Capitolo 1

Capitolo 1

Modello del sistema

1.1 Modulazioni multiportante

In un sistema di trasmissione dati di tipo convenzionale, i simboli vengono trasmessi sequenzialmente nel tempo e lo spettro del segnale modulato occupa tutta la banda disponibile. Ciò rende il sistema particolarmente sensibile agli effetti dovuti al fading selettivo. La selettività in frequenza del canale è dovuta al fatto che la banda del segnale trasmesso risulta confrontabile con l’inverso dei ritardi differenziali tra i vari cammini come mostrato in Fig.1.1.

Fig.1.1 Segnale monoportante su canale selettivo

L’impiego di una trasmissione ‘in parallelo’, in altre parole di una modulazione multiportante (MCM), ci permette di affrontare in modo efficace il problema. Il flusso dati con velocità di segnalazione 1 è suddiviso in diversi sottoflussi paralleli con velocità di segnalazione ridotta. Ciascun sottoflusso modula poi una diversa sottoportante. Se indichiamo con N il numero di tali sottoflussi la cadenza di segnalazione di ciascuno di essi si riduce da

T

1T a 1 1

S

T

T = N . La banda di ciascuna sottoportante sarà allora dell’ordine di 1 , e quindi N volte più piccola della banda del segnale monoportante. In questo modo, aumentando N possiamo ricondurci al caso in cui ogni sottocanale ha una banda così stretta da vedere un canale sostanzialmente piatto. La Fig.1.2 mostra lo spettro del segnale multiportante su canale selettivo in frequenza.

S

T

Modello del sistema

In presenza di canale selettivo (e statico), ognuna delle sottoportanti è ricevuta con ampiezza e fase diverse. Pertanto il canale è caratterizzato da un'attenuazione e uno sfasamento diverso per ogni sottobanda. Una volta stimati al ricevitore, questi parametri possono essere usati per equalizzare ciascuna sottoportante, compensando così gli effetti distorcenti del canale.

L’equalizzazione del segnale avviene quindi nel dominio della frequenza anziché nel dominio del tempo.

Attualmente le modulazioni multiportante sono impiegate nell’accesso a banda larga su linea telefonica e negli standard ETSI per il broadcasting audio e video. Sono MCM la tecnica OFDM/DMT (Orthogonal Frequency Division Multiplexing / Discrete Multitone Modulation) che si basa su metodi di sovrapposizione di

in cui le portanti adiacenti sono posizionate nei nulli della funzione ed FMT (Filtered Multitone) che invece utilizza non sovrapposte.

( ) sinc f

( )

sinc f sinc f( )

OFDM/DMT ha uno spettro del tipo su ciascuna sottoportante ed ha alcune desiderabili proprietà di ortogonalità del segnale, vale a dire zero interferenza intersimbolica (ISI) e zero interferenza tra sottoportanti (ICI).

( ) sinc f

Tuttavia, in una situazione di canale non ideale, la sovrapposizione spettrale fra le sottoportanti rende necessario l'uso del prefisso ciclico (CP) e di algoritmi per la correzione dell’offset di frequenza. Il CP è impiegato per attenuare gli effetti della perdita di ortogonalità causata da distorsioni di fase e di ampiezza introdotte dal canale. Anche se è una soluzione elegante e facile, conduce ad una perdita di efficienza nel throughput.

Fig. 1.3 OFDM

Inoltre, a causa dei lobi laterali delle funzioni , è necessario utilizzare delle portanti virtuali per ridurre le emissioni fuori banda, introducendo quindi una ulteriore perdita di efficienza.

( ) sinc f

Nella modulazione FMT non è necessario utilizzare un prefisso fra i simboli. La larghezza di banda di ciascuno dei sottocanali è scelta per essere quasi ortogonale nel dominio della frequenza. Ciò si realizza tramite l'uso di roll-off alti. La risposta nel dominio del tempo di questi filtri può durare parecchi periodi di simbolo, ma è vicina ad essere ortogonale nel dominio della frequenza sia all'ingresso che all'uscita dal canale.

Modello del sistema

E’ necessario un equalizzatore per ridurre l'ISI. Un alto livello di contenimento spettrale delle sottoportanti è una proprietà desiderabile per molte applicazioni. Per esempio, poiché la perdita di energia del segnale fra le sottoportanti può essere considerata trascurabile, la cancellazione dell’eco non è necessaria nei sistemi di trasmissione a divisione di frequenza (FDD) in cui i sottocanali sono spaziati opportunamente. In più, la sincronizzazione fra utenti differenti non è necessaria. Un alto contenimento spettrale su ogni sottoportante è auspicabile quando utenti differenti condividono lo stesso canale.

1.2 Modello del trasmettitore

In un sistema di trasmissione FMT, si sceglie una particolare configurazione di banco di filtri uniforme che consiste di versioni shiftate in frequenza di un filtro prototipo passa basso. Questo filtro è scelto in modo da avere un alto grado di contenimento spettrale e quindi produrre ICI trascurabile se confrontata con gli altri rumori presenti nel sistema.

É stato proposto che il filtro prototipo non debba soddisfare la condizione di perfetta ricostruzione perché questo vincolo deve essere assicurato soltanto quando il canale non introduce distorsioni del segnale. Quando un canale introduce distorsioni di fase e di ampiezza, l'obiettivo di un alto contenimento spettrale (scopo principale dell’FMT) diventa più facilmente realizzabile se non si tiene conto di tale vincolo di ricostruzione perfetta anche se si dovrà usare un equalizzatore per rimuovere l’ISI.

Si può usare uno qualsiasi dei metodi conosciuti per progettare il prototipo del filtro passa basso h n con l'obiettivo di ottenere un filtro simmetrico con risposta impulsa finita (FIR) con coefficenti reali che approssima la risposta in frequenza ideale mostrata in Fig 1.5.

( ) ( ) H f ( ) H f 0 1 fT N 1 1 2N 1₂

Fig 1.5 risposta in frequenza ideale del filtro pototipo passa basso

( )

h n

⊗

2 in j N

e

π

N

( )

i

h n

Fig 1.6 versione shifatata del prototipo

Con la modulazione FMT, l’ortogonalità fra i sottocanali è garantita dall’utilizzo di spettri del tipo non sovrapposti. Poiché il mezzo trasmissivo non distrugge l’ortogonalità realizzata in questo modo, non è necessario premettere il prefisso ciclico. Chiaramente, la quantità richiesta di contenimento spettrale deve essere realizzata con complessità di calcolo accettabile.

( ) sinc f

Modello del sistema

Fig. 1.7 spettro FMT

La lunghezza del filtro prototipo N_γ è un multiplo del numero di sottoportanti N. Il parametro è denominato overlap poiché è la durata del filtro in termini di blocchi (ciascuno di N campioni). Valori tipici di sono fra 8 e 20. Nella Fig 1.7 è mostrata la risposta in frequenza dei primi 5 sottocanali di un sistema di 64 sottocanali usando un protototipo con . Poiché la potenza fuori banda è minore di 76 nelle bande adiacenti e perfino di meno per altre bande, possiamo considerare che l’ICI è zero rispetto ad altri segnali di rumore presenti nel sistema come ad esempio il rumore additivo gaussiano bianco (AWGN).

γ

γ

13 γ =

dB

Il segnale trasmesso è un classico segnale multiportante la cui espressione è:

1 2 ( ) 0

( )

(

)

k N j f k n k n

s t

− ∞

a h t nT e

π = =−∞

=

∑ ∑

−

t (1.1)

in cui è un impulso a radice di Nyquist con roll-off (scelto pari a 0.25), è il numero delle portanti e è il simbolo appartenente all’n-esimo blocco che modula la k-esima portante.

( )

h t α N

k n

a

I simboli sono complessi e appartengono ad un alfabeto C detto costellazione del segnale. Nel nostro caso si considerano costellazioni del tipo M-QAM quadrate con M=4, 16, 64. Le costellazioni con le rispettive leggi di mappatura dei bit sono

mostrate in Fig. 1.8,. Fig. 1.9 e Fig 1.10, dove il valore del simbolo risulta determinato dal gruppo dei bit per la 4-QAM, per la 16-QAM e per la 64-QAM. Questo modo di trasmissione è chiamato non gerarchico perché la mappatura è fatta in modo che la probabilità di errore sui bit sia la stessa per tutti i bit di uno stesso gruppo.

i a i 0,i, 1, y y ,i y i y0,i,y1,i,y2,i,y3, 0,i, 1,i, 2,i, 3,i, 4,i, 5 y y y y y

Fig. 1.8 Mappatura non gerarchica dei bit per costellazioni 4-QAM.

Modello del sistema

Fig. 1.10 Mappatura non gerarchica dei bit per costellazioni 64-QAM.

Il filtro di trasmissione deve essere realizzato in modo che la sua risposta impulsiva soddisfi la condizione di Nyquist. La famiglia di funzioni presa in considerazione che soddisfa questa condizione è quella degli impulsi a radice di coseno rialzato con roll-off (SRRC( ) Square Root Raised Cosine) la cui espressione nel dominio della frequenza è

( )

h t α α

( )

(

)

1 2 1 1 cos 2 1 4 2 0 T f T H f T fT f T T altrimenti α π _α α α −  _<   − +    =_{ } − + _ ≤      2 α ≤ (1.2)

Fig. 1.11 Andamento della risposta in frequenza H(f).

Gli impulsi h t così scelti, fanno sì che lo spettro del segnale in banda base sia limitato nell’intervallo

( )

1 2T α +

± e sono tali da avere energia unitaria

( )

2 ₁ h t dt +∞ −∞ =

∫

(1.3)

Antitrasformando la (1.2) si ottiene l’espressione temporale di tale famiglia di funzioni

( )

1 sin

(

1

)

4 cos₂

(

1

)

1 4 t t T T h t t t T T π α α π α π α  ₋ ₊  ₊       =  _{ }  −  _ _      t T   (1.4)

Modello del sistema

Fig.1.12 Andamento dell’impulso h(t).

Nelle applicazioni pratiche al posto della risposta ideale , viene scelta una versione limitata nel tempo, ottenuta filtrando h t con una finestra temporale di durata opportuna. La larghezza della finestra temporale viene scelta come adeguato compromesso fra l’esigenza di un’accurata modulazione da un lato e la necessità di contrastare l’interferenza da canale adiacente dall’altro.

( )

h t

( )

La struttura digitale del trasmettitore viene ricavata campionando il segnale con una frequenza di campionamento

( ) s t 1 c c P f T T = = , con P= +(1 α)N, ottenendo:

[ ]

1 ( ) 2 0

(

)

(

)

k c N j f mT k c n c k n

s m

s mT

− ∞

a h mT

nT e

π = =−∞

=

=

∑ ∑

−

(1.5)

tenendo conto che T =PT_c e che _k 1 1 c P f k k T NT NT α + = = = k si ottiene:

[ ]

1 ( )

[

]

2 0 N _{j km} k _N n k n

s m

a h m Pn e

π − ∞ = =−∞

=

∑ ∑

−

(1.6)

scrivendo l’indice m come m Pl t= + con t=0,...,P−1, si ottiene:

[

]

[

]

[

]

2 1 _{( )} ( ) ( ) 0 2 1 _{( )} ( ) 0

(

)

N _{j k Pl t} t k _N l n k n N _{j k Pl t} k _N n k n

s

s Pl t

a h Pl t Pn e

a h P l n

t e

π π − ∞ ₊ = =−∞ − ∞ ₊ = =−∞

=

+ =

+ −

=

−

+

∑ ∑

∑ ∑

=

(1.7)

Operando un ulteriore cambio di variabile, l n e− = :

[

]

2 1 _{( )} ( ) ( ) 0 N _{j k Pl t} t k N l l n k e

s

a h Pe t e

π − ₊ − =

=

∑∑

+

(1.8) Riscrivendo

[

]

2 1 _{( )} ( ) ( ) 0 N _{j k Pn q} q k _N n n l k l

s

a h Pl q e

π − ₊ − =

=

∑∑

+

(1.9) Con q=0,...,P−1

Invertendo l’ordine delle sommatorie

[

]

2 1 _{( )} ( ) ( ) 0 N _{j k Pn q} q k _N n n l l k

s

a e

h P

π − ₊ − =





=

_

_

+





∑ ∑

l q

(1.10)

Modello del sistema

Nella (1.10) si può mettere in evidenza la IDFT ovvero:

2 1 _{( )} ( ) 0 N N _{j k Pn q} Pn q _{k N} n n k

A

a e

π − ₊ + =

∑



(1.11)

ottenendo dopo alcune manipolazioni:

[

]

[ ]

1 1 ( ) 0 0 N L L Pn q Pn q t q n l n l l l

s

−

A

₋+

h Pl q

−

A

₋

h

= =

=

∑

+

=

∑

N t

l

+ (1.12)

che rappresenta la versione definitiva del segnale campionato, dove è la decomposizione polifase del filtro di trasmissione e

[ ] [ ] t h l h Pl t+ Pq tN n l A₋+ è l’uscita di un IFFT.

IFFT _MEMORYFILTER

0 n a 1 n a

A

1_n 1 N n A − 1 N n a − 0 n A P/S DAC 1 n s 1 P n s − 0 n s [ ] 1 | 1| 0 1 N L Pn P n l A h Pl P − + − = + − ∑ [ ] 1 | | 0 N L Pn n l A h Pl − = ∑ [ ] 1 | | 0 N L Pn m n l A h Pl m − + = + ∑

( )

s t

•

•

•

•

•

•

Fig. 1.13 Trasmettitore

1.3 Modello del canale

Il segnale MC generato viene trasmesso sul canale avente la seguente risposta impulsiva:

( )

( ) (

)

1 c N l l l c t α t δ t τ = =

∑

− (1.13) dove

• N_c è il numero di cammini (path).

• è un coefficiente di attenuazione complesso variabile nel tempo la cui ampiezza caratterizza la potenza relativa al cammino l-esimo.

( )

l t

α

• τ_l sono i ritardi associati ai diversi cammini.

( )

l t

α e sono caratterizzati dal profilo di potenza del ritardo (Power Delay Profile o PDP).

l

τ

Il canale è quindi sia selettivo in frequenza che nel tempo. Un’analisi accurata delle caratteristiche generali del canale radiomobile è rimandata al capitolo successivo.

L’espressione del segnale utile ricevuto sarà data dalla convoluzione tra il segnale trasmesso e la risposta impulsiva del canale; all’uscita va poi a sommarsi un processo di rumore gaussiano bianco additivo con densità spettrale bilatera

2 No (Additive White Gaussian Noise o AWGN).

Modello del sistema MULTIPATH CHANNEL

⊕

( )

y t

r t

( )

( )

w t

( )

s t

Fig.1.14 Schema del canale di trasmissione

( ) ( )

( )

( ) (

)

1 c N l l l y t s t c t α t s t τ = = ⊗ =

∑

− (1.14)

( )

( )

( )

r t =y t +w t (1.15)

Consideriamo solo il segnale utile y t

( )

la cui espressione può essere scritta:

( )

( )

1 ( )

(

)

2 ( ) 1 1 0 c k l N L N j f t k l n l l n k y t α t − a h t nT τ e π −τ = = =   = _ − − _  

∑

∑∑

(1.16)

Se il fading introdotto dal canale è lentamente variabile nel tempo e vale la relazione

l T l

τ  ∀ (1.17)

si può fare la seguente approssimazione:

(

)

( ) (

)

( )

l t h t nT l iT h t nT

α − ≅α − (1.18)

( )

1

( )

( )

(

)

2 ( ) 0 1 1 c k l N N L j f t k l n l k l n y t − α nT a h t nT τ e π −τ = = =   = _ − − _  

∑ ∑∑

(1.19)

( )

1

( )

0 N k k y t − x t = =

∑

(1.20) dove

( )

( )

( )

(

)

2 ( ) 1 1 c k l N L j f t k k l n l l n x t α nT a h t nT τ e π −τ = =   =_ − − _ 

∑∑

 (1.21)

Nella realizzazione del programma di simulazione, non si è utilizzata la “classica“ implementazione del canale tramite linea di ritardo, questo per problemi legati ad un’eccessiva fittezza di campionamento richiesta, essendo i ritardi introdotti dal canale molto piccoli rispetto al tempo di segnalazione T (come espresso nella (1.17)).

La soluzione realizzata utilizza un banco di 6 filtri sagomatori (essendo 6 i diversi cammini P), ognuno dei quali è rappresentato tramite campioni ritardati nel tempo di un fattore pari ai ritardi introdotti dal canale. Questa soluzione è ripetuta su tutte le sottoportanti. L’uscita di ogni sagomatore viene poi moltiplicata per il rispettivo processo α_l

( )

t .

Per chiarire le idee consideriamo il seguente schema a blocchi, che rappresenta il filtraggio di canale su una singola sottoportante:

Modello del sistema

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊕

2 f tk j e π ( 1) g t−τ ( 2) g t−τ ( 3) g t−τ ( 4) g t−τ ( 5) g t−τ ( 6) g t−τ ( ) 1t α ( ) 2 t α ( ) 3t α ( ) 4 t α ( ) 5 t α ( ) 6 t α

( )

k x t k n a 1 ( ) h t−τ 5 ( ) h t−τ 6 ( ) h t−τ 2 ( ) h t−τ 4 ( ) h t−τ 3 ( ) h t−τ

Fig.1.15 Schema a blocchi funzionale della realizzazione del canale.

Potremmo considerare lo schema come un unico blocco sagomatore che ha come espressione temporale

( )

( ) (

)

1 c N l l l H t α t h t τ = =

∑

− (1.22)

L’uscita , espressa nella (1.21), va a sommarsi alle altre N-1 uscite relativa ad altrettanti identici blocchi come espresso nella (1.20).

( )

k

1.4 Modello del ricevitore

La struttura del ricevitore viene ricavata attraverso la stima a massima verosimiglianza della sequenza dei dati trasmessi.

Il segnale ricevuto è: ( ) ( ) ( ) r t =s t +w t (1.23) dove: 1 2 ( ) 0

( )

(

)

k N j f t k n n k

s t

∞ −

a h t nT e

π =−∞ =

=

∑ ∑

−

(1.24)

I campioni del segnale ricevuto sono:

(

)

(

)

( ) ( ) 1 _{2 )} ( ) ( ) 0

m q c k N _{j Pq m} k _N m n c c n k

r

r Pq m T

a h P q n T

mT e

π

w

∞ − ₊ =−∞ =

+

=









=

∑ ∑



_

−

+



_



q

+

(1.25)

In cui, come già detto in precedenza, N è il numero delle portanti, è il simbolo trasmesso sulla k-esima portante, è un impulso radice di coseno rialzato con rolll-off , è l’intervallo di campionamento con

k n

a

( )

h t

α

T

c c

T

P

=

T

. La banda occupata da ogni portante è

1

P

T

N

α

+

=

T

e quindi quella relativa al segnale FBM è

P

T

.

Per la stima a massima verosimiglianza della sequenza dati si definisce la sequenza da stimare 0

,

1

,...,

1 T T T T L

a





_

a a

a

₋



_

(1.26)

Modello del sistema dove (0)

_,

(1)

_,...,

(N 1) T n n n n

a





_

a

a

a

−



_

(1.27) La funzione di verosimiglianza è 1 1 ₂ ( ) ( ) 0 0 0

1

( ) exp

2

L P m m q q q m

a

r

N

− − = =





Λ

=

_

−

−

_



∑∑





s

(1.28) Essendo

[

]

2 1 1 _{( )} ( ) ( ) 0 0

(

)

L N _{j k Pq m} m k _N q n n k

s

a h P q n

m e

π − − ₊ = =

=

∑∑

−

+





(1.29)

il segnale di tentativo, dove per semplicità si è tralasciata la dipendenza dall’intervallo di campionamento, e 0

,

1

,...,

1 T T T T L

a







_

a a

 

a



₋



_

(1.30) con (0)

_,

(1)

_,...,

(N 1) T n n n n

a







_

a



a



a



−



_

(1.31) la sequenza di tentativo.

La funzione di log-verosimiglianza da massimizzare, con l’omissione di alcuni passaggi, diviene:

1 1 1 1 ₂ ( ) ( )* ( ) 0 0 0 0

( ) 2

L P m m L P m q q q q m q m

a

− −

r s

− − = = = =





Λ

= ℜ

_

_

−



∑∑



∑∑





s

(1.32)

e pertanto la stima ML risulta

( )

{

}

ˆ arg max

a

a

=

Λ

a





_(1.33)

Sostituendo la (1.29) nel primo termine della (1.32) si ricava

[

]

[

]

1 1 ( ) ( )* 0 0 2 1 1 1 1 _{( )} ( ) ( ) * 0 0 0 0 2 1 1 1 _{( )} ( )* ( ) * 0 0 0 1 ( )* ( ) 0

(

)

(

)

L P m m q q q m L P L N _{j k Pq m} m k _N q n q m n k L N P _{j k Pq m} k m _N n q n k m q N k k n n n k

r s

r

a h P q n

m e

a

r h P q n

m e

a

x

π π − − = = − − − − _{− +} = = = = − − − _{− +} = = = − =

=

=

−

+

−

+

=

∑∑

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑

∑











1 0 L− =

∑

=

=

(1.34) avendo definito

[

]

2 1 _{( )} ( ) ( ) * 0

(

)

P _{j k Pq m} k m _N n q m q

x

r h P q n

m e

π − _{− +} =

−

+

∑∑



(1.35)

Il secondo termine della (1.32), tenendo conto della (1.29), si può scrivere nella forma

Modello del sistema

[

]

[

]

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ₂ ( ) 0 0 1 1 1 1 ( ) ( )* 1 0 0 , 0 , 0 2 _{( )} 2 _{( )} * 2 1 1 ( ) ( )* , 0 , 0

(

)

(

)

L P m q q m L P L N k k n n q m n n k k j k Pq m j k Pq m N N L N k k n n n n k k m

s

a a

h P q n

m

h P q n

m e

e

a a

π π − − = = − − − − = = = = + − + − − = = =

=

=

−

+

⋅

−

+

=

∑∑

∑∑ ∑ ∑

∑ ∑













[

] [

]

⋅

1 2 1 2 1 0 2 ( ) 2 ( ) * 1 2

(

)

(

)

P Pq m j k k j k k N N q

h P q n

m h P q n

m e

π

e

π − − −





−

+

−

+









∑

∑

(1.36)

La sommatoria con indice q contenuta in parentesi nella (1.36), indicando con H(f) la trasformata di h(t), si può scrivere come

1 1 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) *

( )

( )

c c j fmT j f q n T q Pq j k k j mT j q n T _N

H f e

e

df

H

e

e

e

d

π π πν πν πν

ν

ν

+∞ − −∞ +∞ ₋ − − −∞

⋅

⋅

∑ ∫

∫

(1.37)

Tenendo conto che

1 2 2 ( ) 1 2

1

(

)

P j f k k qT NT q l

k

k

l

e

f

T

NT

π ν

δ

ν

 _{− + −}     

₌



_{− +}

−











∑

∑

P

T

+

(1.38) la (1.37) diventa

( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 * 1 2 ( ) 2 2 ( ) * 1 2 2 (

1

(

)

( )

1

(

)

( )

c c j fmT j fn T l k k l j f P mT n T NT T j f n n T l j

k

k

l

H f H

f

P

e

e

T

NT

T

e

df

k

k

l

H f H

f

P

e

T

NT

T

e

π π π π π

ν

+∞ − −∞ −   − _ + + _ −   +∞ − − −∞ −

−



_{− +}

₊











⋅

=

−





=

_

+

+

_





⋅

∑ ∫

∑ ∫

⋅

⋅

1 2) 2 2 ( 1 2) m lm P k k j j k k N

_e

π P

_e

π N

_df

− − − (1.39)

Sommando nella (1.36) rispetto all’indice m, utilizzando la (1.39) ed essendo

1 ₂ 0

0

0

0

lm P _j P m

P l

e

l

π − ₋ =

=



= 

_≠



∑

(1.40) e per

k

₁

≠

k

₂ *

(

1 2

)

( )

k

k

0

H f H

f

P

NT

ν

−



_{− +}



₌









(1.41) si ha 1 2 2 _{2 ( ) 1 2 1} 1 2

1

,

(

)

( )

0 altrimenti

j f n n T

n

n k

k

P

k

k

H f

e

df

T

π

δ

+∞ − − −∞

=

=



−

_{= }



∫

2 (1.42) Pertanto la (1.36) diventa 1 1 ₂ 1 1 ₂ ( ) ( ) 0 0 0 0 L P L P m k q n q m n k

s

a

− − − − = = = =

=

∑∑



∑∑

_(1.43)

Modello del sistema

{

}

1 1 ₂ ( ) ( )* ( ) 0 0

( )

2

L N k k k n n n n k

a

− −

x a

= =



Λ



=

∑∑

_

ℜ

−

a



_

(1.44) e cioè 1 1 ₂ ( ) ( ) 0 0

( )

L N k k n n n k

a

− −

x

= =

Λ



=

∑∑

−

a

(1.45)

Per realizzare il ricevitore ML si considera nella (1.35) la sostituzione

(

)

P q n

−

+ =

m lN t

+

(1.46)

Con

t

=

0,1,...,

N

−

1

e intero, si ottiene

l

[

]

2 1 _{( ) 2 2} ( ) * 0 1 _{2 2} ( ) 0

(

)

kt nP N _{j k Pq m j j k} k _{N N} n t l kt nP N _{j j k} t _{N N} n t

x

r nP lN t e

h lN t e

e

u e

e

π _{π π} π π − _{− + − −} = − _{− −} =

=

+

+

+

=

∑∑

∑

N

=

t

(1.47) essendo

[

]

( )t *

₍

₎

n l

u



∑

r nP lN t h lN

+

+

+

(1.48)

l’uscita del filtro polifase

h lN t

*

(

+

)

. Posto 1 ₂ ( ) ( ) 0 kt N _j k t N n n t

U

−

u e

− π =

=

∑

(1.49)

la DFT della sequenza

u

_nt , in definitiva si ha 2 ( ) ( ) nP j k k k _N n n

x

=

U e

− π (1.50)

Lo schema a blocchi del ricevitore è pertanto il seguente

FFT Equal & Detection FILTER MEMORY 0 n u k n u 1 N n u − [ ] [ ] '' 1 * 0 L r l x Nl Pn h Nl − = + ∑ [ ] [ ] '' 1 * 0 L r l x Nl Pn k h Nl k − = + + + ∑ [ ] [ ] '' 1 * 0 1 1 L r l x Nl Pn N h Nl N − = + + − + − ∑ 2 Pn j k N e− π 1 2 Pn( 1) j N N e− π − Fig. 1.16 Ricevitore

Modello del sistema

1.5 Condizione di perfetta ricostruzione

Nei sistemi di comunicazione multiportante convenzionali basati su banchi di filtri, come OFDM o DWMT, per assicurare che la trasmissione sia libera da ISI all’interno di ogni sottocanale e da ICI, il banco di filtri deve soddisfare la condizione di perfetta ricostruzione (PR).

Un banco di filtri soddisfa questa condizione se il segnale ricostruito è identico al segnale d’ingresso a meno di un ritardo. Quindi, dai filtri di trasmissione e di ricezione mostrati in Fig 1.17

⊕

• • •

⊕

• • • c n( ) ( ) r n

( )

w n

0 n a [ ] 1 N h − n [ ] 1 h n [ ] 0 h n g n0[ ] [ ] 1 g n [ ] 1 N g − n 1 N n a − 1 n a ( ) x n 0 ˆ_n a−∆ 1 ˆn a−∆ 1 ˆN n a − −∆

Fig. 1.17 schema a blocchi

la condizione di PR è ( ) ( ) ( ) i i k h k g nN k− =δ n− ∆ ∀i

∑

( ) ( ) 0 , i j k h k g nN k− = ∀n i≠ j

∑

(1.51)

dove è un ritardo tra l’ingresso e l’uscita, h k e sono rispettivamente la risposta impulsiva del filtro di trasmissione e di ricezione definite precedentemente e è la funzione delta di Kronecker.

∆ _i( ) g k_j( )

δ

La condizione di PR può essere considerata una generalizzazione del criterio di Nyquist per le comunicazioni non soggette ad ISI. Si noti che la condizione PR

richiede la sovrapposizione tra le sottoportanti e questo è in contraddizione con il desiderio di avere alto contenimento spettrale.

Tuttavia, la condizione di PR applicata in precedenza non tiene conto delle distorsioni del canale e del rumore, che sono sempre presenti nei sistemi di comunicazione. Di conseguenza, le proprietà di non avere ISI ne ICI sono distrutte.

L’approccio seguito nell’FMT è di rimuovere l’ICI quasi completamente senza tener conto del canale e poi rimuovere l’ISI restante nei sottocanali usando un equalizzatore. Quindi, ammorbidendo il vincolo di PR e introducendo un’equalizzazione del segnale al ricevitore, si possono trovare i filtri che garantiscano buona compressione spettrale.

1.6 Progetto del prototipo

Nella modulazione FMT, il filtro prototipo definisce completamente il sistema. La scelta di tale filtro per la realizzazione del banco di filtri polifase è limitata dal numero di sottocanali, dal livello di contenimento spettrale e dalla complessità di implementazione richiesti. Questi compromessi sono possibili perché il numero di sottocanali può essere ridotto senza incorrere in perdite nell’efficienza di trasmissione, mentre nell’OFDM il minimo numero di sottocanali è limitato dai requisiti di efficienza legati all’uso del prefisso ciclico.

Poiché non ci è richiesto di progettare il prototipo in base al criterio di PR, ci concentriamo su prototipi che garantiscano un alto livello di contenimento spettrale con la minima complessità.

Modello del sistema

Questo filtro prototipo approssima un filtro ideale che ha una risposta in frequenza pari a zero fuori dall’intervallo f <1 2T Hz come mostrato in Fig 1.18

( ) H f

0

1

fT

N

1

1 2N 1₂ Fig.1.18

Nel progetto del filtro passa basso , il rate di campionamento sarà il più alto possibile ovvero

( ) h n

N T . Di conseguenza, il limite della frequenza digitale (a rate di campionamento N T ) è 1 2 (Fig 1.18). Approssimeremo questa risposta con un filtro FIR a fase lineare con coefficienti reali. In questo modo, ciascun filtro polifase sarà un filtro con coefficienti reali e lunghezza . Notiamo inoltre che il prototipo è simmetrico ma che le componenti polifase non lo sono.

N N ⋅ γ

γ

Nella progettazione tradizionale dei filtri passa basso di tipo FIR, la frequenza di taglio corrisponde a quella in cui la risposta in frequenza del filtro decade di 3

. Nel nostro caso,

dB

1 2 non è la frequenza di taglio, perché vogliamo che la risposta del filtro sia nulla a quella frequenza. Di conseguenza sceglieremo come frequenza di taglio una frequenza più bassa. A seconda del valore dell’overlap , si scelgono diversi valori per la frequenza di taglio.

T

γ

Abbiamo trovato che esistono due valori importanti nella progettazione del prototipo:

1. : Questo valore sarà legato alla piattezza della risposta del canale nel sottocanale. Più è vicino a

3dB

f

₋

1 2

ricevitore e l’innalzamento del rumore (noise enhancement) dell’equalizzatore non creerà grossi problemi. Questo valore sarà importante per la valutazione dell’ISI per i sottocanali e di conseguenza per i requisiti dell’equalizzatore.

2. La risposta in ampiezza a f =1 2T o equivalentemente la frequenza alla quale canali adiacenti si sovrappongono: questo valore dovrebbe essere il più basso possibile poiché determina il livello di ICI introdotta dai canali adiacenti. Se questo valore è sufficientemente basso si può assumere che i sottocanali all’uscita del banco di filtri siano indipendenti.

Ovviamente, per un fissato valore di , si dovrà trovare un compromesso tra questi due parametri.

γ

1.7 Approssimazione di un filtro IIR con un filtro FIR

La risposta in frequenza è data da:

2 2

1

1

-( )

1

2T

0

j fT j fT

e

f

H f

e

T

altrove

π π

α

− −

 +

≤ ≤



=

_

+





1

2

(1.52)

che definisce il valore assoluto della risposta in frequenza di un filtro con uno zero in

z

= −

1

ed un polo in

z

= −

α

come mostrato in Fig 1.19

Modello del sistema

Fig. 1.19

In Fig 1.20 sono mostrate le risposte in frequenza per differenti valori di (

0

) che si otterrebbero utilizzando un numero infinito di coefficienti.

α

1

α

≤ ≤

Fig. 1.20 H(f) per differenti valori di α (α =0,1,α =0, 5,α =0, 9)

Quello che vogliamo fare è approssimare il prototipo richiesto usando una struttura di tipo FIR con un numero finito di coefficienti. Facendo questo i lobi laterali appaiono a frequenze più alte di 1 2 e diventa evidente un po’ di ripple nel passa banda. Maggiore è il valore di , più difficile è approssimare il filtro con un numero finito di campioni. Di conseguenza, l’errore (assenza di frequenze più alte di

T

α

1 2 e ripple) diventa più elevato. T