Ystudio Preparazione Esami Universitari - Via dell’Oriuolo 1 – 50122 Firenze – tel. 0552347188 - www.ystudio.it/site
a ) Ricordando la definizione di autovalore di una matrice , sostituendo λ =2 e impostando la relazione A− Iλ =0 , si ha che :
(
1) (
2 2)
00 2 0
1 2 1 1
2 0
0 0
1 2 1
1
2 2
2
2 − − + =
− +
−
⇒
=
−
−
−
− +
−
⇒
=
−
−
−
− +
−
−
k k k k k
k k
k k
k k k
k
k k
k k
λ λ
λ
( ) ( )
0 0 1
2 1
2 2 1
=
−
⇒ =
=
− +
− k
k k k
b-1 ) Per k =−1 la matrice associata in base canonica all’endomorfismo di R3 è :
+
−
− +
−
−
=
1 1 0
3 1 0
3 1 2 A
Dalla base canonica 3
1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1
ℜ
∈
=
B , l’ImA è data da :
Sia fk l’endomorfismo di R3 rappresentato rispetto alla base canonica di R3 dalla matrice
−
− +
−
=
k k
k k
k k AK
0
1 2 1 1
2 2
a) determinare k tale che fk abbia 2 come autovalore
b) per i valori di k trovati , studiare i corrispondenti endomorfismi determinandone Immagine , 2ucleo , autovalori e autospazi .
Ystudio Preparazione Esami Universitari - Via dell’Oriuolo 1 – 50122 Firenze – tel. 0552347188 - www.ystudio.it/site
+
−
−
=
+
−
− +
−
−
− +
−
=
+
−
− +
−
−
=
+
−
− +
−
−
1 3 3
1 0 0
1 1 0
3 1 0
3 1 2
1 1 1
0 1 0
1 1 0
3 1 0
3 1 2
0 0 2
0 0 1
1 1 0
3 1 0
3 1 2
ImA = 3
1 3 3 , 1 1 1 , 0 0 2
ℜ
∈
+
−
−
− +
−
Poichè la DimImA = 3 ( r(Ak) = 3 ) , di conseguenza si ha che KerA = ΦΦΦΦ
Per il calcolo degli autovalori A− Iλ =0 , si ha che :
( ) ( )
3 1
3 1 2 0
2 2 2
0 1
1 0
3 1
0
3 1 2
3 2 1 2
+
=
−
=
=
⇒
=
−
−
−
⇒
=
−
−
−
−
−
−
−
λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ
e per i relativi autospazi , AX =λX , si ha :
=
⇒ =
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⇒
=
−
− +
−
−
⇒
= 0
0 0
0 3
0 3 2
1 1 0
3 1 0
3 1 2
1 2
y z z
y z y
z y z
y x z
y x
λ Autospazio
( ) ( )
=
⇒ =
= +
−
=
−
=
−
− +
⇒
−
=
−
− +
−
−
⇒
−
=
z y
z x z
y z y
z y x
z y x z
y x
3 3 0
3 0 3 3
0 3 3
1 3
1 1
1 0
3 1 0
3 1 2 3
2 1 λ
Autospazio
Ystudio Preparazione Esami Universitari - Via dell’Oriuolo 1 – 50122 Firenze – tel. 0552347188 - www.ystudio.it/site
( ) ( )
−
=
−
⇒ =
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
⇒
+
=
−
− +
−
−
⇒ +
=
z y
z x
z y
z y
z y x
z y x z
y x
3 3 0
3 0 3 3
0 3 3
1 3
1 1
1 0
3 1 0
3 1 2 3
2 1 λ
Autospazio
b-2 ) Per k =0 la matrice associata in base canonica all’endomorfismo di R3 è :
−
−
=
0 0 0
1 1 1
2 0 2 A
Dalla base canonica 3
1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1
ℜ
∈
=
B , l’ImA è data da :
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
0 1
2
1 0 0
0 0 0
1 1 1
2 0 2
0 1 0
0 1 0
0 0 0
1 1 1
2 0 2
0 1 2
0 0 1
0 0 0
1 1 1
2 0 2
ImA = 3
0 1
2 , 0 1 0 , 0 1 2
ℜ
∈
−
−
Poichè la DimImA = 2 ( r(Ak) = 2 ) , di conseguenza si ha che DimKerA = 1
Infatti si ha che : KerA ⇒ A⋅X =0
Ystudio Preparazione Esami Universitari - Via dell’Oriuolo 1 – 50122 Firenze – tel. 0552347188 - www.ystudio.it/site
=
⇒ =
=
− +
=
⇒ −
=
−
−
0 0
0 2 2 0
0 0 0
0 0
1 1 1
2 0 2
y z x z
y x
z x z
y x
da cui :
= z z
KerA 0 .
Per il calcolo degli autovalori A− Iλ =0 , si ha che :
( )( )
1 2 0 0
1 2 0
0 0
1 1
1
2 0
2
3 2 1
=
=
=
⇒
=
−
−
−
⇒
=
−
−
−
−
−
λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ
e per i relativi autospazi , AX =λX , si ha :
=
−
⇒ =
=
− +
=
⇒ −
=
−
−
⇒
= 0
0 0
0 2 0 2
0 0 0
1 1 1
2 0 2
1 0
z x y z
y x
z x z
y x z
y x
λ Autospazio
=
−
⇒ =
=
−
−
=
⇒ −
=
−
−
⇒
= 0
0 0
0 2 2
0 0 0
1 1 1
2 0 2
2 2
y x z z
y x
z z
y x z
y x
λ Autospazio
=
⇒ =
=
−
=
⇒ −
=
−
−
⇒
= 0
0 0
0 1 2
0 0 0
1 1 1
2 0 2
2 1
z x z
x z x z
y x z
y x
λ Autospazio
