QUADERNO 1 E – 2019/2020

(1)

QUADERNO 1 E – 2019/2020

SETTIMANA 2

Rappresentare i numeri sulla retta orientata ci aiuta anche a separare il concetto astratto di numero dalla sua rappresentazione. Lo stesso numero può avere infatti molte rappresentazioni diverse.

1 4

1 3

1 2

2 3

3 4

0,25 0, 3 0,5 0, 6 0,75

25% 50% 75%

Un quarto Un terzo Metà Due terzi Tre quarti

OSSERVAZIONE SULLA RAPPRESENTAZIONE PERIODICA 1

9=0, 1 4

9=0, 4 7 9=0, 7 2

9=0, 2 5

9=0, 5 8 9=0, 8 3

9=1

3=0,3 6 9=2

3=0, 6 9

9=1=0,9

A qualcuno potrà sembrare paradossale che sia 1=0, 9

ESERCIZI SULLA SEMPLIFICAZIONE DI ESPRESSIONI NUMERICHE

Premessa: nella scuola si fa un abuso della parola “esercizio”, per meglio intenderci ricordiamo la differenza tra “esercizio” e “problema”.

ESERCIZIO: sappiamo già cosa fare e come e lo facciamo.

PROBLEMA: fase 1: dobbiamo capire cosa fare; fase 2 la facciamo.

Tornando alla nostra questione specifica degli esercizi sulla semplificazione di espressioni numeriche, noi sappiamo già cosa fare, ovvero dobbiamo eseguire le operazioni di addizione, sottrazione etc. applicando una convenzione di scrittura: la priorità tra le operazioni.

CONVENZIONE DI SCRITTURA

Volendo eseguire il calcolo indicato da una espressione numerica si eseguono le operazioni in questo ordine:

1. potenze

2. moltiplicazioni e divisioni 3. addizioni e sottrazioni

Le parentesi e le linee di frazione lunghe indicano una variazione di questo ordine: la priorità deve essere data all'operazione contenuta nelle parentesi o sopra (o sotto) la linea di frazione lunga.

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ESERCIZIO pag. 143 n.246

Calcolare il valore della seguente espressione (1

2−5)

−2

(−3 2)

3

−(−7 10:1

5:14+5 6)

5

(− 7 12)

−4

−1

5[(−2)²]⁻¹ Risposta:

Eseguiamo i calcoli all'interno delle parentesi. Non precipitiamoci a calcolare le potenze, aspettando il momento giusto la situazione potrebbe semplificarsi da sola.

(1 2−5)

−2

(−3 2)

3

−(− 7 10:1

5:14+5 6)

5

(− 7 12)

−4

−1

5[(−2)²]⁻¹=...

...=(−9 2)

−2

(−3 2)

3

−(− 7

10(5)( 1 14)+5

6)

5

( 7 12)

−4

−1

5[4]⁻¹=...

...=(2 9)

2

(−3 2)

3

−(−1 4+5

6)

5

( 7 12)

−4

−1 5(1

4)=...

...=(2 3²)

2

(−3 2)

3

−(−3+10 12 )

5

( 7 12)

−4

− 1 20=...

...=−(2² 3⁴)(3³

2³)−( 7 12)

5

( 7 12)

−4

− 1 20=−1

6− 7 12− 1

20=−10−35−3 60 =−48

60=−4 5 ESERCIZIO pag 143 n.261

Calcolare il valore della seguente espressione:

−3²+ 1

3(2)⁻³:[−(−4 3)

2

]−2(1+1 3)

−1

Risposta:

−3²+ 1

3(2)⁻³:[−(−4 3)

2

]−2(1+1 3)

−1

=...

...=−9+1 3 8

:[−(4 3)

2

]−2(4 3)

−1

=−9−8 3:(4

3)

2

−2(3

4)=−9−8 3(3²

4²)−3

2=−9−6 4−3

2=−9−3 2−3

2=...

...=−18−3−3

2 =−24

2 =−12

ESERCIZIO pag 143 n.265 (per casa) Calcolare il valore della seguente espressione:

5 6−{[( 3

10−1 4− 2

15)

3

:(5 3−3

2)

3

+1 4]

2

:(1 2)

7

−1 2} Risposta:

5 6−{[( 3

10−1 4− 2

15)

3

:(5 3−3

2)

3

+1 4]

2

:(1 2)

7

−1 2}=...

(3)

...=5

6−{[(18−15−8 60 )

3

:(10−9 6 )

3

+1 4]

2

:(1 2)

7

−1 2}=...

...=5

6−{[(−5 60)

3

:(1 6)

3

+1 4]

2

:(1 2)

7

−1 2}=5

6−{[(−1 12)

3

(6)³+1 4]

2

:(1 2)

7

−1 2}=...

...=5

6−{[(−1 2)

3

+1 4]

2

:(1 2)

7

−1 2}=5

6−{[(−1 8)+1

4]

2

:(1 2)

7

−1 2}=5

6−{[1 8]

2

:(1 2)

7

−1 2}=...

...=5 6−{[1

2]

6

:(1 2)

7

−1 2}=5

6−{[1 2]

−1

−1 2}=5

6−{2−1 2}=5

6−3

2=5−9 6 =−4

6=−2 3 ESERCIZIO n.269 pag.144

[

−1 2−3

4

−3+3 4

+

−1 2−3

5

−3+(−1 2)

2](−3 2)

2

−43 20 Risposta:

[

−1 2−3

4

−3+3 4

+

−1 2−3

5

−3+(−1 2)

2](−3 2)

2

−43 20=[

−2−3 4

−12+3 4

+

−5−6 10

−3+1 4

](9 4)−43

20=...

...=[

−5 4

−9 4

+

−11 10

−12+1 4

](9 4)−43

20=[5 9+

−11 10

−11 4

](9 4)−43

20=[5 9+2

5](9 4)−43

20=25+18 45 (9

4)−43 20=...

...=43 45(9

4)−43 20=43

20−43 20=0 ESERCIZIO n. 294 pag.145

Trasformare le seguenti frazioni in forma decimale 3

100; 1 1000;17

10; 7

10000; 31

100; 7239

100000; 973 1000 Risposta:

In pratica, prendiamo come riferimento la cifra delle unità del numeratore, tale cifra la metteremo ad un certo posto dopo la virgola, tale posto lo determiniamo contando gli zeri che vediamo al denominatore.

3

100=0,03 1

1000=0,001 17

10=1,7 7

10000=0,0007

31

100=0,31 7239

100000=0,07239 973

1000=0,973

(4)

ESERCIZIO n.295 pag.145

Trasformare le seguenti frazioni in forma decimale.

5 10; 4

100;13 10; 21

100; 73 1000; 18

200 Risposta:

Come sopra.

5 10=0,5 4

100=0,04 13 10=1,3

21

100=0,21 73

1000=0,073 18

200= 90

1000=0,09

Si noti come per l'ultima frazione ho dovuto fare un passaggio intermedio per avere a denominatore una potenza di 10.

Trasformare le seguenti forme decimali in forme frazionarie.

0,012 ;127,3 ;6,274 ;13,22 ;2,007 ;0,9740

Risposta:

Prendiamo come riferimento la cifra più a destra (esclusa la cifra “zero”), contiamo a quale posto sta dopo la virgola. Potremo così scrivere una frazione che avrà a denominatore una potenza di 10 con tanti zeri tanti i posti contati e a numeratore il numero formato dalle cifre che vedo (da sinistra la prima non zero fino a quella più a destra non zero, gli zeri che stanno nel mezzo, invece rimangono!)

0,012= 12 1000 127,3=1273 10 6,274=6274

1000

13,22=1322 100 2,007=2007

1000 0,9740= 974 1000 ESERCIZIO n.298 pag.146

Trasfomare le seguenti forme frazionarie in forme decimali 4

3;3 4;15

24;1 3;3

7;5 6;4

9;10 15; 4

11;12 13 Risposta:

4

3=1+1

3=1+0, 3=1, 3 3

4= 75

100=0,75 15

24=5 8=2,5

4 =62,5

100=0,625

1 3=0,3 3

7=0, 428571 5

6=5 3×1

2=1, 6

2 =0,8 3

4 9=0, 4 10

15=2 3=0,6 4

11=0, 36

12

13=0,923076

(5)

OSSERVAZIONE

Le uguaglianze senza passaggi sono dovute alla conoscenza memorizzata o all'esecuzione della divisione (concettualmente cambia poco tra eseguirla con la calcolatrice o con l'algoritmo manuale.) Quando ho inserito dei passaggi intermedi ho voluto mostrare come si poteva fare a meno della calcolatrice elettronica usando qualche astuzia. È ovvio che usando la calcolatrice elettronica (ma anche l'algoritmo manuale se a qualcuno piace) non c'è bisogno di quei passaggi intermedi.

ESERCIZIOn n.300 pag.146

Trasformare le seguenti forme decimali in forme di frazioni ridotte ai minimi termini.

1,3 ;0,02 ;13,40 ; 2,008 ;0,0004 ; 2,0023

Risposta:

1,3=13 10 0,02= 2

100= 1 50 13,40=134

10 =67 5

2,008=2008 1000=251

125 0,0004= 4

10000= 1 2500 2,0023=20023

10000 ESERCIZIO n.303 pag.146

Trasformare le seguenti forme decimali in forme di frazioni ridotte ai minimi termini.

0,0 5 ;1,0 6 ; 4, 7 ;5,36 ;5,36 ;1,1 2 Risposta:

0,0 5= 5 90= 1

18 1,0 6=106−10

90 =96 90=16

15 4, 7=47−4

9 =43 9

5,3 6=536−53 90 =483

90 =161 30 5 , 36=536−5

99 =531 99 =59

11 1,1 2=112−11

90 =101 90 ESERCIZIO n.304 pag.146

Eseguire le seguenti operazioni con i numeri scritti in forma decimale.

(9,5−2,4+0,6)×0,2 (4,6+0,03−5,25):0,2 Risposta:

(9,5−2,4+0,6)×0,2=7,7×0,2=1,54 (4,6+0,03−5,25):0,2=−0,62 :0,2=−3,1 ESERCIZIO n.317 pag.146

(13

17−0, 6)[−(5

8−0,25)(1+1

3)−(0,1 6−0,2+ 2 15)2

3]

(6)

Risposta:

(13

17−0, 6)[−(5

8−0,25)(1+1

3)−(0,1 6−0,2+ 2 15)2

3]=(13 17−2

3)[−(5 8−1

4)4 3−(15

90− 2 10+ 2

15)2 3]=...

...=(39−34

51 )[−(5−2 8 )4

3−(15−18+12 90 )2

3]= 5 51[−(3

8)4 3−( 9

90)2 3]= 5

51[−1 2− 1

15]=...

...= 5

51−15+2 30 = 5

51[−17 30]=− 1

18 ESERCIZIO n.329 pag.147

Calcolare il valore delle seguente espressioni (0,1)²:(2

5)

2

(2²)² (2

3+0,5 :3)(1+1 5)

(2,3+1,2−0,5)(2,4−0,8) 1,2²:0,6²+(1−0,5)²

Risposta:

(0,1)²:(2 5)

2

(2²)² (2

3+0,5 :3)(1+1 5)

= ( 1

10)

2

(5 2)

2

(4)² (2

3+(1 2)(1

3))(6 5)

= 1² (2

3+1 6)(6

5)

= 1

4+1 6 (6

5)

= 1

5 6(6

5)

=1 1=1 (2,3+1,2−0,5)(2,4−0,8)

1,2²:0,6²+(1−0,5)² = (3)(1,6) (12

10)

2

(10 6 )

2

+(0,5)²

= 4,8

2²+0,25= 4,8

4+0,25= 4,8 4,25=48

10(100 425)=...

...=24 5 ( 4

17)=96 85

DEFINIZIONE DI NOTAZIONE ESPONENZIALE

Si dice che un numero è scritto in notazione esponenziale, quando è scritto nella forma:

p×10

ⁿ essendo p∈ℚ∧n∈ℤ p si dice parte significativa del numero.

DEFINIZIONE DI NOTAZIONE SCIENTIFICA

Si dice che un numero è scritto in notazione scientifica, quando è scritta nella notazione esponenziale

p×10

ⁿ essendo p∈ℚ∧n∈ℤ∧1≤∣p∣<10 .

DEFINIZIONE DI ORDINE DI GRANDEZZA

Si dice ordine di grandezza di un certo numero la potenza di 10 che approssima quel numero con il seguente criterio:

scriviamo il numero in notazione scientifica: p×10ⁿ se 1≤∣p∣<5 allora l'ordine di grandezza è 10ⁿ se 5≤∣p∣<10 allora l'ordine di grandezza è 10ⁿ⁺¹ OSSERVAZIONE

La notazione scientifica ha uno scopo pratico e di forte approssimazione, per questo motivo si possono trovare definizioni leggermente diverse sia per la notazione scientifica che per l'ordine di

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grandezza. L'ordine di grandezza vorrebbe essere la potenza di 10 “più vicina” al numero, ma in modo, appunto, approssimativo. Inoltre anche su questo “più vicina” ci possono essere opinioni diverse. Per quanto ci riguarda ci atteniamo alla definizione riportata nel nostro libro di testo.

Scrivere i seguenti numeri in forma esponenziale con i due cifre intere nella parte significativa.

1,48×10³; 0,047×10⁻³;145,1×10⁻² Risposta:

1,48×10³=14,8×10⁻¹×10³=14,8×10² 0,047×10⁻³=47×10⁻³×10⁻³=47×10⁻⁶ 145,1×10⁻²=14,51×10¹×10⁻²=14,51×10⁻¹ ESERCIZIO n.334 pag.147

Scrivere i seguenti numeri in forma esponenziale con i due cifre intere nella parte significativa.

237,4×10²;0,000473×10²;0,000473×10⁻² Risposta:

237,4×10²=23,74×10¹×10²=23,74×10³ 0,000473×10²=47,3×10⁻⁵×10²=47,3×10⁻³ 0,000473×10⁻²=47,3×10⁻³×10⁻²=47,3×10⁻⁵ ESERCIZIO n.338 pag.148

Scrivere in notazione scientifica i seguenti numeri:

8730 ;18000 ; 0,075 ;10321 ;69,31 Risposta:

8730=8,73×10³ 18000=1,8×10⁴ 0,075=7,5×10⁻²

10321=1,0321×10⁴ 69,31=6,931×10¹ ESERCIZIO n.339 pag.148

41,303 ; 200000 ; 215×10³;71,03 ; 0,081 Risposta:

41,303=4,1303×10¹ 200000=2×10⁵

215×10³=2,15×10²×10³=2,15×10⁵

71,03=7,103×10² 0,081=8,1×10⁻² ESERCIZIO n.340 pag.148

813,7×10⁻⁵; 2407×10⁻⁴;0,0000018 ;41×10⁷

(8)

Risposta:

813,7×10⁻⁵=8,137×10²×10⁻⁵=8,137×10⁻³ 2407×10⁻⁴=2,407×10³×10⁻⁴=2,407×10⁻¹

0,0000018=1,8×10⁻⁶ 41×10⁷=4,1×10¹×10⁷=4,1×10⁸ ESERCIZIO n.341 pag.148

Scrivere in notazione scientifica i seguenti numeri 93,8×10⁻³; 0,305×10⁻⁶; 21,003×10⁻⁴;193×10⁴ Risposta:

93,8×10⁻³=9,38×10¹×10⁻³=9,38×10⁻² 0,305×10⁻⁶=3,05×10⁻¹×10⁻⁶=3,05×10⁻⁷ 21,03×10⁻⁴=2,1003×10¹×10⁻⁴=2,1003×10⁻³

193×10⁴=1,93×10²×10⁴=1,93×10⁶ ESERCIZIO ESTEMPORANEO IN CLASSE

Stabilire anche l'ordine di grandezza dei numeri degli esercizi precedenti.

Risposta:

8,73×10³ODG 10⁴ 1,8×10⁴ODG 10⁴ 7,5×10⁻²ODG 10⁻¹ 1,0321×10⁴ODG 10⁴

6,931×10¹ODG 10² 4,1303×10¹ODG 10¹

2×10⁵ODG 10⁵ 2,15×10⁵ODG 10⁵ 7,103×10²ODG 10³ 8,1×10⁻²ODG 10⁻¹ 8,137×10⁻³ODG 10⁻² 2,407×10⁻¹ODG 10⁻¹

1,8×10⁻⁶ODG 10⁻⁶ 4,1×10⁸ODG 10⁸ 9,38×10⁻²ODG 10⁻¹ 3,05×10⁻⁷ODG 10⁻⁷ 2,1003×10⁻³ODG 10⁻³

1,93×10⁶ODG 10⁶ ESERCIZIO n.355 pag.149

Calcolare il valore delle seguenti espressioni, scrivendolo in notazione scientifica:

48000000×0,0000025

0,004³×125000 150000−0,04²×50000000 Risposta:

48000000×0,0000025

0,004³×125000 = 48×10⁶×25×10⁻⁷

(4×10⁻³)³×125×10³= 48×1×10⁻¹

4³×10⁻⁹×5×10³= 3×10⁻¹ 4×5×10⁻⁶=...

...=3×10−1×10⁶

20 =3×10⁵

2×10=1,5×10⁵×10⁻¹=1,5×10⁴

150000−0,04²×50000000=15×10⁴−(4×10⁻²)²×5×10⁷=15×10⁴−16×10⁻⁴×5×10⁷=...

...=15×10⁴−80×10³=150×10³−80×10³=70×10³=7×10⁴

Calcolare il valore delle seguenti espressioni, scrivendolo in notazione scientifica:

(0,0000096×1080000 3600000×0,00144 )

3

3600000²×0,00125 150000×0,002³−0,0002 Risposta:

(9)

(0,0000096×1080000 3600000×0,00144 )

3

=(96×10⁻⁷×108×10⁴ 36×10⁵×144×10⁻⁵)

3

=(2×3×10⁻³ 1×3×10⁰ )

3

=(2×10⁻³)³=8×10⁻⁹

[Il risultato riportato sul libro di testo è sbagliato]

3600000²×0,00125

150000×0,002³−0,0002= (36×10⁵)²×125×10⁻⁵

15×10⁴×(2×10⁻³)³−2×10⁻⁴= 1296×10¹⁰×125×10⁻⁵ 15×10⁴×8×10⁻⁹−2×10⁻⁴=...

...= 1296×125×10⁵

120×10⁻⁵−2×10⁻⁴= 162000×10⁵

12×10⁻⁴−2×10⁻⁴=162×10⁸

10×10⁻⁴=162×10¹¹=1,62×10¹³

Nel negozio Spendibene ogni articolo di abbigliamento è scontato del 20%. Marta deve acquistare una polo da 45 € e una T-shirt da 30 € di listino. Nel negozio Spendimeglio la polo è venduta a 35 € e la T-shirt a 25 €. In quale negozio a Marta conviene comprare la polo? E in quale la T-shirt ? Risposta:

Calcoliamo i prezzi scontati del negozio Spendibene:

45− 20

10045= 80

10045=36 30− 20

10030= 80

10030=24

Dunque nel negozio Spendimeglio conviene (seppure di poco) comprare la polo, 35 € < 36 €, mentre nel negozio Spendibene conviene (di altrettanto poco) comprare la T-shirt, 24 € < 25 €.