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Stabilire per quale valore di k la matrice
−
=
9 0 4
0 2 0
4 0
5 k
k A
possiede due autovalori uguali a 2 e verificare se , per tale valore , A è diagonalizzabile .
Svolgimento :
Calcolando gli autovalori : A− Iλ =0
(
2) ( [
5)(
9)
16]
00 9
0 4
0 2
0
4 0 5
=
−
−
−
−
−
⇒
=
−
−
−
−
=
− k k
k k
I
A λ λ λ
λ λ
λ λ
(
2−λ) [λ2−(
4+k)
λ−7k−45]
=0 e sostituendo λ =2 si ottiene :
9 0 49
49
9 − = ⇒ =−
− k k
Per 2
9 49
2
1 = =
−
= λ λ
k ( molteplicità algebrica 2)
Si ha sostituendo in A− Iλ =0 :
( ) ( )
1( )
17 0 4
0 0 0
9 0 196 9
112
=
−
=
−
⇒
− −
=
− I r A I DimKer A I
A λ λ λ
da cui : DimR3(3) – DimKer(1) = DimAutospazio (2) e poiché la molteplicità geometrica è pari a quella algebrica , la A è diagonalizzabile .