Alcuni chiarimenti relativi alla parte A.
(46) Il termine integrale generalizzato `e equivalente a integrale improprio. Si vedano le slides sull’integrazione a pag. 93 e successive. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
(47) Il termine integrale generalizzato `e equivalente a integrale improprio. Si vedano le slides sull’integrazione a pag. 111 e successive. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
(51) In aula non abbiamo dimostrato la divergenza, convergenza o irregolarit`a della serie geometrica, ma solo dato il teorema che ne descrive le propriet`a (si veda pag. 14 delle slides). La dimostrazione, che non chieder`o per correttezza nei compiti, non `e difficile.
Da
sn=
n
X
k=0
rk= 1 + r + . . . + rn= 1 − rn+1 1 − r abbiamo
– se |r| < 1 si ha limnsn=1−r1 (convergente), – se r > 1 si ha limnsn = +∞ (divergente), – se r < 1 non esiste limnsn (irregolare).
(54) In aula non abbiamo dimostrato che la serie a termini non negativi `e irregolare. Da un teorema per`o abbiamo detto che converge o diverge (si veda pag. 15 delle slides). Nuovamente, la dimostrazione, che non chieder`o per correttezza nei compiti, non `e difficile.
Se la serie `e a termini positivi, sicuramente sn = Pn
k=0ak `e una successione crescente. Se `e limitata superiormente allora la serie converge. Altrimenti `e illimitata superiormente e quindi diverge.
(58) Una serie `e a segno alterno se e solo se `e del tipoP+∞
k=1(−1)kak con {ak}k successione di elementi aventi il segno costante. E’ la serie che entra in discussione, come suggerito nella richiesta della tema (58), nel teorema di Leibniz. Esempio: P+∞
k=1(−1)k(1/2)k. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
(59) Una funzione f : D ⊂ R2→ R, `e una legge che ad ogni elemento di D associa un numero reale. Questo `e noto dalla definizione generale di funzione f : X → Y , che `e una legge che ad ogni elemento del dominio X un elemento del codominio Y . Esempio. Sia D = [−1, 1] × [−1, 1] il quadrato avente vertici (−1, −1), (−1, 1), (1, 1), (1, −1) e f (x, y) = x2+ sin(x · y).
Il resto della domanda lo si pu`o trovare nelle dispense Limiti e continuit`a in Rna pag. 6. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
(61) Derivata direzionale `e ovviamente sinonimo di derivata lungo una direzione v. La si trova in Calcolo differenziale per funzioni in pi`u variabili a pag. 2. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
(64) Il termine differenziabile in una variabile significa derivabile. Il teorema si trova a pag. 19 delle dispense Derivate. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
(67) Le condizioni sufficienti del quesito sono state spiegate a lezione. Le si trovano nella dispensa di Ottimiz- zazione a pag. 19. Intendo chiedere questa domanda nei compiti.
