1) Una particella di massa m si muove in una dimensione soggetta ad un potenziale armonico di pulsazione caratteristica ω

Corso di laurea in Fisica

Esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 4 Febbraio 2020

studente/ssa:

matricola:

1) Una particella di massa m si muove in una dimensione soggetta ad un potenziale armonico di pulsazione caratteristica ω

Al tempo t = 0 la particella si trova nello stato descritto dalla funzione d’onda

Ψ(x) = e

"

√ 1

2πσ

e

#1/2

con k

> 0

- Determinare in una misura di posizione effettuata al tempo t = 0 quale ` e la probabilit` a di trovare la particella nella semiretta x > x

- Determinare l’evoluzione temporale delle quantit` a medie < x(t) > e < p(t) >.

2) Due particelle identiche di massa m sono soggette ad un potenziale armonico unidimensionale di pulsazione propria ω:

H

= H

+ H

H

= p

2m + 1

2 mω

x

Esse inoltre interagiscono secondo il potenziale di interazione

V

(x

, x

) = −kx

x

dove k = mω

.

- Determinare lo stato fondamentale del sistema (H

+ V

) nel caso che a) gli oscillatori siano bosoni di spin nullo

b) gli oscillatori siano fermioni di spin 1/2

3) Considerare un gas perfetto quantistico di particelle ultrarelativistiche ( = ¯ hc|~k|) racchiuse in un volume V e tali che il loro potenziale chimico sia nullo. Considerando separatamente il caso bosonico e fermionico

- Fornire la dipendenza dell’energia interna dalla temperatura.

- Fornire la dipendenza della pressione dalla temperatura e dal volume.

Potrebbe essere utile (ma non strettamente necessario) il risultato dei seguenti due integrali:

Z ∞

0 dx x³

e^x− 1= π⁴ 15

Z ^∞

0 dx x³

e^x+ 1= 7π⁴ 120

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