QUADERNO 1 E – 2019/2020

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QUADERNO 1 E – 2019/2020

SETTIMANA 3

La matematica viene tradizionalmente divisa in tanti settori: nel primo bienno delle scuole medie superiori ci si concentra prevalentemente nell'algebra e nella geometria. In realtà i vari settori della matematica non sono nettamente separati. Nell'algebra (dall'arabo “aggiustare” o qualcosa di simile) ci si concentra prevalentemente nel trattare numeri nel modo più generale possibile, con incognite e variabili; nella geometria (dal greco “misura della terra”) ci si concentra sulle figure nel modo più astratto possibile.

Entrambi i settori nascono da concetti intuitivi: l'uomo primitivo osserva l'ambiente in turno a lui e si rende conto dei concetti astratti di numero (algebra) e di figura (geometria).

In entrambi i settori pongo degli assiomi (o postulati), stabilisco delle definizioni e dimostro teoremi.

Per qualunque settore della matematica, la costruzione della teoria parte da dei concetti primitivi (il contare per l'algebra, il disegnare per la geometria).

CONCETTI PRIMITIVI

Il punto è l'ente “privo di dimensioni” per dirla in modo analogo allo stesso Euclide. La retta, il piano e lo spazio sono “insiemi” di punti.

OSSERVAZIONE: SCRITTURA SIMBOLICA

Convenzionalmente i punti si indicano con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole e i piani con lettere minuscole dell'alfabeto greco.

OSSERVAZIONE

Anche il concetto di “insieme” è un concetto primitivo (del quale ci occuperemo più avanti).

DEFINIZIONE

Si dice figura un insieme (non vuoto) di punti [vedi pag.6 del vol. Geometria]

POSTULATO 0

Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.

Il piano contiene infinite rette e infiniti punti.

La retta contiene infiniti punti.

[vedi pag.8 del vol.Geometria]

POSTULATO 1

Per due punti (distinti) passa (una ed) una sola retta.

[vedi pag.9 del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE

Il verbo “passare” ci porta all'idea del disegno, all'atto del disegnare. In termini più insiemistici avremmo dovuto dire “due punti distinti appartengono entrambi ad una ed una sola retta.

POSTULATO 2

Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

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OSSERVAZIONE

Il verbo “passare” ci porta ancora all'idea del disegno, anche se in questo caso si tratterebbe di un disegno 3D.

POSTULATO 3

Se due punti A,B di una retta r appartengono ad un piano s, allora la retta r è contenuta nel piano s.

Ho dato dei nomi agli oggetti, per scrivere questo postulato anche in forma simbolica:

A , B∈r∧A , B∈σ ⇒ r⊂σ

che si legge: A, B appartengono (forchettina) a r e (V rovesciata) A,B appartengono a sigma (lettera dell'alfabeto greco) implica (freccia da sinistra a destra) che r è contenuta (U orizzontale) in sigma.

POSTULATO DI ORDINAMENTO DELLA RETTA Siano A,B,C, punti di una retta r

• A< B∨A>B

• A< B∧B<C ⇒ A<C [vedi pag.10 del vol. Geometria]

Abbiamo preso in prestito dall'algebra i simboli > e < per indicare rispettivamente “segue” e

“precede”. La V è un simbolo logico che si legge “o” ,“oppure”. La V rovesciata invece si legge “e”

congiunzione, come già visto sopra.

DEFINIZIONE

Due rette si dicono coincidenti se sono la stessa retta.

Due rette si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune.

Due rette si dicono parallele se non hanno punti in comune ma appartengono allo stesso piano.

Due rette si dicono sghembe se non hanno punti in comune e non appartengono allo stesso piano.

La scrittura r∥s significa che le rette r ed s sono parallele POSTULATO DELL' UNICITA' DELLA PARALLELA

Data una retta r ed un punto P non appartenente ad r, la retta parallela ad r che contiene P è unica.

OSSERVAZIONE

Il postulato si preoccupa soltanto dell'unicità, in quanto l'esistenza della parallela è dimostrabile.

Ovvero, potremmo enunciare un...

TEOREMA

Data una retta r ed un punto P non appartenente ad r, esiste una retta parallela ad r che contiene P.

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DEFINIZIONE

Si dice fascio di rette proprio di centro C l'insieme di tutte le rette che passano per il punto C Si dice fascio di rette improprio l'insieme delle rette parallele tra loro.

DEFINIZIONE

Si dice semiretta di origine O il sottoinsieme di una retta formato dai punti che seguono ad O.

Si dice semiretta di origine O il sottoinsieme di una retta formato dai punti che precedono O.

OSSERVAZIONE

In parole povere l'origine O “spezza” la retta in due semirette. Si noti come per questa definizione risulti indispensabile il postulato di ordinamento della retta.

DEFINIZIONE

Si dice segmento di estremi A,B il sottoinsieme di una retta formato dai punti che seguono ad A e precedono B.

Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un'estremo in comune e nessun altro punto in comune.

Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

DEFINIZIONE

Si dice poligonale l'unione di due o più segmenti consecutivi, tali che i segmenti non consecutivi non abbiano estremi in comune. In questo caso i segmenti si dicono lati e gli estremi si dicono vertici.

Se il primo estremo del primo segmento coincide col secondo estremo dell'ultimo segmento la poligonale si dice chiusa, altrimenti si dice aperta. Se esistono lati non consecutivi con punti in comune la poligonale si dice intrecciata.

POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO

Una retta r divide il piano a cui appartiene in due parti a e b tali che:

A , B∈α ⇒ segmento AB⊂α

A∈α∧B∈β ⇒∃ P : segmento AB∩r={P}

DEFINIZIONE

Si dice semipiano l'unione di una retta con una delle due parti in cui divide il piano.

OSSERVAZIONE

In riferimento alla scrittura simbolica del postulato sopra: la “E” allo specchio si legge “esiste” , i due punti si leggono “tale che”, la U rovesciata si legge “intersezione”, le parentesi graffe dicono che sto considerando un insieme e all'interno delle parentesi graffe sono elencati i suoi elementi, in questo caso il solo punto P. Dunque nella prima riga c'è scritto che se A e B stanno nello stesso semipiano allora anche tutto il segmento di estremi A e B sta in quel semipiano; nella seconda riga c'è scritto che se A e B stanno in semipiani diversi, allora il segmento di estremi A e B incontra la retta r in un punto P.

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DEFINIZIONE

Una figura si dice convessa se presi due punti qualsiasi A, B appartenenti ad essa, il segmento di estremi A e B è contenuto in essa. Altrimenti si dice concava.

OSSERVAZIONE

Nelle figure concave esistono sia segmenti completamente contenuti che segmenti non contenuti, me ne basta anche uno solo non contenuto per dire che la figura è concava.

DEFINIZIONE

Si dice angolo ciascuna delle parti di un piano divise da due semirette con la stessa origine. La parte convessa si dice angolo convesso e la parte concava si dice angolo concavo.

OSSERVAZIONE

La distinzione tra convesso e concavo per gli angoli si può fare anche osservando dove sono contenuti i prolungamenti delle semirette (ovvero le altre metà delle rette in cui le semirette che definiscono l'angolo sono contenute). Tali prolungamenti stanno necessariamente nella parte concava. Tale affermazione è dimostrabile ma in questa sede ci basterà constatarne l'evidenza.

DEFINIZIONE

Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune, solo quel lato in comune.

Due angoli si dicono adiacenti se hanno lo stesso vertice, hanno un lato in comune, i lati non in comune sono semirette diverse che formano la stessa retta.

Due angoli convessi si dicono opposti al vertice se hanno lo stesso vertice e i lati di uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.

POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO (parte seconda)

Una poligonale chiusa non intrecciata divide il piano in due zone: una può contenere segmenti ma non rette, l'altra non può contenere rette.

DEFINIZIONE

I punti che appartengono alla parte che contiene segmenti ma non rette si dicono interni, i punti che appartengono alla parte che può contenere rette si dicono esterni.

Si dice poligono l'insieme dei punti formato da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni.

DEFINIZIONE

Si dice corda di un poligono, un segmento avente gli estremi su lati distinti del poligono; si dice diagonale di un poligono, un segmento avente come estremi due vertici non consecutivi del poligono.

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CONCETTO PRIMITIVO DI MOVIMENTO RIGIDO

Dalla nostra intuizione prendiamo l'idea di poter in qualche modo “ritagliare” dal piano una figura e

“muoverla” senza deformarla allo scopo di sovrapporla ad un altra. Distinguiamo due tipi di movimento rigido:

• movimento che si svolge interamente nel piano;

• movimento che si svolge anche nello spazio.

DEFINIZIONE

Due figure si dicono congruenti se sono sovrapponibili con un movimento rigido.

DEFINIZIONE

Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti.

Un poligono si dice equiangolo se ha tutti gli angoli congruenti.

Un poligono si dice regolare se è sia equilatero che equiangolo.

POSTULATO 4

La congruenza è una relazione di equivalenza.

POSTULATO 5

Tutti i punti sono congruenti tra loro.

Tutte le rette sono congruenti tra loro.

Tutte le semirette sono congruenti tra loro.

Tutti i piani sono congruenti tra loro.

Tutti i semipiani sono congruenti tra loro.

POSTULATI DI TRASPORTO

Data una semiretta di origine O e un segmento PQ, esiste uno ed un solo segmento OA appartenente alla semiretta e congruente a PQ.

Data una semiretta r di origine O e un angolo a, considerato che la retta che contiene la semiretta r divide il piano in due semipiani, per ciascun semipiano esiste uno ed un solo angolo b tale che:

• abbia origine O

• un lato sia la semiretta r

• l'altro lato appartenga al semipiano prefissato [vedi pag.24-25 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE: CONFRONTO TRA SEGMENTI

Consideriamo tre punti A, B, C, sulla stessa retta, diciamo che:

• AB< AC se il punto B è interno al segmento AC

• AB= AC se il punto B coincide col punto C [vedi pag.25 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE: SOMMA DI SEGMENTI

Siano AB e BC due segmenti adiacenti, si dice somma di AB e BC il segmento AC.

AB+ BC = AC

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POSTULATO DI SOMME E DIFFERENZE DI SEGMENTI

Somme e differenze di segmenti rispettivamente congruenti, sono congruenti.

[vedi pag.27del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE 1

Si noti la somiglianza tra la definizione della somma tra segmenti e quella tra numeri razionali e reali, definita nel primo quaderno.

OSSERVAZIONE 2

Possiamo riprendere dall'algebra la definizione di differenza di segmenti, pensando alla sottrazione come ad una “marcia indietro” rispetto all'addizione.

Ancora dall'algebra possiamo riprendere il concetto di multiplo di un segmento, ottenuto con un addizione ripetuta dello stesso segmento. Ovviamente se il segmento a è multiplo di b, potremo anche dire che il segmento b è sottomultiplo di a. Quest'ultima osservazioni ci permette di dividere i segmenti in parti congruenti tra loro.

DEFINIZIONE: PUNTO MEDIO

Si dice punto medio di un segmento AB, il punto interno M al segmento AB, tale che il segmento AM sia congruente al segmento MB.

DEFINIZIONE: SIMMETRIA CENTRALE

Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto O se O è il punto medio del segmento AB.

DEFINIZIONE: CONFRONTO DI ANGOLI

Consideriamo tre semirette a, b, c con lo stesso vertice O. Diciamo che:

• ̂aOb<̂aOc se la semiretta b è contenuta nell'angolo ̂aOc

• ̂aOc=̂aOb se la semiretta b coincide con la semiretta c.

DEFINIZIONE: SOMMA DI ANGOLI

Due angoli consecutivi determinano un terzo angolo, detto somma dei primi due, che ha lo stesso vertice e come lati le due semirette non in comune.

̂AOB+̂BOC=̂AOC

OSSERVAZIONE

Esattamente come abbiamo fatto per i segmenti, possiamo importare dall'algebra la differenza di angoli, intendendo una sottrazione tra angoli come la “marcia indietro” dell'addizione tra angoli.

In perfetta analogia coi segmenti, possiamo anche definire dei multipli di angoli come addizione ripetuta dello stesso angolo e di conseguenza anche i sottomultipli e la divisione degli angoli in parti congruenti.

POSTULATO DI SOMME E DIFFERENZE DI ANGOLI

Somme e differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.

Un angolo può essere diviso in n angoli congruenti con n∈ℕ

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DEFINIZIONE

Si dice bisettrice di un angolo, la semiretta con origine il vertice dell'angolo e tale che divida l'angolo in due angoli congruenti.

DEFINIZIONE

Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto.

DEFINIZIONE

Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto.

Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto.

Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

[vedi pag.30-31 del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE

Due angoli adiacenti sono necessariamente supplementari.

TEOREMA

Se due angoli sono opposti al vertice allora sono congruenti.

Figura

Ipotesi:

̂ AOB ;̂ COD

opposti al vertice Tesi:

̂ AOB≡̂ COD

Dimostrazione:

Si osservi che gli angoli

̂ AOB

^e

̂ BOC

sono supplementari, ovvero

̂ AOB+̂ BOC≡π

^;

si osservi inoltre che gli angoli

̂ BOC

^e

̂ COD

sono pure supplementari, ovvero

̂BOC+̂COD≡π ^.

Dunque

̂ AOB≡π−̂ BOC≡̂ COD

^ovvero

̂ AOB≡̂ COD

^{C.V. D.}

DEFINIZIONE

Nel piano, due rette incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro angoli retti.

La scrittura

r ⊥ s

significa che le rette r ed s sono perpendicolari.

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OSSERVAZIONE

Ad essere pignoli, ci bastava dire “...se formano un angolo retto”, gli altri tre angoli sono retti di conseguenza.

DEFINIZIONE

Consideriamo una retta r ed un punto

P∉r

. Sia s una retta tale che

s⊥r∧P∈s

.

Sia P' il punto di intersezione di r ed s. Il punto P' si dice proiezione ortogonale di P sulla retta r.

DEFINIZIONE

Si dice asse di un segmento, la retta perpendicolare al segmento e passante per il punto medio del segmento.

OSSERVAZIONE

Quando si dice “retta perpendicolare al segmento” si intende ovviamente “retta perpendicolare alla retta nella quale il segmento è contenuto”.

DEFINIZIONE

Due punti A, B si dicono simmetrici rispetto ad una retta r, se la retta r è l'asse del segmento AB.

OSSERVAZIONE

Abbiamo in qualche modo acquisito i concetti e definito:

• la possibilità di confrontare i segmenti tra loro e gli angoli tra loro;

• la possibilità di fare somme, differenze, multipli e sottomultipli di segmenti e di angoli;

tutto ciò ci permette di stabilire un'unità di misura, ovvero un segmento campione e un angolo campione, con il quale confrontare (e quindi misurare) tutti i segmenti e tutti gli angoli.

Per i segmenti l'unità di misura può essere il metro, un suo multiplo, un suo sottomultiplo, o anche semplicemente il lato o più lati di un quadretto del quaderno.

Per gli angoli l'unità di misura più utilizzata è il grado, ma si possono usare anche i radianti o i gradi centesimali o anche un angolo di riferimento scelto da noi stessi.

DEFINIZIONE

Si dice grado la 360-esima parte dell'angolo giro.

OSSERVAZIONE

Con questa unità di misura abbiamo che l'angolo piatto è 180° e l'angolo retto è 90° come è noto a tutti.

DEFINIZIONE

Si definisce distanza tra due punti A e B la lunghezza del segmento AB.

Si definisce distanza tra un punto P ed una retta r la lunghezza del segmento PP', essendo P' la proiezione ortogonale di P sulla retta r.

OSSERVAZIONE

La distanza non ha un verso di percorrenza e quindi sarà sempre un numero positivo o nullo. Nullo

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Nel nostro libro di testo la lunghezza di un segmento viene rappresentata con una linea sopra gli estremi del segmento: la lunghezza del segmento AB si indica con la scrittura

AB

. Ad onor del vero va detto che questo modo di scrivere non è universale e quindi è possibile trovare su altri libri delle scritture diverse.

OSSERVAZIONE

Si noti anche la sottile differenza tra i tre concetti:

figura geometrica (insieme di punti): segmento angolo caratteristica comune di figure congruenti tra loro: lunghezza ampiezza misura (confronto con unità di misura) numero di metri numero di gradi DEFINIZIONE

Si dice circonferenza di centro O e raggio

r∈ℝ

, l'insieme dei punti P del piano tali che

OP=r

POSTULATO 6

Dati O, P punti del piano esiste un'unica circonferenza di centro O e raggio

OP

^.

OSSERVAZIONE

Ad ogni segmento AB possiamo associare la sua lunghezza che siamo in grado di misurare confrontandola con la misura di un segmento campione u.

In scrittura simbolica possiamo scrivere

AB=n⋅u

essendo n un numero positivo (assumiamo per nostra comodità che A e B siano punti diversi).

Se

n∈ℕ

il segmento AB è semplicemente un multiplo di u.

Se

n∈ℚ

il segmento AB è un multiplo di un segmento sottomultiplo di u.

Può anche succedere che

n∈ℝ

(lo capiremo meglio in futuro, per adesso prendiamolo per buono). Questa evenienza ha fatto nascere la seguente definizione.

DEFINIZIONE

Due segmenti si dicono commensurabili se il rapporto delle loro lunghezze è un numero razionale, si dicono incommensurabili se il rapporto delle loro lunghezze è un numero irrazionale.

OSSERVAZIONE

Per le figure piane (poligoni ma anche generiche figure definite da linee curve) possiamo cercare di misurare la superficie coprendola con tanti quadratini scelti come unità di misura per le superfici.

Anche in questo caso distinguiamo i tre concetti:

• figura piana (insieme di punti)

• superficie (caratteristica comune tra figure congruenti)

• area (misura della superficie ovvero numero dei quadratini scelti come unità di misura).

Attenzione al fatto che, al contrario di quanto succede per segmenti e angoli, una volta calcolata l'area osserviamo che figure non congruenti tra loro abbiamo comunque la stessa area.

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ESERCIZIO n.93 pag.53

Su una retta si susseguono, nell'ordine, i quattro punti A,B,C,D e si ha che i segmenti AB≡CD . Dimostrare che i segmenti AC≡BD .

Risposta:

Ipotesi:

{A , B ,C , D}⊂ AB(retta) AB≡CD

Tesi:

AC≡BD Dimostrazione:

Osserviamo che AB+BC=AC e BC+CD=BD (segmenti).

Sappiamo che per ipotesi AB≡CD .

Inoltre BC≡BC , perché la congruenza una relazione di equivalenza, e quindi gode della proprietà riflessiva.

A questo punto possiamo scrivere: AC= BC+AB≡BC+CD=BD da cui la tesi.

Su una retta si susseguono, nell'ordine, i quattro punti A,B,C,D e si ha che i segmenti AC≡BD . Dimostrare che i segmenti AB≡CD

Risposta:

Ipotesi:

{A , B ,C , D}⊂ AB(retta ) AC≡BD

Tesi:

AB≡CD Dimostrazione:

Osserviamo che AB = AC - BC e che CD= BD - BC (segmenti) Sappiamo che per ipotesi AC≡BD .

Inoltre BC≡BC , perché la congruenza una relazione di equivalenza, e quindi gode della proprietà riflessiva.

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Il punto O è l'origine comune delle semirette a,b,c,d che si susseguono in verso antiorario nell'ordine indicato e si ha che gli angoli ̂ab≡̂cd . Dimostrare che gli angoli ̂ac≡̂bd .

Risposta:

Ipotesi: ̂ab≡̂cd Tesi: ̂ac≡̂bd Dimostrazione:

Si osservi che:

ab+̂̂ bc=̂ac bc+̂̂ cd =̂bc

Osserviamo anche che, essendo la congruenza una relazione di equivalenza, gode anche della proprietà riflessiva e quindi possiamo affermare che ̂bc≡̂bc .

Ricordando che per ipotesi ̂ab≡̂cd , possiamo dunque scrivere:

ac=̂̂ ab+̂bc≡̂cd +̂bc=̂bd da cui la tesi.