Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) sono definite le variabili aleatorie reali {Xn}n∈N i.i.d

IV Appello di Processi Stocastici 2010/11 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

14 dicembre 2011 Email:

Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) sono definite le variabili aleatorie reali {X_n}_n∈N i.i.d. con leggi marginali normali standard: X_n∼ N (0, 1). Sia {λ_n}_n∈N una successione fissata di numeri reali. Definiamo per n ∈ N

a_n :=

n

X

i=1

(λ_i)², S_n :=

n

X

i=1

λ_iX_i, Z_n := exp

 S_n−1

2a_n

 ,

e completiamo la definizione ponendo a₀:= 0, S₀:= 0 e Z₀ := 1. Introduciamo infine la filtrazione {F_n}_n∈N0 definita da F₀:= {∅, Ω}, F_n:= σ(X₁, . . . , X_n) per n ∈ N.

[Ricordiamo che la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria Z ∼ N (0, 1) normale standard è data da E(e^tZ) = e^t2/2 per ogni t ∈ R.]

(a) Si mostri che {S_n}_n∈N0 è una martingala. Si calcoli E(S_n) per ogni n ∈ N.

(b) Si mostri che {Z_n}_n∈N0 è una martingala. Si calcoli E(Z_n) per ogni n ∈ N.

[Sugg.: può essere utile scrivere Z_n come prodotto di n variabili aleatorie. . . ] (c) Si spieghi perché Z_∞:= lim_n→∞Z_n esiste ed è finito q.c..

(d) Si mostri che E((Z_n)^t) = exp(¹₂t(t − 1)a_n) per ogni t > 0 e n ∈ N.

(e) Facciamo ora l’ipotesi che a_n→ +∞. Si mostri che E(√

Zn) → 0, si deduca che E(√

Z∞) = 0 e si concluda che Z_∞= 0 q.c..

Soluzione 1. (a) La verifica che S_n è una martingala è immediata (e vista a lezione). Segue che E(S_n) = E(S₀) = 1.

(b) Si ha Z_n=Qn

i=1Y_icon Y_i:= exp(λ_iX_i−¹₂λ²_i). Le variabili aleatorie {Y_i}_i∈Nsono indipendenti e positive con E(Y_i) = 1, pertanto E(Zn|F_n−1) = (Qn−1

i=1 Yi) E(Yn) = Qn−1

i=1 Yi = Zn−1. Essendo una martingala si ha E(Z_n) = E(Z₀) = 1.

(c) Una martingala positiva è limitata in L¹, pertanto q.c. ha limite finito.

(d) E((Z_n)^t) = E(Qn

i=1Y_i^t) =Qn

i=1E(Y_i^t) perché le {Yi}_i∈Nsono indipendenti. Dato che E(Y_i^t) = E(exp(tλ_iX_i))e^−tλ2i/2= e^{t2λ2i/2−tλ2i/2}= e^{12t(t−1)λ2i}, segue la formula cercata.

(e) Per il punto precedente E(√

Zn) = exp(−¹₈an) → 0 quindi per il lemma di Fatou E(√ Z∞) ≤ limn→∞E(√

Zn) = 0, da cui E(√

Z∞) = 0. Essendo √

Z∞ ≥ 0, segue che √

Z∞ = 0 q.c. e dunque Z_∞= 0 q.c..

2

Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) è definito un moto Browniano reale {B_t}_t∈[0,∞). Sia ε > 0 un parametro fissato per tutto l’esercizio. Introduciamo gli eventi

C_s:=

 |B_s| s^1/2+ε ≤ 1



, A_t:=

 sup

u∈(0,t]

|B_u| u^1/2+ε ≤ 1



, per s, t > 0 .

Indichiamo infine con Z una variabile aleatoria reale con legge normale standard: Z ∼ N (0, 1).

N.B.: Per la soluzione di questo esercizionon è possibile applicare la legge del logaritmo iterato.

(a) Si mostri che P(|Z| ≤ x) ↓ 0 per x ↓ 0.

(b) Si deduca che P(C_s) ↓ 0 per s ↓ 0.

(c) Si mostri che vale l’inclusione di eventi A_t⊆ C_s per ogni t > s > 0.

(d) Si deduca che P(A_t) = 0 per ogni t > 0.

(e) (*) Si formuli precisamente e si dimostri la seguente affermazione:

“q.c. esiste una successione s_n↓ 0 tale che |B_sn| > (s_n)^1/2+ε per ogni n ∈ N” .

(f) Si mostri che {X_t := e^(Bt)3}_t∈[0,∞) è un processo di Ito e se ne determini il differenziale stocastico.

Soluzione 2. (a) La successione P(|Z| ≤ x) è decrescente per inclusione degli eventi corrispon- denti, quindi lim_x↓0P(|Z| ≤ x) = lim_n→∞P(|Z| ≤ _n¹) = P(∅) = 0 per continuità dall’alto della probabilità.

(b) Dato che B_s/√

s ∼ Z ∼ N (0, 1), si ha P(Cs) = P(|Z| ≤ s^ε) ↓ 0 per s ↓ 0, per il punto precedente.

(c) Se ω ∈ A_t si ha ^|Bu(ω)|

u^1/2+ε ≤ 1 per ogni u ∈ (0, t]; in particolare per u = s si ha ^|Bs(ω)|

s^1/2+ε ≤ 1, cioè ω ∈ Cs.

(d) Per i punti precedenti P(A_t) ≤ P(Cs) per ogni s < t, quindi P(At) ≤ lim_s↓0P(Cs) = 0.

(e) Occorre mostrare che

P(D) = 1 , D := {ω ∈ Ω : ∃sn= sn(ω) ↓ 0 : |Bsn(ω)| > (sn)^1/2+ε ∀n ∈ N} . Si noti che

D^c= {ω ∈ Ω : 6 ∃{s_n}_n∈N: s_n↓ 0 e |B_sn(ω)| > (s_n)^1/2+ε}

= {ω ∈ Ω : ∃t = t(ω) > 0 : |B_u(ω)| ≤ (s_n)^1/2+ε ∀u ∈ (0, t]} = [

t>0

A_t= [

t∈Q, t>0

A_t, da cui segue che P(D^c) ≤P

t∈Q, t>0P(At) = 0, cioè P(D^c) = 0.

(f) Dato che Φ(x) := e^x3 è C^∞, X_t = Φ(Bt) è un processo di Ito. Per la formula di Ito dX_t= Φ⁰(B_t) dB_t+¹₂Φ⁰⁰(B_t) dt = 3B_t²e^Bt3dB_t+ (3B_t+₂⁹B_t⁴)e^B3tdt.