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IA =− 0 kk =−−+−− 045742 kkkkIA =−−−−−⇒=−−−−=− 0169520904020405 IA =− 0

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Academic year: 2021

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Ystudio Preparazione Esami Universitari - Via dell’Oriuolo 1 – 50122 Firenze – tel. 0552347188 - www.ystudio.it/site

Stabilire per quale valore di k la matrice





 −

=

9 0 4

0 2 0

4 0

5 k

k A

possiede due autovalori uguali a 2 e verificare se , per tale valore , A è diagonalizzabile .

Svolgimento :

Calcolando gli autovalori : A− Iλ =0

(

2

) ( [

5

)(

9

)

16

]

0

0 9

0 4

0 2

0

4 0 5

=

=

=

− k k

k k

I

A λ λ λ

λ λ

λ λ

(

2−λ

) [

λ2

(

4+k

)

λ−7k−45

]

=0 e sostituendo λ =2 si ottiene :

9 0 49

49

9 − = ⇒ =−

− k k

Per 2

9 49

2

1 = =

= λ λ

k ( molteplicità algebrica 2)

Si ha sostituendo in A− Iλ =0 :

( ) ( )

1

( )

1

7 0 4

0 0 0

9 0 196 9

112

=

=









− −

=

− I r A I DimKer A I

A λ λ λ

da cui : DimR3(3) – DimKer(1) = DimAutospazio (2) e poiché la molteplicità geometrica è pari a quella algebrica , la A è diagonalizzabile .

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