QUADERNO 1 E – 2019/2020

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QUADERNO 1 E – 2019/2020

SETTIMANA 5 INTRODUZIONE ALLA LOGICA

In generale si intende con “logica” la disciplina che studia il ragionamento. La parola “logico” viene spesso usata anche nel parlar comune, sottolineando la semplicità e la facilità con cui si debba arrivare a determinate conclusioni. Fin dall'antichità si è cercato di studiare la logica, dandogli anche un linguaggio formale, la logica è in qualche modo l'anima della matematica ma se neè anche svincolata. Gli stessi scienziati non sono concordi se la logica faccia parte della matematica o se la matematica faccia parte della logica, ma poco importa. L'importante è riuscire a formalizzare, cioè esprimere con un linguaggio coerente e privo di ambiguità, dei concetti astratti che spesso e volentieri già possediamo intuitivamente.

DEFINIZIONE

L'enunciato è un'espressione linguistica a cui posso attribuire il valore vero o falso.

[pag.189 vol. Algebra 1]

ESEMPI

“Fucecchio è in provincia di Firenze” è un enunciato il cui valore è vero.

“Fucecchio è in provincia di Pisa” è un enunciato il cui valore è falso.

“Fucecchio è un posto divertente” non è un enunciato

Per le prime due frasi ho dei criteri oggettivi per stabilire se sono vere o false, nel terzo caso non ci sono criteri oggettivi, dato che a qualcuno può sembrare divertente ad altri no, o anche che può essere divertente oppure in momenti diversi e così via...

NOTAZIONE

Indicheremo gli enunciati elementari (soggetto, predicato verbale, complemento oggetto) con una lettera minuscola.

OSSERVAZIONE

Per definire in modo schematico gli oggetti della logica, in particolare gli enunciati composti da più enunciati elementari, useremo le cosiddette tavole di verità, ovvero delle tabelle che riepilogono i valori di vero/falso dell'enunciato in questione.

DEFINIZIONE

Sia p un enunciato elementare. Definiamo la sua negazione p come l'enunciato che è vero quando p è falso e falso quando p è vero.

p p

V F

F V

(2)

DEFINIZIONE

Dati due enunciati elementari p , q definiamo la loro congiunzione p∧q come l'enunciato che è vero soltanto se p , q sono entrambi veri. (Si legge “p e q”).

p q p∧q

V V V

V F F

F V F

F F F

DEFINIZIONE

Dati due enunciati elementari p , q definiamo la loro disgiunzione p∨q come l'enunciato che è vero soltanto se almeno uno tra p , q è vero. (Si legge “p o q”).

p q p∨q

V V V

V F V

F V V

F F F

DEFINIZIONE

Dati due enunciati elementari p , q definiamo la loro disgiunzione esclusiva p ̊v q come l'enunciato che è vero se tra p , q uno è vero e l'altro è falso. (Si legge lo stesso “p o q”).

p q p ̊v q

V V F

V F V

F V V

F F F

DEFINIZIONE

Dati due enunciati elementari p , q definiamo l' implicazione p ⇒ q come l'enunciato che è falso nel caso in cui sia vero p e falso q e sia invece vero in tutti gli altri casi. (Si legge “p implica q” o anche “se p allora q”).

p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V

(3)

DEFINIZIONE

Dati due enunciati elementari p , q definiamo la doppia implicazione p ⇔ q come l'enunciato che è vero nel caso in cui sia p e q abbiano lo stesso valore di verità e falso altrimenti. (Si legge “p se e solo se q” o anche “p coimplica q”).

p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V F

F F V

OSSERVAZIONE

Guardando la tabella dell'implicazione non possiamo fare a meno di notare che una delle righe è decisamente anti-intuitiva! Come possiamo immaginare che sia vero che “falso implica vero”?

Per convincerci osserviamo questa tavola di verità:

p q p∨q

V V V

V F F

F V V

F F V

Sono esattamente gli stessi valori di verità della tavola precedente: la verità di q è sufficiente per la verità dell'implicazione, ma non necessaria, infatti ottengo la verità dell'implicazione anche nel caso in cui sia p che q siano false.

Queste parole “sufficiente”, “necessaria” saranno più chiare andando avanti.

ESERCIZIO pag.234 n.234

Individua gli enunciati elementari che formano le seguenti proposizioni composte e individua gli operatori logici utilizzati. (Per soddisfare la richiesta bastava indicare nella quarta colonna l'operatore logico, senza scrivere l'enunciato formale, ho comunque voluto scrivere anche l'enunciato formale per arricchire l'esercizio.)

Enunciato a parole p q Enunciato formale

Vado al cinema o vado a teatro Vado al cinema Vado a teatro p∨q

Lorenzo non va allo stadio Lorenzo va allo stadio - p

Se Carlo va in discoteca, passa a prendere Paola

Carlo va in discoteca Carlo passa a

prendere Paola p ⇒ q

Maria compra un lettore MP3 se e solo se passa l'esame.

Maria compra un lettore MP3

Maria passa l'esame p ⇔ q

Laura acquista un abito verde e una giacca

bianca Laura acquista un abito

verde Laura acquista una

giacca bianca p∧q

Il codice è formato da un numero di 5 cifre o da una parola di 5 lettere

Il codice è formato da un numero di 5 cifre

Il codice è formato da

una parola di 5 lettere p∨q

(4)

ESERCIZIO pag.234 n.235

Individua gli enunciati elementari che formano le seguenti proposizioni composte e individua gli operatori logici utilizzati. (Per soddisfare la richiesta bastava indicare nella quarta colonna l'operatore logico, senza scrivere l'enunciato formale, ho comunque voluto scrivere anche l'enunciato formale per arricchire l'esercizio.)

Non mangio carne e non mangio pesce Io mangio carne Io mangio pesce p∧q

Livia guarda un film oppure fa ginnastica Livia guarda un film Livia fa ginnastica p∨q

24 è divisibile per 2 e per 3 24 è divisibile per 2 24 è divisibile per 3 p∧q

Un numero maggiore di 20 è maggiore di

10 Un numero è maggiore

di 20 Un numero è

maggiore di 10 p ⇒ q

Se un numero termina per 0 è divisibile

per 10 Un numero termina per

0 Un numero è

divisibile per 10 p ⇒ q

Un numero è divisibile per 3 se e solo se

lo è la somma delle sue cifre Un numero è divisibile

per 3 La somma delle cifre

di un numero è divisibile per 3

p ⇔ q

ESERCIZIO pag, 234 n.239

Date le seguenti proposizioni composte, indicare con una lettera ogni proposizione elementare che la compone e riscrivere in forma simbolica la proposizione composta.

Sono andato in barca e non ho nuotato Sono andato in barca Ho nuotato p∧q

Leggo un libro o ascolto un CD Leggo un libro Ascolto un CD p∨q

O un numero è pari o è dispari Un numero è pari Un numero è dispari p ̊v q

Giovanni non studia né inglese né russo Giovanni studia inglese Giovanni studia russo p∧q ESERCIZIO pag, 235 n.240

Mangio carne ma non pesce Mangio carne Mangio pesce p∧q

Non mangio carne o non mangio pesce Mangio carne Mangio pesce p∨q

Non è vero che mangio carne e pesce Mangio carne Mangio pesce p∧q

Lara ascolta musica rock o musica pop Lara ascolta musica rock

Lara ascolta musica

pop p∨q

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ESERCIZIO pag, 235 n.241

Se piove allora apro l'ombrello Piove Apro l'ombrello p ⇒ q

Finirò il lavoro se e solo se lavorerò altre

quattro ore Finirò il lavoro Lavorerò altre quattro

ore p ⇔ q

Non perderò la coincidenza se il treno sarà

puntuale Perderò la coincidenza Il treno sarà puntuale q ⇒ p

Un numero è divisibile per 5 se e solo se

termina con 0 o con 5 Un numero è divisibile

per 5 Termina con 0 o con

5* p ⇔ q

Qualche pignolo potrebbe osservare che la frase “termina con 0 o con 5” è un enunciato composto, e direi anche con qualche ragione. Dunque la formalizzazione più corretta sarebbe questa:

Enunciato a parole p q r Enunciato

formale

Un numero è divisibile per 5 se e

solo se termina con 0 o con 5 Un numero è

divisibile per 5 Termina con 0 Termina con 5 p ⇔(q∨r) ESERCIZIO 242 pag.235

Date le seguenti proposizioni elementari, esprimere col linguaggio naturale le proposizioni composte date in forma simbolica.

Proposizione p: “Fabrizio gioca a tennis”.

Proposizione q: “Fabrizio gioca a calcio”.

p∧q Fabrizio gioca sia a tennis che a calcio.

p ⇒ q Fabrizio non gioca a tennis e allora gioca a calcio.

p ̊v q Fabrizio gioca soltanto a tennis o soltanto a calcio.

p∧q Fabrizio non gioca sia a tennis che a calcio.

ESERCIZIO n.243 pag.235 Considerare gli enunciati:

a: 3 + 2 = 5; b: 3×4≠12 c: 3²=6

Determinare i valori di verità dei seguenti enunciati: a∨b ;a ⇒b ;b⇔ c ;c ⇒ a ;a∧c . Risposta:

a b c a∨b a ⇒ b b ⇔c c ⇒ a a∧c

V F F V F V V F

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ESERCIZIO n.244 pag.235 Sono dati gli enunciati

a: 12 è un numero pari; b: 6<7 c: 17 è divisibile per 4.

Determinare i valori di verità dei seguenti enunciati: a∧b ;a ⇒c ;b∨c ;b ⇔ c ; a ̊v b . Risposta:

a b c a∧b a ⇒ c b∨c b ⇔c a ̊v b

V V F V F V F F

ESERCIZIO n.245 pag.235

Considerare l'implicazione “se Paolo è fiorentino allora Paolo è toscano” e scrivere l'implicazione contraria, inversa e contronominale.

Risposta:

Data l'implicazione a ⇒ b quella inversa è b ⇒ a , quella contraria è a ⇒ b e quella contronominale è b ⇒ a . Applicato alla nostra implicazione, potremmo scrivere in questo modo:

inversa: se Paolo è toscano allora Paolo è fiorentino;

contraria: se Paolo non è fiorentino allora Paolo non è toscano;

contronominale: se Paolo non è toscano allora Paolo non è fiorentino.

OSSERVAZIONE

Non lasciatevi confondere dal fatto che due di queste proposizioni sono false, l'esercizio ha soltanto lo scopo di far memorizzare la nomenclatura.

Un'implicazione ha come contronominale la seguente:”se Luca non è europeo allora Luca non è italiano”. Qual è l'implicazione diretta?

Risposta:

Diretta: a ⇒ b , contronominale: b ⇒ a .

Dunque dobbiamo invertire le posizione e negare le negazioni, la proposizione diretta deve essere:

“Se Luca è italiano, allora Luca è europeo”.

Considerare la proposizione: “se Luisa legge un libro in inglese, allora Luisa conosce l'inglese” e scrivere le proposizioni contraria, inversa e contronominale.

Risposta:

Inversa:”se Luisa conosce l'inglese, allora legge un libro in inglese”;

opposta: “se Luisa non legge un libro in inglese, allora Luisa non conosce l'inglese”;

contronominale:”se Luisa non conosce l'inglese, allora non legge un libro in inglese”.

ESERCIZI 248,249,250 pag.235

Sono esercizi del tipo vero/falso. Si tratta semplicemente di applicare le tavole di verità.

248 a. Falso b. Vero c. Vero

d. Falso, perché potrebbe essere p vero e q falso.

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249 a. Vero b. Vero c. Vero d. Falso 250

a. Vero, si tratta di una doppia negazione b. Vero

c. Vero

d. Falso, perché p,q potrebbero essere entrambi falsi.

ESERCIZIO n.265 pag.237 Completare la tavola di verità

p q p∨q q p ⇒ q (p∨q)∧( p⇒ q)

V V V F F F

V F V V V V

F V V F V V

F F F V V F

Dati gli insiemi A={x ∈ℕ: x =3 n+1∧n∈ℕ} ; B={x ∈ℕ: x =3 n+2∧n∈ℕ} determinare l'insieme ℕ−( A∪B)

Risposta:

Si osservi che gli elementi di A sono quei numeri che divisi per 3 hanno resto 1, per esempio 4,7,10,13,16 etc. Analogamente gli elementi dell'insieme B sono quei numeri che divisi per 3 hanno resto 2, come per esempio 5, 8, 11,14,17 etc.

Se dall'insieme dei numeri naturali tolgo sia i numeri di A che quelli di B quali rimangono? Soltanto i numeri divisibili per 3. Dunque ℕ−( A∪B)={x∈ℕ: x=3 n∧n∈ℕ}

ESERCIZIO n.272 pag. 239

Costruire la tavola di verità della seguente formula: (

p∨q)∧ p

Risposta:

Per poter ragionare più comodamente nella nostra tabella inseriremo delle colonne “di servizio”, costruendo l'enunciato richiesto un pezzo alla volta.

p q p∨q p (p∨q)∧ p

V V V F F

V F V F F

F V V V V

F F F V F

Così facendo possiamo determinare i valori dell'ultima colonna applicando la definizione della disgiunzione ai valori che leggiamo nella terza e quarta colonna (colorate in viola).

(8)

Costruire la tavola di verità della seguente formula:

( p∧q)∨q

Risposta:

p q p∧q (p∧q) (p∧q)∨q

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

Costruire la tavola di verità della seguente formula:

( p∧q)∧( p∨q)

Risposta:

p q q p∧q p∨q (p∧q)∧( p∨q)

V V F V V V

V F V F V F

F V F F F F

F F V F V F

DEFINIZIONE

Si dice predicato un'espressione linguistica il cui valore di verità dipende da variabili.

Si scrive p(x) per intendere un predicato che dipende dalla variabile x;

si scrive p(x,y) per intendere un predicato che dipende dalle variabili x,y;

e così via.

L'insieme dei valori per cui p(x) è vero si dice insieme di verità di p(x).

[pag.200-201 vol. Algebra 1]

ESEMPI

“Il numero naturale x è un numero primo” è un predicato la cui verità dipende dalla scelta di x.

“Il numero reale x è maggiore del numero reale y” è un predicato la cui verità dipende dalla scelta di x e di y.

DEFINIZIONE/NOTAZIONE: QUANTIFICATORI UNIVERSALI La scrittura ∀

x p(x)

si legge “per ogni x è vero p(x)”

La scrittura

∃ x p(x)

si legge “esiste x tale che sia vero p(x)”

In alcuni testi si possono trovare anche le scritture ∃₁

x p( x)

oppure ∃! p( x) che entrambe si leggono “esiste un unico x tale che sia vero p(x)”

OSSERVAZIONE

Le espressioni ∀

x p(x)

e ∃

x p(x)

sono enunciati, infatti possibile stabilire se sono vere o false. Riprendendo gli esempi di sopra è sicuramente falso dire che ogni x naturale è primo ma è vero dire che esistono dei numeri primi. Per quanto riguarda il secondo esempio è falso dire che qualunque coppia (x,y) io scelga sarà comunque x>y ma sicuramente esistono delle coppie (x,y) per

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cui x >y.

Dati i predicati:

p(x): x+2>0

;

q( x): x−3<0

con

x∈ℤ

stabilire se sono veri o falsi gli enunciati:

p(1)∧q(1)

;

p(−3)∨q(−3)

;

p(−1)⇒ q(4)

. Risposta:

Osserviamo che p(1) è vero e q(1) è pure vero, di conseguenza

p(1)∧q(1)

^{è vero.}

Osserviamo che p(-3) è falso ma q(-3) è vero, quindi

p(−3)∨q(−3)

^{è vero.}

Osserviamo che p(-1) è vero ma q(4) è falso, quindi

p(−1)⇒ q(4)

^{è falso.}

Determinare il valore di verità dei seguenti enunciati.

∀ x ∃ y(2 x> y) x∈ℤ∧ y∈ℤ

Falso. Se x=0 allora la disuguaglianza è falsa con qualsiasi y

∀ x ∀ y( x

²

+ y

²

>0) x∈ℤ∧ y∈ℤ

Falso. Se x=y=0 la disuguaglianza è falsa.

∀ x ∃ y( x

²

− y=0) x∈ℚ∧ y∈ℚ

Vero.

y=x

²

∃ x ∃ y( x+ y+4=0) x∈ℤ∧ y∈ℤ

Vero. Per esempio x=y=-2 o anche x=-1 e y=-3 e altre infinite ancora.

∀ x ∃ y( x+ y+4=0) x∈ℕ∧ y∈ℕ

Falso. Non esistono proprio coppie x,y che possano rendere vera l'uguaglianza.

Determinare il valore di verità dei seguenti enunciati.

∀ x ∃ y( x y=0) x∈ℚ∧ y∈ℚ

Vero. Per tutti quanti esiste y=0.

∃ x ∀ y( x y=0) x∈ℚ∧ y∈ℚ

Vero. Esiste x=0.

∀ x ∃ y( x< y) x∈ℕ∧ y∈ℕ

Vero. Esiste y=x+1 (e tutti i successivi)

∃ x ∀ y( x> y) x∈ℕ∧ y∈ℕ

Falso. Qualunque sia il numero naturale x esistono infiniti successivi, a partire da x+1.

∀ x ∃ y(2 x+1= y) x∈ℕ∧ y∈ℕ

Vero. Basta fare il conto.

∀ y ∃ x(2 x+1= y) x∈ℕ∧ y∈ℕ

Falso. Se y è pari non esiste x che rende vera l'uguaglianza.

DEFINIZIONE

Dati due predicati p(x) e q(x) diremo:

• nel caso

p(x)⇒ q(x)

▪ che p(x) è condizione sufficiente per q(x)

▪ e che q(x) è condizione necessaria per p(x)

• nel caso

p(x)⇔ q(x)

che p(x) e q(x) sono condizioni necessarie e sufficienti l'una per l'altra.

[pag.205-208 vol. Algebra 1]

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ESEMPI

Un numero naturale x se è primo allora è dispari.

La condizione “x è primo” è condizione sufficiente per la condizione “x è dispari”.

La condizione “x è dispari” è condizione necessaria per la condizione “x è primo”.

Non è vero il viceversa.

Un triangolo T è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti.

La condizione “T è isoscele” è condizione necessaria e sufficiente per la condizione “T ha gli angoli alla base congruenti”.

La condizione “T ha gli angoli alla base congruenti” è necessaria e sufficiente per la condizione “T è isoscele”.

Dati i predicati

a (x): x=8 n∧n∈ℕ

;

b(x): x=4 k∧k ∈ℕ

, è vero l'enunciato

∀ x(a( x)⇔b( x))

? Risposta:

No, non è vero.

Osserviamo che a(x) è condizione sufficiente per b(x), infatti x=8 n= 4 (2 n).

Non è vero il viceversa, basti pensare a numeri come 12 che è multiplo di 4 ma non è divisibile per 8.

ESERCIZIO n.1 pag.246 (Risposte chiuse del tipo vero/falso) _a. Vero, può succedere nel caso in cui

A∩B=∅

_b. Falso, l'insieme a destra è vuoto, mentre quello a sinistra è {−2} . _c. Vero.

_d. Vero.

Sono dati gli insiemi

A={x∈ℕ:0< x<50∧x=15 n∧n∈ℕ}

;

B={x∈ℕ: x=3 n∧1≤n≤10∧n∈ℕ}

. Determinare

A−B

. Risposta:

In questo caso è possibile riscrivere le descrizioni degli insiemi in modo estensivo, quindi ne approfittiamo:

A={15,30, 45}

B={3,6 ,9,12,15,18,21,24 ,27,30}

A questo punto è facile determinare

A−B={45}

. ESERCIZIO n.3 pag.246

Consideriamo gli insiemi

A={x∈ℕ: x=5 n∧n>0∧n∈ℕ}

;

B={x∈ℕ: x>31}

. Determinare

A∩B

essendo ℕ l'insieme universo.

Risposta:

Osserviamo che

B={x∈ℕ: x≤31}

, dunque

A∩B={x∈ℕ: x=5 n∧n>0∧n∈ℕ∧x≤31}={5,10 ,15,20 ,25,30}

(11)

ESERCIZIO n.4 pag.246 (risposta chiusa con scelta multipla) La risposta giusta è la (b).

La (a) non può essere perché non è evidenziato tutto A.

La (c) non può essere perché non è evidenziato tutto A e neanche tutto

B∩A

^.

La (d) non può essere perché è evidenziato qualcosa di troppo.

La (e) non può essere perché è evidenziato qualcosa di troppo.

ESERCIZIO n.5 pag.246 (risposta chiusa con scelta multipla) La risposta giusta è la (d).

Il trabocchetto è nel linguaggio: 8 famiglie hanno almeno il cane e 10 famiglie hanno almeno il gatto, nella somma 18 sono state contate due volte le 4 famiglie che hanno sia il cane che il gatto, ecco perché il totale delle famiglie che hanno cane e/o gatto è 18-4=14. Dunque le famiglie che non hanno animali sono 20-14=6.

Di fronte alle domande con risposta multipla può essere utile ragionare per esclusione. In effetti si potevano escludere immediatamente tutte le risposte maggiori di 10, dato che 10 famiglie hanno almeno il gatto. Tenendo presente che le famiglie con cane e gatto sono 4 potevamo escludere 2 (troppo poche) e 10 (troppe).

Siano dati gli insiemi

A={x∈ℕ: x

²

<5}

^;

B={x∈ℕ: x=2 n∧n∈ℕ}

. Determinare gli insiemi

A−B

^;

A∩B

^e

A

²−(

A×B)

rappresentandoli per elencazione.

Risposta:

L'insieme A possiamo rappresentarlo per elencazione

A={0 ;1 ; 2}

mentre l'insieme B è l'insieme dei numeri pari che ha infiniti elementi. Quindi

A−B={1}

;

A∩B={2}

;

A

²

−( A×B)={(0 ;1);(1 ;1);(2 ;1)}

ESERCIZIO n.7 pag.246 (risposta chiusa con scelta multipla) La risposta giusta è la (e).

L'insieme di verità di p(x) è

{0,1 ,2}

mentre quello di q(x) è

{1,3,5}

. L'intersezione è {1} ^.

Ragionando per esclusione: elimino prima le risposte che contengono numeri maggiori di 3 ovvero la (a) e la (c). Poi elimino la (b) perché contiene un numero pari. Per decidere fra la (d) e la (e) posso verificare se 1 rende veri entrambi i predicati.

ESERCIZIO n.8 pag.246 (Risposte chiuse del tipo vero/falso) _a. Vero

_b. Vero.

_c. Vero.

_d. Vero.