Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 9

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 9

5 Dicembre 2013

1. Si dotino R e S

delle rispettive topologie euclidee.

(a) Esiste qualche applicazione f : S

→ R surgettiva?

(b) Esiste qualche applicazione g : S

→ R continua?

(c) Esiste qualche applicazione h : S

→ R surgettiva e continua?

2. Provare che S

euclideo non ` e omeomorfo ad alcun sottoinsieme di R euclideo.

3. Sia (x

)

una successione in uno spazio topologico X tale che x

→ ξ per n → +∞.

Mostrare che

Y := x ∈ X | x = x

per qualche n ∈ N ∪ {ξ}

` e un sottoinsieme compatto di X.

4. Sia (Y, τ ) uno spazio topologico e sia S ⊂ τ una sottobase di Y . Sia poi X uno spazio topologico. Provare che un’applicazione f : X → Y ` e continua se e solo se f

(V ) ` e aperto in X per ogni V ∈ S.

5. Sia X uno spazio topologico compatto e di Hausdorff e sia x

∈ X. Dimostrare che il sottospazio X r {x

} di X `e localmente compatto e di Hausdorff.

6. Si consideri la famiglia

τ := U ⊂ R | 0 6∈ U ∪ {R}

di sottoinsiemi di R.

(a) Verificare che τ ` e una topologia su R.

(b) Stabilire se (R, τ ) `e T

, connesso, compatto.

7. Sia X un insieme infinito e sia x

∈ X. Si consideri la famiglia σ := A ⊂ X | x

∈ A ∪ {∅}

di sottoinsiemi di X.

(a) Verificare che σ ` e una topologia su X.

(b) Stabilire se (X, σ) ` e T

, T

, connesso, compatto.

(c) Stabilire se (X, σ) ` e localmente compatto.

8. Su R euclideo consideriamo la relazione di equivalenza

x ∼ y se x = y oppure |x| = |y| > 1.

Sia poi X := R/ ∼.

(a) Dire se X ` e di Hausdorff.

(b) Dire se X ` e connesso.

(c) Dire se X ` e compatto.