ESERCIZIO E1: Con i riferimenti coordinati assegnati per le tensioni e per le correnti, espressi dalle usuali convenzioni di segno alle porte del “doppiobipolo”difigura 1,alimentatoinregime sinusoidale alla pulsazione ωωωω=104rad/sec, si desidera determinare: a) il valore del coefficiente k di accoppiamento;b)l’espressioneanalitica delle relazioni costitutive degliinduttori accoppiati, nel dominio, sia del tempo, sia dei fasori; c) le espressioni analitiche delle relazioni ai vincoli circuitali esterni; d) il valore dei parametri Zij della matrice Z, caratteristici della formulazione controllata in corrente, nell’ipotesi che siano assegnati i seguenti valori: L1=0,3mH; L2=0,4mH;
M=0,3mH; C=0,2mF; R1=6Ω; RΩΩΩ 2=8ΩΩΩΩ
Il coefficiente di accoppiamento k dei due induttori mutuamente accoppiati è definito dalla relazione:
6 3
2
1
0 , 3 · 0 , 4 · 10 10
· 3 , 0
−
−
=
= L L
k M
, ovvero:2 3 4 3 4 , 0
3 , 0 4 , 0
· 3 , 0
3 ,
0 = = =
= k
Poiché risulta
k = 0 , 866
, si ha un discreto grado di accoppiamento.Si procedere, ora, alla definizione delle due relazioni costitutive attinenti gli induttori mutuamente accoppiati,ricorrendoaiversicoordinatidellegrandezzetensionecorrentesecondo laconvenzione degli utilizzatori e, contestualmente, alla determinazione degli effetti della mutua induzione M tramite la proprietà dei puntoni. Ciò premesso, le relazioni costitutive, nel dominio del tempo, sono espresse dalle scritture di seguito esplicitate.
+
=
+
=
dt t L di dt
t M di t v
dt t M di dt
t L di t v
) ( )
) ( (
) ( )
) ( (
2 2 1
2
2 1
1 1
alle quali corrispondono, nel dominio dei fasori, le relazioni, deducibili anche dalla figura 1a, che di seguito si esplicitano:
+
=
+
=
2 2 1
2
2 1
1 1
I L j I M j V
I M j I L j
V r r r
r r
r
ω ω
ω ω
Sostituendo i valori forniti dalla traccia si perviene alle scritture finali di seguito riportate:
+
=
+
=
−
−
−
−
2 3 4
1 3 4
2
2 3 4
1 3 4
1
10
· 4 , 0
· 10 10
· 3 , 0
· 10
10
· 3 , 0
· 10 10
· 3 , 0
· 10
I j
I j
V
I j
I j
V r r r
r r
r
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+
=
+
=
2 1
2
2 1
1
4 3
3 3
I j I j V
I j I j
V r r r
r r
r
R2
R1
C M
L2
L1
i1(t)
v
1(t)
i
a(t)
i2(t)v
2(t)
i
b(t)
v
b(t) v
a(t)
(figura – 1)
V1 V2
I1 jωωωωM I2
jωωωLω 1 jωωωωL2
(figura – 1a)
R2
R1
I1
C
V
1I
a I2V
2I
bV
bV
a(figura – 1b) IC
M
L2
L1
2+ + + + 1+ + + +
α α
α α β β β β
Le relazioni ai vincoli circuitali esterni vengono definite dall’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti e delle tensioni, rispettivamente, ai nodi e alle maglie linearmente indipendenti, alla rete riferita al dominio dei fasori, riportata in figura 1b. Infatti, la legge di Kirchhoff delle correnti applicata ai nodiαα e βαα ββ, nonchéβ la leggedi Kirchhoffdelle tensioniapplicata allemagliediingresso e di uscita del doppio bipolo, per le quali in figura 1c sono indicati i versi positivi di percorrenza, consentono di esplicitare le seguenti relazioni, note come condizioni ai vincoli circuitali esterni:
KCL αααα)
I
aI I
Cr r r
+
=
1 ; KCL βββ) βI I
bI
Cr r r
+
2
=
, ovvero la loro unione:I
aI
bI
1I
2r r r r
+
= +
KVL 1)
V
aV R I
ar r
r
1 1
=
−
; KVL 2)V
bV R I
br r
r
2 2
=
−
; KVL)I
CC V j
V
r r
r
ω 1
2
1
− =
Per quanto riguarda la determinazione degli elementi Zij della matrice Z della controllabilità in corrente è bene riferirsi alle corrispondenti relazioni costitutive del doppio bipolo a parametri Z.
A tale riguardo si ottiene:
+
=
+
=
b a
b
b a
a
Z
V Z I Z I
I Z I Z
DB V r r r
r r
r
22 21
12
:
11La sostituzione delle relazioni afferenti le leggi di Kirchhoff delle correnti applicate ai nodi αααα e ββββ consentono di riscrivere le relazioni costitutive degli induttori mutuamente accoppiati nelle due forme seguenti:
+ +
−
=
+ +
−
=
) (
) (
) (
) (
2 2
1 1
C b C
a
C b C
a
I I L j I
I M j V
I I M j I
I L j
V r r r r r
r r r
r r
ω ω
ω
ω
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ +
−
=
+ +
−
=
)
·(
4 )
·(
3
)
·(
3 )
·(
3
2 1
C b C
a
C b C
a
I I j I
I j V
I I j I
I j
V r r r r r
r r r
r r
− +
+
=
− +
+
=
C b
a
C b
a
I M L j I L j I M j V
I L M j I M j I L j
V r r r r
r r
r r
)·
·(
)·
·(
2 2
2
1 1
1
ω ω
ω
ω ω
ω
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− + +
=
− + +
=
C b
a
C b
a
I j j I j I j V
I j j I j I j
V r r r r
r r
r r
)·
3 4 ( 4 3
)·
3 3 ( 3 3
2 1
Preso atto che i dati forniti dalla traccia si caratterizzano per una mutua induttanza M=L1, si ha:
− +
+
=
+
=
C b
a
b a
I M L j I L j I M j V
I M j I L j
V r r r r
r r
r
)·
·(
22 2
1 1
ω ω
ω
ω
ω
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− + +
=
+
=
C b
a
b a
I j j I j I j V
I j I j
V r r r r
r r
r
)·
3 4 ( 4 3
3 3
2 1
Dalla scrittura relativa al fasore della tensione V1 si ottiene, facilmente, la relazione che esprime il legame fra il fasore della tensione Va e i fasori delle correnti Ia e Ib dei generatori indipendenti di corrente che alimentano il doppio bipolo; infatti si validano le seguenti scritture:
b a
a a
a
R I V R I j L I j M I
V
r r
r r
r r
ω ω + +
= +
=
1 1 1 1⇒
V
aR j L I
aj M I
br r
r
ω
ω +
+
= (
1 1)·
sostituendo i dati forniti dalla traccia, si ha:
b a
a a
a
I V I j I j I
V
r r
r r r r
3 3
6
6 +
1= + +
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
aj I
aj I
br r
r
3 )·
3 6
( + +
=
Dalla relazione che esprime il fasore della tensione V2 e dalla scrittura che fornisce il legame fra il fasore della corrente IC e le tensioni V1 e V2 si ottiene:
) (
)
·(
2 1 22
2
j M I j L I j L M j C V V
V
a br r r
r r
−
− +
+
= ω ω ω ω
2 2
2 1
2 2 2
2
j M I j L I ( j ) C ( L M ) V ( j ) C ( L M ) V
V
a br r
r r
r
−
−
− +
+
= ω ω ω ω
1 2
2 2
2 2
2
2
( j ) C ( L M ) V j M I j L I ( j ) C ( L M ) V
V
a br r
r r
r
− +
+
=
−
+ ω ω ω ω
) )(
( ) ( )]·
( ) ( 1
[ j
2C L
2M V
2j M I
aj L
2I
bj
2C L
2M j L
1I
aj M I
br r
r r
r
ω ω
ω ω
ω
ω − = + + − +
+
b
a
I
M L C j
M M L C j L I j
M L C j
L M L C j M V j
r r
r
)]
( ) ( 1 [
] ) (
) (
·[
)]
( ) ( 1 [
] )·
( ) (
·[
2 2
2 2 2
2 2
1 2
2
2
+ −
− + +
− +
−
= +
ω ω ω
ω ω ω
La relazione esprimente il legame fra il fasore della tensione Vb e i fasori delle correnti Ia e Ib è:
2
2
I V
R V
b br r r
+
=
; pertanto, si ottiene quanto segue:b b
a
b
I
M L C j
M M L C j I L R j
M I L C j
L M L C j M V j
r r r
r
− +
− + +
− + +
−
= +
)]
( ) ( 1 [
] ) (
) (
·[
)]
( ) ( 1 [
] )·
( ) (
·[
2 2
2 2 2
2 2
2
1 2
2
ω ω ω
ω ω ω
L’espressione analitica dei parametri Zij della matrice Z, tipici della formulazione controllata in corrente, contestualmente alla loro relazione costitutiva e relativo significato fisico, è la seguente:
a
a a I
a
I
I L j R I
Z V
b
r
r r
r
r
)·
(
1 10 11
ω
= +
=
=
⇒
Z
11= ( R
1+ j ω L
1)
b b b I
a
I I M j I
Z V
a
r r r
r
r
·
0 12
= ω
=
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z
12= j ω M
− = +
−
= +
=
= a
a a I
b
I M L C j
I L M L C j M j I
Z V
b
r r r
r
r
[ 1 ( ) ( )]·
]·
)·
( ) (
·[
2 2
1 2
2
0
21
ω
ω ω
)]
( ) ( 1 [
] )·
( ) (
·[
2 2
1 2
2
M L C j
L M L C j M j
− +
− +
ω ω ω
b b b
b I b
I I M
L C j
M M L C j I L R j
I Z V
a
r r r
r r
r
·
)]
( ) ( 1 [
] ) (
) (
·[
2 2
2 2 2
2 0
22
− +
− + +
=
=
=
ω
ω ω
)]
( ) ( 1 [
] ) (
) (
·[
2 2
2 2 2
2
22
j C L M
M M L C j I L R j
Z
b− +
− + +
= ω
ω ω r
Decisamente meno complesso algebricamente risulta il calcolo del valore dei parametri Zij, che del resto è quanto viene richiesto dalla traccia; a tale riguardo, infatti si procede come segue:
j j
C
j ω = · 10
4· 0 , 2 · 10
−3= 2
C b
a
j I j I
I j V
r r r
r
+ +
= 3 4
2
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
2j 3 I
aj 4 I
bj · 2 j ·( V
1V
2) r r r
r r
− +
+
= )
·(
2 4
3
1 22
j I j I V V
V
a br r r
r r
−
− +
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
22 V
2j 3 I
aj 4 I
b2 V
1r r
r r
r
− +
=
−
Il ricorso all’utilizzo della relazione analitica
V j I
aj I
br r
r
3
1
= 3 +
esprimente il legame fra il fasore della tensione V1 e i fasori delle due correnti Ia e Ib, ricavato in precedenza, consente di scrivere:) 3 3
·(
2 4
2
j 3 I
aj I
bj I
aj I
bV
r r
r r
r
+
− +
=
−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V r
2= − j 3 I r
a− j 4 I r
b+ 2 ·( j 3 I r
a+ j 3 I r
b)
b b
a
a
j I j I j I
I j V
r r
r r
r
6 4
6
2
= − 3 + − +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j I
aj I
br r
r
2
2
= 3 +
Si conclude, quindi con la relazione:
b a
b b
b
R I V I j I j I
V
r r
r r r r
2 3
2
8
2
+ = + +
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
bj I
aj I
br r
r
) 2 8 (
3 + +
=
Le relazioni numeriche del legame fra i fasori delle tensioni Va e Vb in funzione dei fasori delle correnti dei generatori indipendenti Ia e Ib per il doppio bipolo assegnato sono le seguenti:
+ +
=
+ +
⇒ =
+
=
+
=
b a
b
b a
a Z b
a b
b a
a
Z
V j I j I
I j I j DB V
I Z I Z V
I Z I Z
DB V r r r
r r
r r
r r
r r
r
) 2 8 ( 3
3 )·
3 6 : (
:
22 21
12 11
La corrispondente matrice della formulazione della controllabilità in corrente assume, pertanto, la forma di seguito riportata:
+
= +
=
j2) (8 j3
j3 j3)
(6 Z
Z
Z Z Z
22 21
12 11
Metodo delle Prove Semplici. Come verifica della congruità dei risultati conseguiti si procede alla determinazione dei parametri Zij della matrice Z tipica della controllabilità in corrente del doppio bipolo di figura 1 mediante il metodo delle prove semplici; viene privilegiata la scelta numerica.
Le relazioni costitutive dei parametri Zij della matrice Z, relativa alla controllabilità in corrente, consentono di esplicitare le seguenti definizioni:
0 11
=
=
Ib
a a
I Z V
r
r r
0 21
=
=
Ib
a b
I Z V
r
r r
0 12
=
=
Ia
b a
I Z V
r
r r
0 22
=
=
Ia
b b
I Z V
r
r r
a) Calcolo dei parametri Z11 e Z21. La rete da esaminare è riportata in figura 1c in cui si evidenzia lamessaavuoto della porta individuata dalla condizione Ib=0A. Per ispezione diretta si evincono anche le seguenti relazioni:
I
2I
Cr r
=
eV
bV
2r r
=
2 1
1
I I I
I
I
a Cr r r r r
+
= +
=
che traducono l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti ai nodi αααα eβββ,β nonché l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia 2. Inoltre il principio dei potenziali di nodo consente di esplicitare il fasore della corrente IC=I2 con la scrittura:
) 1
(
2 1
2
j C
V I V
I
Cω r r r
r −
=
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
I
CI
2j C ( V
1V
2) r r r
r
−
=
= ω
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
I
CI
22 j ( V
1V
2) r r r
r
−
=
=
Le relazioni costitutive attinenti agli induttori mutuamente accoppiati, tenuto conto degli effetti dovuti all’applicazione delle leggi di Kirchhoff succitate, assumono la seguente forma:
+
=
+
=
2 2 1
2
2 1
1 1
I L j I M j V
I M j I L j
V r r r
r r
r
ω ω
ω
ω
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+
=
+
=
2 1
2
2 1
1
4 3
3 3
I j I j V
I j I j
V r r r
r r
r
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+
−
=
+
−
=
2 2
2
2 2
1
4 )
·(
3
3 )
·(
3
I j I I j V
I j I I j V
a
a
r r
r r
r r
r r
Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottiene:
2 2
1
j 3 I j 3 I j 3 I
V
ar r
r r
+
−
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j I
ar r
1
= 3
La relazione esprimente l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia 1 assume la forma seguente:
a a
a
a
R I V I j I
V
r r
r r r
3
1
6
1
+ = +
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
aj I
ar r
) 3 6 ( +
=
; da cui si conclude che:a a a I
a
I I j I
Z V
b
r r r
r
r
)·
3 6 (
0 11
= +
=
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z
11= ( 6 + 3 j )
2 2
2
j 3 I j 3 I j 4 I
V
ar r
r r
+
−
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
2j 3 I
aj I
2r r r
+
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
2j 3 I
aj 2 j ( V
1V
2) r r r
r
− +
=
2 1
2 1
2
j 3 I 2 ·( V V ) j 3 I 2 V 2 V
V
a ar r r
r r r
r
+
−
=
−
−
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
22 V
2j 3 I
a2 V
1r r
r r
−
=
−
Tenuto conto, tanto del precedente risultato
V j I
ar r
1
= 3
, quanto della già nota relazioneV
bV
2r r
=
, si conclude che:I
aj V V
r r
r
3 2
12
= −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
bj I
aj I
aj I
aj I
ar r
r r
r
3 6
3 ) 3
·(
2 − = −
=
⇒
V
bj I
ar r
= 3
Pertanto, è immediato validare la scrittura seguente:
a a a I
b
I I j I
Z V
b
r r r
r
r
· 3
0
21
= =
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z
21= 3 j
b) Calcolo dei parametri Z22 e Z12. La rete da esaminare è riportata in figura 1d in cui si evidenzia (figura – 1c)
R2
R1
I1
C
V
1I
a I2V
2I
b= 0
V
bV
aIC
M
L2
L1
2+ + + + 1+ + + +
α α α
α β β β β
lamessaavuoto della porta individuata dalla condizioneIa=0A. Sempre per ispezione diretta si deducono, inoltre, le seguenti relazioni
I
1I
Cr r
−
=
eV
aV
1r r
= I
2I I
b Cr r r
= +
2
1
I
I I
br r r
=
−
⇒I
bI
1I
2r r r
+
=
che traducono l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti ai nodi αα eβαα βββ, nonché l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia 1. Inoltre il Principio dei Potenziali di Nodo porge il seguente legame fra il fasore della corrente IC=-I1 e i due fasori delle tensioni V1 e V2;
) 1
(
2 1
1
j C
V I V
I
Cω r r r
r −
=
−
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
I
CI
1j C ( V
1V
2) r r r
r
−
=
−
= ω
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
I
CI
12 j ( V
1V
2) r r r
r
−
=
−
=
Le relazioni costitutive attinenti agli induttori mutuamente accoppiati, tenuto conto degli effetti dovuti all’applicazione delle leggi di Kirchhoff succitate, assumono la seguente forma:
+
=
+
=
2 1
2
2 1
1
4 3
3 3
I j I j V
I j I j
V r r r
r r
r
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ +
=
+ +
=
)
·(
4
· 3
)
·(
3 3
1 2
1 1
C b
C b
I I j I j V
I I j I j
V r r r r
r r r
r
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− +
=
− +
=
)
·(
4
· 3
3 3
3
1 1
2
1 1
1
I I j I j V
I j I j I j V
b b
r r r
r
r r
r r
Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottiene:
I
bj I j I j V
r r
r r
3 3
3
1 11
= − +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j I
br r
1
= 3
Considerata la condizione
V
aV
1r r
=
, conseguente allo spegnimento del generatore indipendente di corrente Ia, è immediato concludere che:b
a
j I
V
r r
= 3
; pertanto si perviene alla definizione di:b b b I
a
I I j I
Z V
a
r r r
r
r
· 3
0
12
= =
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z
12= 3 j )
·(
4
·
3
1 12
j I j I I
V
br r r
r
− +
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j I j I j I
br r
r r
4 4
·
3
1 12
= − +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j I j I
br r
r
1
4
2
= − +
Il ricorso alla relazione
I
12 j ( V
1V
2) r r r
−
−
=
, sostituita nell’espressione del fasore della tensione V2, consente di relazionare come di seguito riportato:I
bj V
V j j V
r r
r r
4 )]
·(
2
·[
1 22
= − − − +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j j V V j I
br r
r r
4 )]
·(
2
·[
1 22
= − − − +
Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni e, tenuto conto della relazione
I
bj V
r r
1
= 3
si ottiene:I
bj V V V
r r
r r
4 )
·(
2
1 22
= − − +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V V V j I
br r
r r
4 2
2
1 22
= − + +
⇒
V j I
bj I
br r
r
4 ) 3
·(
2
= 2 −
b b
j I I
j V
r r
r
4
2
= 6 −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V j I
br r
2
= 2
La relazione esprimente l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia 2 assume la forma seguente:
b b
b
b
R I V I j I
V
r r
r r r
2
2
8
2
+ = +
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
bj I
br r
) 2 8 ( +
=
; da cui si conclude che:b b b I
b
I I j I
Z V
a
r r r
r
r
)·
2 8 (
0 22
= +
=
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z
22= ( 8 + 2 j )
La verifica conferma la correttezza dei risultati già conseguiti col metodo dell’ispezione diretta.
R2
R1
I1
C
V
1I
a= 0
I2V
2I
bV
bV
a(figura – 1d) IC
M
L2
L1
2+ + + + 1+ + + +
α α α
α β β β β
ESERCIZIO E2: All’istante t=0sec., istante in cui entrambe gli interruttori S1 e S2 si chiudono contemporaneamente, l’induttanza L manifesta una corrente residua di valore iL(0)=1A. Allo istante tO=1msec. L’interruttore S1 si apre e in tale stato permane. Si desidera determinare: a) l’espressione analitica e il valore dell’induttanza L affinché all’istante tO=1ms. sia iL(tO)=6A;
b) l’espressione analitica delle due correnti iL(t), i3(t) e della tensione vL(t) e tracciare i relativi grafici correlati fra loro per 0≤≤≤≤t<∞; c) l’istante t* in cui si verifica la condizione i∞∞∞ L(t)=i3(t); la energia accumulata nell’induttore L agli istanti t=0sec., t=tOsec. e t→→→→∞∞∞∞. Sono noti: ES=20V;
IS=8A; R1=3ΩΩΩ; RΩ 2=6 ΩΩ; RΩΩ 3=2ΩΩΩΩ; R4=5ΩΩΩΩ. (Appello 23 luglio 2014)
Sidesideradeterminare,da primainforma analitica e, successivamente, nella forma grafica le evoluzioni temporali proprie della tensione e della corrente ai morsetti dell’induttanza L durante il “transitorio”
dovuto alle variazioni strutturali della rete evidenziata nella figura 2, quale conseguenza della commutazione da STATO APERTO a STATO CHIUSO degli interruttori S1 e S2. La relazione costitutiva dell’evoluzione temporale propria della corrente iL(t) ai morsetti dell’induttore, corrente che si ricorda è una funzione temporalmente continua, atteso che trattasi di una variabile di stato, nel caso di una rete RL serie che ammette l’equivalente Thevenin o Norton, è espressa dalla seguente scrittura:
τ )
)]
(( ) ( [ ) ( )
(
L L L O t tOL
t i i i t e
i = ∞ − ∞ − ⋅
− −e nel caso in cui l’istante tO di inizio transitorio corrisponda con l’istante tO=0s si ottiene:
τ t L
L L
L
t i i i e
i ( ) = ( ∞ ) − [ ( ∞ ) − ( 0 )] ⋅
−Pertanto, il transitorio è completamente determinato allorché sono conosciuti i tre parametri il cui significato fisico di interesse è di seguito esplicitato:
iL(∞∞∞∞): è la corrente ai morsetti dell’induttore L, al termine del transitorio, ottenuta considerando l’induttore stesso modellato dal bipolo corto circuito;
iL(tO): è il valore della corrente ai morsetti dell’induttore all’inizio del transitorio che definisce la cosiddetta condizione iniziale o corrente di precarica;
RTH: definisce la resistenza equivalente di Thevenin sentita ai suoi capi dall’induttore L durante l’evoluzione temporale caratteristica del transitorio;
ττττ = L/RTH: definisce la costante di tempo caratteristica della dinamica del transitorio relativo alla rete elettrica alla quale l’induttore L è connesso.
Resta da precisare che sia la tensione vL(t) dell’induttoreLsia lacorrente i3(t)nellaresistenza R3
NON sono variabili di stato, cioè all’istante di commutazione degli interruttori S1 e S2, avranno una discontinuità di prima specie, che verrà caratterizzata dalle relazioni:
vL(tO−−−−)≠≠≠≠vL(tO+
) e i3(tO−−−−)≠≠≠≠i3(tO+
).
All’istantet=0s gli interruttori S1 e S2
entrambi contemporaneamente passano dalla condizione di stato APERTO alla condizione di statoCHIUSO.
La rete da analizzare è mostrata in figura2a;perispezione diretta siha:
iL(0−−−−)=iL(0)=iL(0+)=1A.
i3(0−−−−)=IS=8A; vL(0)=ES=20V Dalla relazione costitutiva del “bipolo iL(t)
I
S vL(t)R
2R
3R
4i
3(t) S
1R
1t=0
+ + + +
−
−
−
− E
SS
2L
t=tO
(figura – 2)
iL(t)
I
S vL(t)R
2R
3R
4i
3(t) S
1R
1+ +
+ +
−
−
−
− E
SS
2L
t=tO
(figura 2a: rete valida per 0≤≤≤≤t<tO)
