) := xgH (c) Se H ha indice finito n in G, allora (G : HG) divide il fattoriale n!.
Suggerimento: per il punto (b) verificare le inclusioni HG ≤ L ≤ K ≤ HG, osservando che x ∈ Hgse e solo se xgH = gH, e che K è un sottogruppo di H normale in G. Per il punto (c) applicare il teorema di omomorfismo.
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