Marco Tarini -Video Game Dev Univ. InsubriaMath background 31Come rappresento (internamente) una rotazionein 3D?cioè anche gli orientamenti di un oggetto nello spazioRotazioniin R3: quantepossibili?

Come rappresento

una rotazione in 3D?

cioè anche gli orientamenti di un oggetto nello spazio

Rotazioni in R3:

quante possibili?

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R R10

R11 R11

R12 R12

R13 R13

etc etc

Rotazioni in R3:

quante possibili?

R0

(e ovviamente includono l’identità)

Per paragone:

reppresentaz. delle traslazioni ^{in 3D}



Banale:

vettore di displacement (tre float)!



perfetta secondo tutti i criteri

(verificare!)

Per paragone:

reppr. delle rotazioni in 2D



Banale: un angolo (un float)



buona secondo tutti i criteri (verificare per esercizio!)



(unica scelta: degrees or radiants?)



caveat: interpolazione!

«pick the shortest route»

mix( 25°, 335° , 0.5 ) = 0 (ma, still easy)

[0,360) [0,2·Pi)

0°

25°

335° = -25°

Per paragone:

reppr. delle rotazioni in 2D



Passaggio angolo  vettore

x y

α

Per paragone:

reppr. delle rotazioni in 2D



Passaggio angolo  vettore

x y

α

pro tip: use atan2

Reppresentazioni per rotazioni (in 3D)



Molte possibili,

vanno più o meno bene coi vari criteri



Tutte molto diffuse ed usate



Modi per passare da una rappr. all’altra?

Reppresentazioni principali delle rotazioni

 Matrici 3x3

 quello tipic. usato durante il rendering (nella GPU)

Modo 1: matrice 3x3



dopotutto, una rot è un caso di trasf affine



(sottomatrice 3x3 della matrice di trasf 4x4)



come sappiamo, R ortonormale con det = 1

R ^{0 0}

0

1

0 0 0

Modo 1: matrice 3x3



Prolissa (9 numeri invece di 3)



Facile da applicare (molt matrice-vettore)

 come sappiamo, cumulabile con qualunque altra trasf. affine



Abb. facile da cumulare (molt matrice-matrice)



Facilissima da invertire (trasposiz matrice)



Problematica da interpolare:

R ₀

k + (1-k) R ₁ ⁼ M

in genere NON di rotazione (non ortonormale)

perché?

Modo 1: matrice 3x3

 Molto efficiente da applicare

 prodotti e somme, no trigonometria

 Piu’ traslazione: matrice 4x4 (o 3x4)

 cumulabile con tutte le altre trasf affini!

 metodo tipic. adottato per memorizzare ed eseguire trasformazioni spaziali nel GPU-based rendering!

(nel vertex shader)

Reppresentazioni principali delle rotazioni

 Matrici 3x3

 Angoli di Eulero



il più intuitivo dei metodi

per specificare a mano una rot



e.g. ben compreso anche da artisti digitali

Modo 2: angoli di eulero



Qualunque rotazione

può essere espressa come:

 rotazione lungo asse X (di α gradi), seguita da:

 rotazione lungo asse Y (di β gradi), seguita da:

 rotazione lungo asse Z (di γgradi):



Angoli α β γ :

“angoli di Eulero” di quella rotazione

 (quindi: le “coordinate” di quella rotaz)

oridine (X-Y-Z) arbitrariamente scelto,

(ma 1 volta x tutte)

Modo 2: angoli di eulero



In linguaggio nautico / areonautico:

angoli di “rollio, beccheggio, imbardata”

rollio

(roll ) beccheggio (pitch )

imbardata (yaw )

Modo 2: angoli di eulero



Implementaz.

fisica:

“mappamondo

a tre assi”

Modo 2: angoli di eulero



Univoco ? 1:1 ?

 1 rotaz  1 terna di angoli di Eulero ?



Quasi

 (limintando

oppurtunamente gli angoli).



Brutta eccezione:

“GIMBAL LOCK”

 quando 1 rotazione fa coincidere gli assi delle altre 2

 (è inevitabile che possa accadere)

Modo 2: angoli di eulero

(3 floats)



Compattezza: perfect!



Da applicare: un po’ faticoso

 (tre rotazioni in fila)



Da interpolare: possibile…

 intrerpolaz dei tre angoli

 (occhio ad interpolare angoli:

ricordarsi equivalenza angoli: α = α +360 (k) )

…ma risultati non sempre intuitivi)



Da cumulare / invertire: problematico…

perché sommare / ribaltare gli angoli non funziona?

da: angoli di eulero a: matrice 3x3



Facile!



Il viceversa?

 (solo a suon di conti e funz trigon. inverse)

      ^ _y ^ _x ^

z R R

R

M   

Recap: rappresentaz. di rotaz.

1/2

Space efficient?

(in RAM, GPU, storage…)

Apply

(to points/vectors)

Invert

(produce inverse)

Cumulate

(with another rotation)

Interpolate

(with another rotation)

Intuitive?

(e.g. to manually set)

easy to do…

unintuitive result trigonometry sin/cos

?!?

9 products (3 dot products)

just transpose

9 scalars 3 scalars

(even small int!)

rollio &

beccheggio &

imbardata matrix

multiplication (9 dots)

E f fic ie n t / e a s y t o

Reppresentazioni principali delle rotazioni

 Matrici 3x3

 Angoli di Eulero

 Asse + angolo



il metodo comunemente usato per es in fisica

Modo 3: asse e angolo



Qualunque rotazione data può essere espressa come:

 una rotazione di un angolo attorno ad un asse



Angolo: uno scalare



Asse: un vettore unitario

 passante per l’origine

opportunamente scelti

Modo 3: asse e angolo



Compattezza:

abb buono: 4 float



Efficienza di applicazione: maluccio 

 modo migliore: passare a matrice 3x3 (come?) (o a quaternione: vedi poi)



Invertire: facilissimo

 (ribaltare angolo oppure asse)

 nota: se si invertono entrambi?

stessa rotazione!

Modo 3: asse e angolo



Nota:

(ax, ay, az, alpha) (-ax, -ay, -az, -alpha) sono la stessa rotazione!



 Ogni rotazione ha

due rappresentaz equivalenti come asse e angolo!

 (eccetto l’identità, che ne ha infinite:

alpha = 0, asse qualunque)

Modo 3: asse e angolo



Cumulare:

nient’affatto immediato 



Interpolare: ottimo!

 idea: interpolare asse, intrerpolare angolo

 Alcuni semplici caveat:

 1) bisogna prima flippare uno dei due (asse,angolo) se questo avvicina i due assi fra loro

 2) angolo va interpolato… «modulo 360°» (again!)

 3) l’asse va rinormalizzato post interpolaz

 4) occhio ai casi degeneri (assi opposti)

 best results! la rotazione giusta

 eccetto la velocità di rotaz

Modo 3: asse e angolo:

variante



asse: v



angolo: α



rappresentarli internamente

come 1 solo vett: v’

v’ = α v

 angolo α = |v’ |

 asse v =v’ / |v’ |

 (nota: se angolo = 0, asse si perde… infatti non conta)



Più coinciso, ma per il resto equivalente

 anzi, meglio: una sola rappresentaz per ogni rotaz (perchè?)

… anche per l’identità (perchè?)

da: asse e angolo a: matrice 3x3



esercizio!

Reppresentazioni principali delle rotazioni

 Matrici 3x3

 Angoli di Eulero

 Asse + angolo

 Quaternioni

Ripasso: numeri complessi

 Conseguenze:

 “Num complesso”: (a + b i )

 interpretaz geom: punti 2D (a , b)

 Moltiplicaz fra complessi: …

 interpretaz geom: …

 Dunque:

 moltiplicare per ruotare in 2D numero complesso  (attorno (a norma 1) all’origine)

 numeri complessi  rappresentaz (a norma 1) rotazioni in 2D Assunzione

“fantasiosa”:

c’è un 𝑖 t.c.

𝑖 = −1

Passare ai quaternioni

 Conseguenze:

 “Quaternione”: ( a i + b j + c k + d )

 interpr. geom: punti 3D (a,b,c), quando d=0

 Molitplicare due quat: …

 Invertire un quat: …

 Coniungare due quat q e p (fare q p q ): …

 interpretaz geom:ruotare p

con la rotaz def da q

 Dunque:

 coniugare con un  ruotare in 3D quat (con norma 1) (asse pass. x ori)

 quaternioni  rappresentaz (a norma 1) rotazioni in 3D

- Assunzione

“fantasiosa”:

ci sono 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 t.c.

cioè:

i²= j²= k²= -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j

x i j k i -1 +k -j j -k -1 +i k +j -i -1

Da asse+angolo a quaternione



rotaz: di α attorno all’asse (a

,

,

)



quaternione:

q = s a_x

i +

j +

k +

con

= cos( α / 2 )

s

= sin ( α / 2 )



cioè

,

,

, c )



nota: || q || = 1

vett. unitario

verificare!

Modo 4: “quaternioni”



Applicazione: facillimo ;)

 ruotare

p

i+y j+z k p

q · p · q

 2 moltiplicaz quat.



Cumulare: facillimo ;)

 1 moltiplicaz quat



Invertire: facillimo ;)

 flippare la parte reale oppure quella immaginaria

 se entrambe: rimane la stessa rotaz!

quat che rappresenta il punto di coord(x ,y,z)

Nota: parte reale = 0

Modo 4: “quaternioni”



Interpolare: facillimo ;) …e good results!

 simili caveats di asse e angolo:

 1) flippare un quaternione prima, se accorcia la distanza fra i due

 2) ri-normalizzare il quaternione dopo

 velocità: non corretta

 c’è modo di correggerla

 vedi: SLERP vs LERP

x a

i ⁺

b

j ⁺

c

k ⁺ d

e i -1 ae ⁺

k be ⁺

-j ce ⁺

i de ⁺

+

f j -k af ⁺

-1 bf ⁺

i cf ⁺

j df ⁺

+

g k j ag ⁺

-i bg ⁺

-1 cg ⁺

k gf ⁺

+

h i

ah ⁺ j bh ⁺

k

ch ⁺ hd

Quaternion Multiplication

x a

i ⁺

b

j ⁺

c

k ⁺ d

e i -1 ae ⁺

k be ⁺

-j ce ⁺

i de ⁺

+

f j -k af ⁺

-1 bf ⁺

i cf ⁺

j df ⁺

+

g k j ag ⁺

-i bg ⁺

-1 cg ⁺

k dg ⁺

+

h i

ah ⁺ j bh ⁺

k

ch ⁺ hd

Quaternion Multiplication

( w , h ) . ( v , d )

=

( w d + v h + v×w ,

h d – v∙w )

some vector

some scalar

v

w

x a

i ⁺

b

j ⁺

c

k ⁺ d

e i -1 ae ⁺

k be ⁺

-j ce ⁺

i de ⁺

+

f j -k af ⁺

-1 bf ⁺

i cf ⁺

j df ⁺

+

g k j ag ⁺

-i bg ⁺

-1 cg ⁺

k dg ⁺

+

h i

ah ⁺ j bh ⁺

k

ch ⁺ hd

Recap: representing rotations

1/2

Space efficient?

(in RAM, GPU, storage…)

Apply

(to points/vectors)

Invert

(produce inverse)

Cumulate

(with another rotation)

Interpolate

(with another rotation)

Intuitive?

(e.g. to manually set)

easy to do…

unintuitive result trigonometry sin/cos

?!?

9 products (3 dot products)

just transpose

9 scalars 3 scalars

(even small int!)

roll &

pitch &

yaw matrix

multiplication (9 dots)

E f fic ie n t / e a s y t o

Recap: representing rotations

2/2

Space efficient?

(in RAM, GPU, storage…)

Apply

(to points/vectors)

Invert

(produce inverse)

Cumulate

(with another rotation)

Interpolate

(with another rotation)

Intuitive?

(e.g. to manually set)

Notes… two representations for each rotation

(flip all  no effect) (for different reasons)

sometimes to matrix?

+ trigonometry

4 scalars (or 3)

(but precision needed)

E f fic ie n t / e a s y t o

easy + best result

not really super easy

flip imaginary or real part

super easy:

1 quat product

easy

2 quat product

super easy

flip axis or angle

easy + good result

(except angular speed)

4 scalars

(but precision needed)

And the winner is…



Ovviamente,

 perché sono più efficienti su tutte le op



Ovviamente, gli angoli di Eulero

 perché sono più intuitivi (e pure più compatti)



Ovviamente, asse+angolo

 perché hanno l’interpolazione più naturale (in molti casi, speed giusta di default)



Ovviamente, le matrici 3x3

 perché sono lo standard in CG

 perché esprimono non solo rot ma qualsiasi affine (eccetto la traslaz, che tanto è storata separatamente)

Switching between representations

3x3 MATRIX

AXIS + ANGLE

EULER ANGLES

QUATER- NION

rather trivial

(I expect you to be able to!)

interesting exercise

(try it, maybe)

GUI: come specifica

un utente le rotazioni in 3D?



Metodo ricorrente: rotation gizmo

 (a volte: «arcball» o «trackball»)

 tre handles per controllare i tre angoli di Eulero

 o “free”, drag-n-drop “intuitivo”(metafora trackball)

GUI: come specifica

un untente le traslazioni in 3D?

 “free”: drag-and-drop 2D in spazio immagine,

 mantendo distanza da osservatore oppure

 translation gizmo

 orientato nello spazio mondo, oppure

 orientato nello spazio oggetto

 handlesper trasllungo assie/o piani

es: x spostare un oggetto

“in basso”

es: x spostare un oggetto lungo il

“suo” basso es: x spostare un oggetto

“qui, in questo punto dello schermo”

convenzione: Rosso = X Verde = Y Blu = Z

GUI: come specifica

un untente le scalature in 3D?



scaling gizmo

 (tipic. orientato in spazio oggetto)

 tre handles per le scalature anisotropichje + un handle centrale per scalature uniformi

Rotazioni in unity



Nella GUI del game tools:

 Euler Angles



Internamente:

 Quaternions



Nell’interfaccia degli scripts:

 a scelta, (quat, euler, axis+angle…) con metodi setter/getter

Trasformazioni in Unity



Lineari (trasformaz. affini)



Similitudini (trasformaz. conformali)

 “Mantengono gli angoli”

 Rotaz + Traslaz + Scaling uniforme



Isometrie (rototraslazione)

 “Mantengono la magnitudine”

) ( )

( )

( v

v

f v

f v

f       

anisot ropico

class Transform

Rotazioni in OpenGL



Nelle API «old school»: glRotate3f

 Asse e angolo



Internamente:

 Matrici

 (come tutte le altre trasformazioni spaziali)

Reppresentare rotazioni



Matrici 3x3



Angoli di Eulero



Asse + angolo



Quaternioni

+ Traslazione

(displ. vec)



Matrici 4x4 (o 3x4)



Dual Quaternions

roto-traslazioni